第六章 連續型隨機變數及其常用的機率分配.

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1 第六章 連續型隨機變數及其常用的機率分配

2 6.1 連續型隨機變數 隨機變數分為兩大類。若隨機變數之可能值個數為有限個;或是可數
的無限多時（如人數、損壞物品個數），此時可將之歸類為離散型 (discrete type)隨機變數。而若隨機變數之可能值個數為不可數的無限 多時（如時間、身高），其可能值的集合為一區間，此時即將之稱 為連續型(continuous type)隨機變數。

3 6.1.1 連續型隨機變數之機率分配 當隨機變數為離散型時，我們可對每一Y之可能值賦予一大於零的機
率，並定義為其機率分配，其所有可能值機率總和為1。但對於連續 型隨機變數而言，由於其可能值個數無限多且無法計數，故其每一 個可能值的機率為0，勢必無法如離散隨機變數之機率分配定義方式， 來定義連續型之機率分配，所以我們將尋求以另一方式來定義連續 型隨機變數之機率分配。

4 考慮一連續型資料之隨機實驗，從中抽樣200組資料，繪出其相對次
數直方圖，如圖6.1所示。假若我們將抽樣資料數增多，甚至無限多； 同時將組間距縮小，甚至無限小，則繪出其相對次數直方圖必會如 圖6.2所示，變為一平滑曲線。圖6.2平滑曲線乃代表著 圖6.1相對次 數直方圖之極限形式。由相對次數直方圖性質可推知，曲線下與橫 軸所夾之面積，即為此連續型隨機變數出現在此區間的機率。於是 我們即藉由此曲線來定義連續型隨機變數之機率分配，並稱此曲線 為“機率密度函數”。

5 定義6.1.1 機率密度函數(probability density function)通常以表示，為一數學函數，用以描述連續型隨機變數Y之機率分配。

6 若一連續型隨機變數Y之機率密度函數為，則其必具有下
列之基本性質： 1. 對所有Y的可能值而言，f(y)≧0。 2. 隨機變數所有可能值機率總和為1，故若此機率密 度函數之兩 邊端點a與b，則整段函數與橫軸所涵蓋 的面積值必為1。 即 3. 欲求隨機變數Y落在曲線上任意兩點c與d之間的機率，也就是 區間機率P (c≦Y≦d)時，則

7 【例6.1】 假設Y為一連續型隨機變數，且其機率密度函數為 試求 (a) C值 (b) P (1≦Y≦2) (c) P (1＜Y＜2)

8 (a) 根據上述性質(二)，其機率總和為1，故
解： (a) 根據上述性質(二)，其機率總和為1，故

9 (b) 此隨機變數Y之機率密度函數為 (c) 因為在連續型隨機變數中，單點並無機率值

10 【例6.2】 科學家做一實驗：測試老鼠跑出迷宮所需的時間。假設老鼠跑出迷 宮，所花的時間為一隨機變數Y（單位：分鐘），其機率密度函數為
試問老鼠在3分鐘內跑出迷宮的機率為如何？ 解： 老鼠在3分鐘內跑出迷宮的機率即為 P (1≦Y≦3)，則

11 6.1.2 連續型隨機變數之累積分配函數 在連續型中，其累積分配函數定義本質與離散型時相同。不過由於
其各自的機率分配定義不同，故其計算累積分配函數方法也稍有不 同。 定義6.1.2 一連續型隨機變數Y之累積分配函數(cumulative distribution function)，即為

12 【例6.3】 令Y為一隨機變數，其機率密度函數為 試求: (a)累積分配函數F (y) (b)試利用F (y)求得P (1≦Y≦2)

13 解： (a) 依累積分配函數定義 ，則

14 (b) 依累積分配函數定義 P (1≦≦2)=P (≦2)－P (≦1)=F (2)－F (1) 故由(a)中得知 P (1≦≦2)= F (2)－F (1) = =1－(3/4)=1/4

15 6.2 期望值及變異數 在介紹離散型隨機變數時，我們曾經提及，描述一母體機率分配的
集中趨勢及離散程度，最常使用的就是期望值及變異數。而在連續 型隨機變數時，依舊是以期望值來測知此機率分配之中心點，以變 異數來測量此機率分配之離散情形。在此期望值及變異數的基本定 義仍然與離散型時相同，不過由於連續型之機率分配定義方式有些 不同，故其計算方式也有稍許不同。

16 6.2.1 連續型隨機變數之期望值及變異數 定義6.2.1 此連續型隨機變數的期望值(expected value)或平均數(mean) E [y] 定 義為 定理6.1 若g (y)為連續型隨機變數函數，則其期望值為

17 定義6.2.2 若連續型隨機變數Y的期望值為E [Y]=μ，則Y的變異數(variance)為 將變異數的正平方根 ＝ ＝SD (Y)，稱為隨機變數Y之標準差 （standard deviation）。

18 【例6.4】 Y為一連續型隨機變數，其機率密度函數 試求Y之期望值E(Y)與變異數V(Y)。

19 解： 依連續型隨機變數期望值之定義

20 依連續型隨機變數變異數之定義

21 依連續型隨機變數變異數之定義

22 6.2.2 期望值及變異數基本定理 定理6.2 若Y是一連續型隨機變數，;為兩常數，g1(Y )、g2(Y )…gk(Y )為隨機變
數Y之k個函數，則 （Ⅰ）E [aY＋b]＝aE [Y ]＋b （Ⅱ）V(aY＋b)＝a2V(Y ) （Ⅲ）E [g1(Y ) ＋ g2(Y )………＋gk(Y )] 　 ＝E [g1(Y )]＋E [g2(Y )]………＋E [gk(Y )] 定理6.3 若一連續型隨機變數Y，期望值E [Y ]＝μ，則變異數 V (Y )＝E [y2]－(E [Y ])2＝E [y2]－μ2

23 6.3 均勻分配 假設一隨機變數Y在某一區間[a,b]內發生的機率皆相同，則Y的機率 分配稱為均勻分配。 定義6.3.1
則Y的機率分配稱為均勻分配(uniform distribution)

24 通常均勻分配可表示為 Y～U ()，與稱為均勻分配的參數，也就是其
上下界。若a=0;b=1，則稱為標準均勻分配(standard uniform distribution)。 圖6.3為其密度函數圖形

25 由圖可知，均勻分配又可稱為矩形分配(rectangular distribution)。
總之，均勻分配最大的特點即是：隨機變數發生於某一段區間的機 率密度函數，必與此區間的長度成反比。 定理6.4 若Y為一均勻隨機變數，上下界為與，Y～U ()，則 期望值為

26 【例6.7】 假設一公車，在早上7:00～7:30之間到達某站牌的時間為均勻分配。 有一天，阿輝剛好7:00時到達此站牌，試問
(a) 阿輝等待的時間超過十分鐘的機率 (b) 阿輝等待時間的期望值與變異數

27 (a) 題意所示，假設隨機變數Y代表阿輝從早上7:00開始，等待公車的時間。則Y為均勻分配，Y～U (0,30)，其機率密度函數為

28 解： (a) 題意所示，假設隨機變數Y代表阿輝從早上7:00開始，等待公 車的時間。則Y為均勻分配，Y～U (0,30)，其機率密度函數為 則阿輝等待的時間超過十分鐘的機率即為

29 (b) 阿輝等待時間的期望值 阿輝等待時間的變異數

30 6.4 指數分配 6.4.1 指數分配的定義 在上一章中，我們曾經介紹一離散型隨機變數：卜瓦松隨機變
數。其定義為在某一單位區間內，某特定事件發生的次數。在 此同時，前所定義特定事件，兩兩之間所間隔的時間以隨機變 數Y表示，其機率分配即是將在這一節所介紹的連續型隨機變數： 指數分配。在所有不同常態分配下，我們都可透過一“標準化” 的程序，使每一常態隨機變數都轉換成標準常態隨機變數。 定義6.4.1 連續隨機變數Y，若其機率密度函數為 則Y的機率分配稱為指數分配(exponential distribution)

31 指數分配唯一的參數即為λ，不同的λ決定出不同的指數分配。圖
6.4為指數分配參數λ=1，λ=1/2，λ=1/3的圖形。

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33 【例6.7】 假設欣力公司所生產的電視機，其壽命符合指數分配，且平均使用 時間為5年。今阿輝買了一台此品牌的全新電視。試問阿輝5年內不
用再換新電視的機率為何？

34 解： 設此電視壽命為Y，由其期望值為5，(1/λ)=5，可知λ=(1/5) Y符合指數分配，其機率密度函數即為 則阿輝5年內不用再換新電視，也就是此電視壽命超過五年的機 率為

35 6.4.2 無記憶性 我們接著試著證明指數分配是否真的具有無記憶性質，其證明 如下： 假若Y為指數分配，則 定理6.6 若一非負的隨機變數Y具有無記憶(memoryless)性質，則

36 6.5 常態分配 6.5.1 常態分配的定義 常態分配可說是整個統計學的基礎，在此後章節，無論是假設
檢定、估計，甚至是迴歸分析，無不以常態分配為理論基礎， 做出許多的應用推論。由此可知常態分配的重要性。

37 定理6.7 若Y為一常態隨機變數，Y～N ( )，則 期望值為

38 圖6.5為一常態分配Y～N ()之機率密度函數圖。由此圖，我們可知常
態分配具有下列性質： 1. 常態分配曲線兩端尾巴與.橫軸漸漸接近，但絕不與橫軸相交 2. 常態分配是以為中心的左右對稱分配，且其曲線形狀類似一鐘 型(bell-shaped)。由於其對稱的性質，故有下列的特性： 如：(1) P (Y＜ )＝P (Y ＞ )＝0.5 (2) 對常數與，P (Y＜-a)＝1－P (Y >a )＝P (Y＞a) P (a＜Y＜b)＝P (Y＜b)－P (Y<a )

39 6.5.2 標準常態分配及標準化 連續型隨機變數落在某一段區間的機率，定義為其機率密度函 數在此段所圍成的面積。我們可由圖6.5可知常態機率密度曲線 為鐘型，且由定義6.5.1瞭解常態機率密度函數的數學型式。讀 者不難發現，常態機率密度函數相當的複雜，若要算出其圍成 的面積，或許不是一件簡單的事。且不同的 及 2即形成不同 的常態分配，若將所有不同的常態分配都製成各自的機率表， 是不太可能的事情。還好，在常態分配中，我們可透過一“標準 化”的程序，將所有可能的常態分配全部轉換成標準常態分配， 再經由查標準常態分配的機率表。

40 而所謂的標準常態分配(Standard Normal Distribution)即指的是期望值=0; 變異數 2=1的常態分配。
定義6.5.2 連續型隨機變數Y，若其機率密度函數為 則Y的機率分配稱為標準常態分配(Standard Normal Distribution)

41 定理6.8 若Y為一常態隨機變數，Y～N ( )，令 則Z為一標準常態隨機變數，Z～N (0，1) 換句話說，若欲求一常態分配機率時，即可透過定理6.8所提供的轉 換函數，再透過標準常態分配表，經由附表三即可求得。例如，假 若Y～N ( )，則 因此

42 【例6.12】 若有一常態隨機變數Y，其期望值為3，變異數為9，即，試求： (a) P (Y＞0) (b) P (3＜Y＜6) 解：

43 6.5.3 二項分配近似於常態分配 在上一章離散隨機變數時，我們依序介紹了二項分配及卜瓦松分配。
並且當二項分配 ，且np≦7時，此時可用卜瓦松分 配P（λ＝np）來估計二項分配。而在此時，我們將再介紹以另一方 法來估計二項分配，也就用此節所介紹的常態分配來估計二項分配。 之前是以離散型隨機變數來估計離散型隨機變數，而此處則是以連 續型隨機變數來逼近離散型隨機變數。 由中央極限定理(central limit theorem)可知，當隨機變數Y為二項分配， 且其n很大時，隨機變數 之機率分配近似於標準常態的 機率分配。 如此，我們即可以 之常態分配來估計之。

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45 之前我們強調過，常態分配估計二項分配為連續型隨機變數估計離
散型隨機變數之例。如此不免有些誤差。為了增加準確性，所以在 應用上，通常在端點加或減 ，我們將之稱為連續性修正(continuity correction)，在實務上，假如二項分配的直方圖不太偏斜，且 與 ，則可以常態分配來估算二項分配，因此，

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