线性代数 第二章 矩阵 §1 矩阵的定义 定义：m×n个数排成的数表 3) 零矩阵： 4) n阶方阵：An=[aij]n×n

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1 线性代数 第二章 矩阵 §1 矩阵的定义 定义：m×n个数排成的数表 3) 零矩阵： 4) n阶方阵：An=[aij]n×n 称为矩阵。记作 A=[aij]m×n 5) 对角阵： aij为A的第i行第j列的元素。 几种特殊的矩阵 1) 行矩阵：[a1,a2,...,an] 6) 单位阵： 2) 列矩阵：

2 §2 矩阵的运算 设A=[aij]m×n,B=[bij]m×n,则称A与B为同型矩阵.
§2 矩阵的运算 设A=[aij]m×n,B=[bij]m×n,则称A与B为同型矩阵. 此时，若aij≡bij，i=1,2,...,m;j=1,2,...,n,则记为：A=B 一、加法 设A=[aij]m×n,B=[bij]m×n,定义: A+B=[aij+bij]m×n,如 运算律 1)交换律：A+B=B+A; 2)结合律：(A+B)+C=A+(B+C) B的负矩阵:－B=[-bij]m×n 定义: A-B= A+(-B)=[aij-bij]m×n

3 §2 矩阵的运算(续1) 二、数乘矩阵 kA=Ak=[kaij]，如 运算律 1)结合律: (kl)A=k(lA)=l(kA)
§2 矩阵的运算(续1) 二、数乘矩阵 kA=Ak=[kaij]，如 运算律 1)结合律: (kl)A=k(lA)=l(kA) 2)分配律: (k+l)A=kA+lA; k(A+B)=kA+kB. 例1 设 且满足3X+2A=5B, 求矩阵X. 解： 3X=5B-2A=

4 §2 矩阵的运算(续2) 三、矩阵乘法 设A=[aij]m×s,B=[bij]s×n,定义：AB=[cij]m×n cij=ai1b1j+ai2b2j+...+aisbsj （即cij等于A的第i行与B的第j列对应元素积之和） 例2 计算下列乘法： 一般，AB≠BA 1) 2) 3) =[5] 4)

5 §2 矩阵的运算(续3) 三、矩阵乘法 运算律 结合律: (AB)C=A(BC); 分配律：(A+B) C=AC+BC; A(B+C)=AB+AC; k(AB)=(kA)B=A(kB)　(k为数)； EmAm×n=Am×n, Am×nEn=Am×n;如 OsmAmn=Osn, AmnOns=Oms. 例3 设 求AB,AC. 解： ∴ ①由AB＝AC，且A≠0推不出B=C; ②由AB＝０，推不出A=0，或B=0.

6 §2 矩阵的运算(续4) 三、矩阵乘法 方阵的幂 设A为n阶方阵，k,l为非负整数，则定义: A0=En,A1=A,A2=AA,A3=A2A,...,Ak+1=AkA, 运算律 1) AkAl=Ak+l; 2) (Ak)l=Akl;

7 §2 矩阵的运算(续5) 三、矩阵乘法 方阵的幂 例４求An, 解： 猜想： 假设n≤k时成立，则n=k+1时， 也成立.所以对一切自然数n成立.

8 §2 矩阵的运算(续6) 三、矩阵乘法 方阵的幂 例５ 设A=P∧Q,求QP,A2n,A2n+1．其中 解：ＱＰ＝ A2n=(P∧Q)(P∧Q)...(P∧Q)=P ∧2nQ=PEQ= A2n+1=A2nA=A= 方阵的多项式 设f(x)=a0+a1x+a2x2+...+akxk, A为方阵，则称 f(A)=a0E+a1A+a2A2+...+akAk, 为方阵A的k次多项式．

9 §2 矩阵的运算(续7) 四、矩阵的转置 ∴(AB)T=BTAT.
§2 矩阵的运算(续7) 四、矩阵的转置 用A＝[aij]m×n的第i行(列)作矩阵的第i列(行)，i=1,2,...m. 所得矩阵称为A的转置矩阵,记作AT．如 运算律 1 ) (AT)T=A; 2 ) (A+B)T=AT+BT; 3 )(kA)T=kAT; 4 ) (AB)T=BTAT. 证：设A=[aij]m×s,B=[bij]s×n,则 (AB)T=[cij]n×m，BTAT=[dij]n×m cij为AB的第j行i列元素，为A的第j行与B的第i列对应元素积之和； dij为BTAT的第i行j列元素，为BT的第i行与AT的第j列对应元素积之和； 即dij是B的第i列与A的第j行对应元素积之和．∴ cij≡ dij， ∴(AB)T=BTAT.

10 §2 矩阵的运算(续8) 四、矩阵的转置 对称矩阵
§2 矩阵的运算(续8) 四、矩阵的转置 对称矩阵 若AT=A，则称矩阵A为对称矩阵．如 aij=aji aij=-aji 若AT=-A，则称矩阵A为反对称矩阵.如 （对称矩阵与反对称矩阵必为方阵） 例6 设X= , H=E-2XXT,试证：H为对称矩阵. 证:HT=(E-2XXT)T =ET+(-2XXT)T =E-2(XXT)T =E-2(XT)TXT =E-2XXT=H ∴H为对称矩阵.

11 §2 矩阵的运算(续9) 五、方阵的行列式 设A为n阶方阵: 称detA=|A|＝ 为方阵A的行列式. |A|≠0时，称A为非奇异矩阵; |A|=0时，称A为奇异矩阵. 性质： 1) |AT|=|A|; 2) |kA|=kn|A| (A为n阶方阵); 3) |AB|=|A||B| (A,B为同阶方阵).

12 §2 矩阵的运算(续10) 五、方阵的行列式 伴随矩阵
§2 矩阵的运算(续10) 五、方阵的行列式 伴随矩阵 设A为n阶方阵: 称 为A的伴随矩阵.其中Aij为A中元素aij的代数余子式. 注意：A*的第i行(列)是A 的第i列(行)元素的代数余子式. 定理1 AA*=A*A=|A|E=

13 §2 矩阵的运算(续11) (1) 可表为:AX=b (2) 线性方程组 其中： X= b= A= (∵AX= , 显然(1),(2)等价)
§2 矩阵的运算(续11) (1) 可表为:AX=b (2) 线性方程组 其中： X= b= A= （系数矩阵） (∵AX= , 显然(1),(2)等价)