第七章 平行线的证明 三角形内角和定理.

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1 第七章 平行线的证明 三角形内角和定理

2 学习目标（1分钟） 1、认识三角形外角及内角和定理的两个推论及其证明 2、会运用三角形内角和定理的两个推论解决相关问题

3 自学指导（2分钟） 推导出的定理 1.由一个公理或定理直接 ，叫做这 个公理或定理的推论。推论可以当作 . 定理使用
1.由一个公理或定理直接 ，叫做这 个公理或定理的推论。推论可以当作 定理使用 2.三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 . 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 推论2: . 3、三角形的外角： 。 内角的一条边与另一边的反向延长线组成的角 3 4、一个三角形有 个外角；每个外角与相邻内角之和等于 ；三角形的内角和等于 ；三角形的外角和等于 。 180° 180° 360° 学生自学，教师巡视（5分钟）

4 自学检测（12分钟） 1、根据“三角形一个外角等于不相邻的两个内角的和”可知： ∠1= ∠ + ∠ . ∠2= ∠ + ∠ .
∠1= ∠ ∠ ∠2= ∠ ∠ ∠3= ∠ ∠ 三式相加得： ∠1+∠ 2+ ∠3 =2（ ∠ ∠ ∠ ） (1) 而 ∠4+∠5 + ∠6= 。 (2) 比较（1）与（2）可得： 3 2 1 A B C 5 6 4 5 6 4 6 4 5 4 5 6 180º ∠1+∠ 2+ ∠3= 360º

5 2.如图∠1=35°,∠2=78°,∠3的度数等于_______；如果∠4=16°那么∠2－∠5
的度数等于_______. 67° A B C D 100° 45° 16° 3.已知：如图所示,在△ABC中, ∠DCA=100°,∠A=45° 求：∠B和∠ACB的大小. B 4.已知：如图所示. 求证：(1)∠BDC>∠A； (2)∠BDC=∠A+∠B+∠C. D A C

6 答案 A B C D 3.已知：如图所示,在△ABC中, ∠ DCA=100°,∠A=45° 求：∠B和∠ACB的大小.
解：∵ ∠DCA是△ABC的 一个外角(已知) ∠DCA=100°(已知) ∠A=45°(已知) ∴ ∠B=100°-45°=55°(三角形的一个外角等于和 它不相邻的两个内角的和) 又∵∠DCA+∠BCA=180°(平角的定义) ∴ ∠ACB=80°(等式的性质)

7 4.已知：如图所示. 求证：(1)∠BDC>∠A； (2)∠BDC=∠A+∠B+∠C. 证明(1) ：延长ＢＣ交ＡＣ于Ｅ
∵∠BDC是△DEC的一个外角 ∴∠BDC>∠DEC (三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角) ∵∠DEC是△ABE的一个外角 ∴∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角) ∴∠BDC>∠A (不等式的性质) E C

8 4.已知：如图所示. 求证：(1)∠BDC>∠A; (2)∠BDC=∠A+∠B+∠C. 证明： (2)∵∠BDC是△DEC的一个外角
∴∠BDC =∠C+∠DEC (三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和) ∵∠DEC是△ABE的一个外角 ∴∠DEC=∠A+∠B (三角形的一个外角等于和它不相 邻的两个内角的和) ∴∠BDC=∠A+∠B+∠C (等量代换)

9 点拨： 三角形内角和定理 ： 推论1： 推论2： 能从内和外、相等和不等的不同角度对三角形的角作更全面的思考。
三角形三个内角的和等于1800. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 能从内和外、相等和不等的不同角度对三角形的角作更全面的思考。

10 · · 例题是运用了定理“内错角相等,两直线平行”得到了证明. 还有其它方法吗？ 讨论、更正 例2 已知:如图，在△ABC中, E
AD平分外角∠EAC,∠B=∠C. 求证：AD∥BC. A C D B E 证明：∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和) ∠B=∠C (已知) ∴∠C= ∠EAC(等式性质) 例题是运用了定理“内错角相等,两直线平行”得到了证明. ∵ AD平分∠EAC(已知) ∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义) ∴∠DAC=∠C(等量代换) ∴ AD∥BC(内错角相等,两直线平行). 还有其它方法吗？

11 · · 已知:如图在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C. 求证：AD∥BC. 证明：∵∠EAC=∠B+∠C
(三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和) ∠B=∠C (已知) ∴∠B= ∠EAC(等式性质) 这里是运用了公理“同位角相等，两直线平行”得到了证明. ∵ AD平分∠EAC(已知) ∴∠DAE= ∠EAC(角平分线的定义) ∴∠DAE=∠B(等量代换) ∴ AD∥BC(同位角相等,两直线平行)

12 85° 90° 95° 2、比较角的大小。 > > 当堂训练（17分钟） 1、求下列各图中∠1的度数。
45° 50° 1 30° 60° 1 35° 120° 1 85° 90° 95° A C B 2、比较角的大小。 （1）∠ACD ∠A (<、>)； > （2）∠ACD ∠B (<、>) > D 3、如图，已知AB∥CD，∠A＝50°， ∠C＝∠E．则∠C＝（ ） A．20° B．25° C．30° D．40° A B C D E 50° B

13 4 已知：在△ABC中, ∠1是 它的一个外角, E为边AC上 一点,延长BC到D,连接DE. 求证: ∠1>∠2. B E D C
F 1 3 4 5 E D 2 4 已知：在△ABC中, ∠1是 它的一个外角, E为边AC上 一点,延长BC到D,连接DE. 求证: ∠1>∠2. 选做题 1、如图：是一个五角星，求证∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180° 2.已知：如图在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC(∠C>∠B)，求证：∠EAD= (∠C-∠B) A B C D E B E D C A

14 ∴ ∠1>∠3 (三角形的一个外角大于任何一个和它不相 ∵∠3是△CDE的一个外角
A B F 1 3 4 5 E D 2 4 已知：在△ABC中, ∠1是 它的一个外角, E为边AC上 一点,延长BC到D,连接DE. 求证: ∠1>∠2. 证明： ∵ ∠1是△ABC的外角 (已知) ∴ ∠1>∠3 (三角形的一个外角大于任何一个和它不相 邻的内角) ∵∠3是△CDE的一个外角 ∴∠3>∠2 (三角形的一个外角大于任何一个和它不相 ∴ ∠1>∠2 (不等式的性质)

15 1.如图1：是一个五角星， 求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180° A B C D E H F
2 F 1 解:∵∠1是△BDF的一个外角(外角的意义), ∴ ∠1=∠B+∠D(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和). 又∵ ∠2是△EHC的一个外角(外角的意义), ∴ ∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和). 又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理). ∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =180°(等式性质)

16 2.已知：如图在⊿ABC中，AD⊥BC于D， AE平分∠BAC(∠C>∠B)， 求证：∠EAD= (∠C-∠B)
解：∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠CAE= ∠BAC ∵∠BAC=180°-（∠B+∠C） ∴∠EAC= [180°-（∠B+∠C）] ∵AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=90°-∠C， ∵∠EAD=∠EAC-∠DAC ∴∠EAD= [180°-（∠B+∠C）]-（90°-∠C）= （∠C-∠B）．