資料包絡分析法 Data Envelopment Analysis

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1 資料包絡分析法 Data Envelopment Analysis

2 決策品質的比較 效用函數(Utility Functions) 單位產出下的成本 無法比較，如人飲水，冷暖自知。 多種產出問題 多種投入問題
有些產出或投入無法以金額衡量

3 以圖書館為例 提供的效果(服務)： 圖書或設備的使用次數、諮詢次數等 投入成本 收購書籍、資料庫或設備，人員數量，空 間大小

4 總要素生產力 總要素生產力(Total Factor Productivity, TFP ) TFP(i)=Yi/Xi i = 1,…n
Yi 代表第i家廠商的產出 Xi 代表第i家廠商的投入 例某行政單位有A,B,C等3個部門 產出(Yi)為某年度i部門的結案公文數 投入(Xi)為某年度i部門的員工數 部門 A B C Y X TFP(A)=60/10=6 TFP(B)=80/20=4 TFP(C)=100/10=10

5 技術效率 技術效率(Technical Efficiency, TE) TE(i)=TFP(i)/TFP*
TFP*為所有廠商中最高的TFP,本例中以部 門C的TFP最高所以 TE(A)=TFP(A)/TFP(C)=6/10 TE(B)=TFP(B)/TFP(C)=4/10 TE(C)=TFP(C)/TFP(C)=10/10=1

6 多投入多產出 人員(X1)與設備(X2)兩種投入 公文(Y1)與專案計畫(Y2)兩種產出
一般的績效評估方式：加權計分（主觀的 給予各投入產出權數） u1×Y1i+u2×Y2i TE(i)= v1×X1i+v2×X2i u1為Y1的權數，u2為Y2的權數 v1為X1的權數，v2為X2的權數

7 Data Envelopment Analysis
Data Envelopment Analysis (DEA) 透過多元投入 與多元產出衡量一個組織(或決策機構，DMU) 的相對效率。   DEA 求出DMU最大可能效率之下的投入與產 出的權重(weights) 。 同時， DEA 也給予其他DMU相同權重，以比 較他們之間的相對效率。

8 Graphical Illustration
To illustrate, consider seven DMUs which each have one input and one output: L1 = (2,2), L2 = (3,5), L3 = (6,7), L4 = (9,8), L5 = (5,3), L6 = (4,1), L7 = (10,7). L4 L3 L7 L2 Charnes, Abraham et al. Data Envelopment Analysis, Boston: Kluwer, 1994 (see pp 25ff) L5 L1 L6

9 Graphical Illustration
L1, L2, L3, and L4. 稱為有效率單位 (efficient units), 這四點所連成的線稱為｢ 包絡曲線(envelopment surface)｣。   L5到L7 不在包絡曲線上，被稱為無效 率單位。有兩種方式來解釋無效率：其 一是相同投入，但產出太少。其二是相 同產出，但投入太少。

10 資料包絡分析法(DEA) 投入固定，產出極大。 Max TE(i)=E= u1×Y1i+u2×Y2i u,v
Subject to v1×X1i+v2×X2i = 1 u1×Y1n+u2×Y2n ≦ v1×X1n+v2×X2n (n=1,2,3) u ≧ 0, v ≧ 0

11 CCR Model 將上式更一般化可獲得 Max TE(i)=Ei= u1×Y1i+u2×Y2i+…+ um×Ymi u,v
Subject to v1×X1i+v2×X2i +…+ vk×Xki = 1 u1×Y1n+u2×Y2n+…+ um×Ymn ≦ v1×X1n+v2×X2n +…+ vk×Xkn (n=1,2,…,N) u ≧ 0, v ≧ 0 此式為1978年由Charnes, Cooper and Rhodes所發展，又稱為 CCR模式，或稱乘數形式 (Multiplier form)或原始形式(Primal form)的DEA模式

12 CCR-對偶模式 投入導向：產出固定，投入極小， 求θ與λ之最適解 Min θ
S.t λ1Ym1+ λ2Ym2+…+ λnYmn ≧ Ymi， m=1,2,…M λ1Xk1+ λ2Xk2+…+ λnXkn ≦ θXki， k=1,2,…K λ1, λ2,λ3,…, λN ≧0

13 CCR-投入極小 X2 ΘD=DB/OD ΘE=EE’/OE ●A ●D ●E ●B ●E’ ●C X1 O

14 解釋 Θ*之最小值不會大於1。 且Θ*為投入導向之技術效率
同比例(Θ)的減少所有投入量(θXki)至邊界 投入量(λ*1Xk1+ λ*2Xk2+…+ λ*nXkn)，但仍能 生產出相同的Ymi。 若最適解下仍為不等式(λ*1Xk1+ λ*2Xk2+…+ λ*nXkn ≦ θ*Xki)或(λ* 1Ym1+ λ*2Ym2+…+ λ*nYmn ≧ Ymi，其差距為slack(包 括:產出差額(output slack)，投入差額(input slack)).

15 對偶模式求解 一般為了讓求解較有效率，並可以分析差額變數(slack variable)
差額變數(slack variables)代表為達有效率應減少的投入量 超額變數(surplus variables)代表為達有效率應增加的產出量

16 CCR-產出極大 產出導向：投入固定，產出極大 Max φ S.t λ1Ym1+ λ2Ym2+…+ λnYmn ≧ φ Ymi，
m=1,2,…M λ1Xk1+ λ2Xk2+…+ λnXkn ≦ Xki， k=1,2,…K λ1, λ2,λ3,…, λN ≧0

17 Y2 ΦB=OD/OB ●A Φ E=OE’/OE ●D ●E’ ●C ●E ●B Y1 O

18 以七個決策單位為範例 決策單位 A B C D E F G 投入一 9 8.3 4.6 1.75 1.5 2.5 4 投入二 3 6 7 5
產出 20 18 16 14 12

19 以DUMB為例進行求解 最適權重 效率 相對無效率之決策單位

20 七個決策單位之CCR模式解 DMU 相對效率 投入X1權重 投入X2權重 產出Y權重 A 1.0000 0.0000 0.4000
0.0050 B 0.7500 0.3330 0.0417 C 0.5882 0.1681 0.0378 0.0368 D 0.0517 0.0714 E 0.3889 0.0833 F 0.3265 0.0735 G 0.1500 0.2000 0.0625 DMUE、 DMUF、 DMUG為有效的單位決策 其餘均為無效的決策單位

21 效率分析及求解 無效率決策單位之相對效率可經由其在效率前緣上的投影點兩相比較後求得 決策單位效率與投影點效率之比值 效率前緣與效率分析