第七章 图 形 变 换 （二） 2019/4/23 Thank you for your time today.

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1 第七章 图 形 变 换 （二） 2019/4/23 Thank you for your time today.
图 形 变 换 （二） Thank you for your time today. Believe I have a lot of good information to share with you today – it’s been just a little over a year since we introduced the notion of e-business on demand – know that there’s been a lot written about it … lots of competitors have begun to describe notions that sound very similar. Today I want to spend the majority of our time together moving the discussion from the what and why of becoming an on demand business to the how – to some very concrete essentials, methodologies and offerings that we’ve spent the last year developing. But before I get into specifics on the how to – I do want to spend a few minutes up front – setting a little context. 2019/4/23

2 主要内容： 图形变换的数学基础 窗口视图变换 图形的几何变换 形体的投影变换 三维线段裁剪 2019/4/23

3 形体的投影变换 三维图形的基本问题: 1. 在二维屏幕上如何显示三维物体？ 存在的困难： 显示器屏幕、绘图纸等是二维; 显示对象是三维;
解决方法: 1)三维显示设备->正在研制中; 2)投影; 2. 如何表示三维物体？ 二维形体： 表示：直线段,折线,曲线段,多边形区域…; 输入：简单（图形显示设备与形体维数一致）; 三维形体： 表示：空间直线段、折线、曲线段、多边形、曲面片; 输入、运算、有效性保证－》困难; 解决方法：各种用于形体表示的理论、模型、方法; 2019/4/23

4 形体的投影变换 3. 如何反映遮挡关系？ 物体之间或物体的不同部分之间存在相互遮挡关系; 遮挡关系是空间位置关系的重要组成部分;
解决方法：消除隐藏面与隐藏线; 4. 如何产生真实感图形? 何谓真实感图形? 逼真的; 示意的; 人们观察现实世界产生的真实感来源于: 空间位置关系：近大远小的透视关系和遮挡关系; 颜色分布：光线传播引起的物体表面颜色的自然分布; 解决方法：建立光照明模型、开发真实感图形绘制方法； 2019/4/23

5 形体的投影变换 三维图形的基本研究内容: 1）投影变换; 2）三维形体的表示; 3）消除隐藏面与隐藏线;
4）建立光照明模型、开发真实感图形绘制方法; 投影变换:把三维物体变为二维图形表示的过程; 2019/4/23

6 形体的投影变换 平面几何投影:分类： 投影中心与投影平面间距离有限 投影中心与投影平面间距离无限 根据投影方向与投影平面的夹角
根据投影平面与坐标轴的夹角 2019/4/23

7 形体的投影变换 平面几何投影:分类： 透视投影 平行投影 2019/4/23

8 形体的投影变换 投影的方向 投影中心 平面几何投影: -平行投影 ： 投影中心与投影平面之间的距离为无限，只需给出投影方向即可；
是透视投影的极限状态； 投影的方向 投影中心 2019/4/23

9 形体的投影变换 平面几何投影: -平行投影 ： 根据投影线方向与投影平面的夹角，分为两类： 正平行投影与斜平行投影
正平行投影：投影方向垂直于投影平面； 正平行投影包括：正投影（三视图）和正轴侧投影 三视图：三个投影面和坐标轴相互垂直。 正轴侧：投影面和坐标轴呈一定的关系。 2019/4/23

10 形体的投影变换 三视图：主（正）视图、侧视图和俯视图 2019/4/23

11 形体的投影变换 正平行投影-三视图 把三维图形在三个方向上所看到的棱线分别投影到三个坐标面上。再经过适当变换放置到同一平面上。 z a2
y x a2 c2 b2 a1 b1 c1 2019/4/23

12 形体的投影变换 正平行投影-三视图 变换矩阵(其中(a,b)为u、v坐标下的值) 正视图 v u z y x o o’ tz tx ty
2019/4/23

13 形体的投影变换 正平行投影-三视图 俯视图 v u z y x o o’ tz tx ty (a,b) z y x o 2019/4/23

14 形体的投影变换 正平行投影-三视图 侧视图 v u z y x o o’ tz tx ty (a,b) z y x o 2019/4/23

15 形体的投影变换 正轴测投影 当投影方向不取坐标轴方向，投影平面不垂直于坐标轴时，产生的正投影称为正轴测投影。
正轴测投影分类：正等测、正二测、正三测 正等测：投影平面与三个坐标轴的交点到坐标原点的距离都相等。 沿三个轴线具有相同的变形系数。 2019/4/23

16 形体的投影变换 正轴测投影 正二测：投影平面与两个坐标轴的交点到坐标原点的距离都相等。 沿两个轴线具有相同的变形系数。 2019/4/23

17 形体的投影变换 正轴测投影 正三测：投影平面与三个坐标轴交点到坐标原点距离都不相等。 沿三个轴线具有各不相同的变形系数。 2019/4/23

18 形体的投影变换 正轴测投影的形成过程 正轴测投影变换矩阵的一般形式： 1）将空间一立体图形绕y轴旋转θy角 2）再绕x轴旋转θx
3）最后，向z=0平面做正投影 由于这种投影的投影平面不与立体的轴线垂直－》同时可见到物体的多个面－》可产生立体效果。 经过正轴测投影变换后，物体线间的平行性不变，但角度有变化。 正轴测投影变换矩阵的一般形式： 2019/4/23

19 形体的投影变换 下面主要讨论正二测和正等测的投影变换矩阵，即确定变换矩阵中的θx角和θy角。 如何度量沿三个轴线方向的变形系数？
2019/4/23

20 形体的投影变换 ∴正二侧投影需满足： 假定Z轴上的单位矢量经变换后长度变为1/2；即Z轴的变形系数恒为1/2：
可得：θx=20。42’, θy =19。28’。 ∴变换矩阵为： 变换矩阵为 2019/4/23

21 形体的投影变换 正等侧投影需满足： 求得： 正等测图的变换矩阵为 正等测图的变换矩阵为： 2019/4/23

22 形体的投影变换 斜平行投影： 投影线与投影平面不垂直的平行投影；投影平面一般取坐标平面； 斜等测投影 投影平面与一坐标轴垂直；
投影线与投影平面成45°角； 与投影平面垂直的线投影后长度不变； 斜二测投影 投影线与该轴夹角成 arcctg(1/2)角； 该轴轴向变形系数为 ½。即与投影平面垂直的线投影后长度减半； 2019/4/23

23 形体的投影变换 斜平行投影求法： (xp,yp,zp ) (xs,ys) (x,y,z) 1．已知投影方向矢量为（xp,yp,zp）
设形体被投影到XOY平面上 形体上的一点(x,y,z)在xoy平面上投影后→(xs,ys) ∵投影方向矢量为(xp,yp,zp) ∴投影线的参数方程为： y z x (xs,ys) (x,y,z) (xp,yp,zp ) 2019/4/23

24 形体的投影变换 令 y z x (xs,ys) (x,y,z) (xp,yp,zp ) 2019/4/23

25 形体的投影变换 则上面方程的矩阵式为： 其中，[x,y,z,1]表示用户坐标系下的坐标，[xs,ys,zs,1]表示投影平面上的坐标。
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26 形体的投影变换 2．设（xe,ye,ze）为任一点，（xs,ys）为（xe,ye,ze）在XcOcYc平面上的投影
设立方体上一点 P(0,0,1)在XcOcYc平面上的投影P' (lcosα,lsinα,0),投影方向为PP',PP'与投影面的夹角为β, α为投影与x轴的夹角，则投影方向矢量为(lcosα,lsinα,-1) zc α yc xc P’ P(0,0,1) β l 2019/4/23

27 形体的投影变换 现考虑任一点（xe,ye,ze）在XcOcYc平面上的投影（xs,ys） ∵投影方向与投影线PP’平行 所以 l α yc
zc α yc xc P’ P(0,0,1) β l 2019/4/23

28 形体的投影变换 矩阵形式为： 斜等侧中：l=1,β=45 斜二侧中：l=1/2, β=arctgl=63.4
zc α yc xc P’ P(0,0,1) β l 2019/4/23

29 透视 － 基本知识 基本知识： 透视投影是一种中心投影法，在日常生活中，观察外界的景物时，常会看到一些明显的透视现象。
如：站在街上，向远处看， 1）会感到街上具有相同高度的路灯，显得近处的高，远处的矮。 2）即使路灯间的距离相等，视觉产生的效果是近处的间隔大，远处的间隔小，越远越密。 3）观察道路的宽度，会感到越远越窄，最后汇聚于一点。上述现象，称为透视现象。 产生透视的原因，可用下图说明： 2019/4/23

30 透视－ 基本知识 图中，AA',BB',CC'为一组高度和间隔都相等，排成一条直线的电线杆，从视点E去看，发现
∠AEA>∠BEB>∠CEC 若在视点E与物体间设置一个透明的画面P,让P通过AA'，则在画面上看到的各电线杆的投影aa'>bb'>cc' aa'即EA,EA'与画面P的交点的连线; bb'即为EB，EB'与画面P的交点的连线。 cc' 即为EC，EC'与画面P的交点的连线。 ∴近大远小 2019/4/23

31 透视－ 基本知识 若连a,b,c及a',b',c'各点，它们的连线汇聚于一点。
而实际上，A,B,C与A，B，C的连线是两条互相平行的直线，说明空间中不平行于画面(投影面）的所有平行线的透视投影，即a,b,c与a',b',c'的连线，必交于一点，这点称为灭点。 2019/4/23

32 透视投影 条件：投影中心与投影平面间的距离有限； 灭点：不平行于投影平面的平行线，经过透视投影之后收敛于一点，称为灭点.
主灭点:平行于坐标轴的平行线产生的灭点。 透视投影按主灭点个数分为： 一点透视 二点透视 三点透视 特点：能够产生近大远小的视觉效果，由此产生的图形深度感强，看起来更加真实。 2019/4/23

33 透视投影 主灭点数和投影平面切割坐标轴的数量相对应,即由坐标轴与投影平面交点的数量决定。
如投影平面仅切割z轴，则z轴是投影平面的法线，因而只在z轴上有一个灭点，平行于x轴或y轴的直线也平行于投影平面－》没有灭点。 y x z o 2019/4/23

34 一点透视 一点透视（平行透视） ： 人眼从正面去观察一个立方体，当z轴与投影平面垂直时，另两根轴ox,oy轴平行于投影平面。这时的立方体透视图只有一个灭点，即与画面垂直的那组平行线的透视投影交于一点。 2019/4/23

35 二点透视 二点透视（成角透视） 人眼观看的立方体绕y轴旋转一个角度，再进行透视投影。
三坐标轴中oy轴与投影平面平行，而其它两轴与画面倾斜，除平行于oy轴的那组平行线外，其它两组平行线的透视投影分别在投影平面的左右两侧，作出的立方体透视图产生两个灭点。 2019/4/23

36 三点透视 三点透视（斜透视） 投影平面与三坐标轴均不平行。 三组平行线均产生灭点。 2019/4/23

37 透视举例 2019/4/23

38 一点透视变换的变换矩阵 1)一点透视 设z轴上有一观察点（即视点）V(0,0,h)
从V点出发将物体上的点P(x,y,z)投影到XOY平面上得到P' (x',y',0) 由相似三角形可知： 2019/4/23

39 一点透视变换的变换矩阵 这时变换矩阵变为 的齐次坐标变换； 可以看作先作变换 2019/4/23

40 一点透视变换的变换矩阵 再做变换 的合成。 在透视变换Mr下有： 2019/4/23

41 一点透视变换的变换矩阵 当z→时，x →0,y →0,z →-h ∴(0,0,-h)为该透视的一个灭点。
变换矩阵为 2019/4/23

42 一点透视变换的变换矩阵 视点在(0,h,,0)的透视变换，灭点在(0,-h,0) 变换矩阵为 在变换矩阵中，第四列
的p,q,r起透视变换作用： 2019/4/23

43 一点透视变换的变换矩阵 当p、q、r中有一个不为0时的变换：假定q!=0,p=r=0. 对空间上任一点(x,y,z)进行透视变换结果如下：
进行规范化处理后，有： 2019/4/23

44 一点透视变换的几何意义 当y=0时： x’ = x y’ = 0 z’ = z 即处于y=0平面上的点，经过透视变换后没有变化。 当y=∞时
y’ = 1/q z’ = 0 即当y->∞时，所有点的变换结果都集中到Y轴的1/q处，也即所有平行于Y轴的直线，变换后都将沿伸相交于该点。该点即为灭点。 2019/4/23

45 二点透视变换的变换矩阵 2)二点透视 在变换矩阵中，第四列的p,q,r起透视变换作用
当p、q、r中有两个不为0时的透视变换称为二点透视变换。假定p!=0, r!=0, q=0; 将空间上一点(x,y,z)进行变换，可得如下结果： 2019/4/23

46 二点透视变换的变换矩阵 由上式可看出： 当x->∞时，在X轴上1/p处有一个灭点； 当z->∞时，在Z轴上1/r处有一个灭点；
2019/4/23

47 三点透视变换的变换矩阵 3)三点透视 类似，若p,q,r都不为0，则可得到有三个灭点的三点透视。 2019/4/23

48 三点透视变换的变换矩阵 由上式可看出： 当x->∞时，在X轴上1/p处有一个灭点； 当y->∞时，在Y轴上1/q处有一个灭点;
当z->∞时，在Z轴上1/r处有一个灭点； 2019/4/23

49 透视投影的方法 1、一点透视图的生成 生成一点透视图时，通常在透视变换前，先将立体作一平移变换。 2019/4/23

50 透视投影的方法 由于向XOZ平面上投影，故一点透视变换的灭点选在Y轴上。变换公式： 变换过程： 1）先作平移变换； 2）再作透视变换；
3）最后将结果投影到投影面。 由于向XOZ平面上投影，故一点透视变换的灭点选在Y轴上。变换公式： 2019/4/23

51 透视投影的方法 2、二点透视投影图的生成 立体经透视变换后，若直接投影到V面上，可能其立体效果并不理想，所以，在透视变换后，对变换结果绕Z轴旋转后，使物体轴线不与投影面垂直，再向V面上投影其效果会更好。 变换过程： 1）先对立体进行二点透视变换； 2）再把变换结果绕Z轴旋转一角度； 3）最后将上述变换结果投影到投影面上。 2019/4/23

52 透视投影的方法 3、三点透视投影图生成 与二点透视投影图生成变换原理一样，在透视变换后，先对变换结果作旋转变换，以保证透视投影面与物体上的三个坐标轴均不平行，从而获得立体效果更好的透视投影图。 变换过程： 1）首先对物体作三点透视变换； 2）将透视变换结果绕Z轴旋转一角度α 3）再绕X轴旋转一β角； 4）将上述结果投影到投影面。 2019/4/23

53 投影空间 定义：相对于二维的窗口概念，三维的投影窗口称为投影空间，一般在观察坐标系下定义投影窗口； 透视投影空间－》四棱台体
平行投影空间－》四棱柱体 投影线（视线）平行于坐标轴－》正四棱台或正四棱柱； 投影线（视线）不平行坐标轴－》斜四棱台或斜四棱柱； 输出时，为减少计算工作量，需要将斜四棱台或斜四棱柱转换为正四棱台或正四棱柱； 图形输出过程： 2019/4/23

54 透视投影空间的定义 透视投影空间由下面六个参数定义：
1）投影中心（视点）Oe(xe,ye,ze),相当于观察者眼睛的位置坐标，改变投影中心即从不同角度观察形体； 2）投影平面法向VPN(xn,yn,zn),一般把观察坐标系ze轴作为观察平面法向； 3）观察右向PREF,(xp,yp,zp)，与垂直向上矢量Ye相互垂直，可以选择Xe作为观察右向； 4）观察点Oe到观察空间前、后截面的距离FD和BD－》控制四棱台裁剪空间的长度和位置； 5）观察点Oe到投影平面的距离VD－》控制投影图的大小，VD小－》投影图小；VD大－》投影图大。VD>0; 6)窗口中的Ow(wcu,wcv)及窗口半边长WSU,WSV－》二维窗口的大小及位置，在投影平面上定义； 2019/4/23

55 平行投影空间的定义 平行投影空间由五个参数定义： 1）观察参考点VRP(xr,yr,zr)； 2）投影平面法向NORM(xn,yn,zn)；
3）观察参考点与前、后截面之间的距离FD和BD； 4）投影平面上矩形窗口中心Os(wcu,wcv)及沿Xe,Ye方向上的半边长WSU,WSV; 5)观察右向PREF(xp,yp,zp)； 平面投影时，投影平面无论在什么位置，都不会改变投影图的大小。 2019/4/23

56 用户坐标系到观察坐标系的变换 投影变换的基本操作，即把形体坐标从用户坐标系变换到观察坐标系，即： 目的：求变换矩阵： 1）单位矢量法
1、取Ze轴向为观察平面法向VPN，其单位矢量: 2、取Xe轴向为观察右向PREF,其单位矢量： 3、取Ye轴向的单位矢量： 2019/4/23

57 用户坐标系到观察坐标系的变换 即可得： 2）向量代数法
设观察点在用户坐标系下的坐标值为（a,b,c），并设Xe在Zw=c的平面上，参照图，可得变换矩阵： 2019/4/23

58 向量代数法（推导过程1/3） 2019/4/23

59 向量代数法（推导过程2/3） 2019/4/23

60 向量代数法（推导过程3/3） 2019/4/23

61 规格化裁剪空间和图像空间 将裁剪空间规格化为正四棱台，且其后截面在Ze=1处； 将平行投影的规格化裁剪空间为正四棱柱，如图：
2019/4/23

62 透视投影裁剪空间的规格化 目的：求把斜四棱台裁剪空间变为正四棱台裁剪空间的变换矩阵； 步骤： 1）将投影中心平移到原点：T1；
3）将裁剪空间的后截面变为Ze=1的平面，即作Ze向的变比例变换:T3； 4）作错切变换，使投影中心与窗口中心的连线与Ze轴重合，使斜四棱台变为正四棱台:T4； 5）经比例变换，使裁剪空间的后截面介于 范围内:T5； 2019/4/23

63 平行投影裁剪空间的规格化 目的：求把斜四棱柱裁剪空间变为正四棱柱裁剪空间的变换矩阵； 步骤： 1）将观察参考点平移到原点；
2）将用户坐标系变换到观察坐标系； 3）将裁剪空间的后截面变为Ze=1的平面，即作Ze向的变比例变换； 4）作错切变换，使投影中心与窗口中心的连线与Ze轴重合，使斜四棱柱变为正四棱柱； 5）作比例变换，使裁剪平面介于 范围内； 6）沿Ze方向作平移、变比例，使裁剪空间介于 2019/4/23

64 规格化的图象空间 目的：将平行投影和透视投影处理一致化； 步骤：
在图象空间中把投影中心移到无穷远处，相当于在裁剪空间中的透视投影会变成图象空间中的平行投影； 在规格化的图象空间中简化了投影线方程－》简化求交计算； 步骤： 1）作T1变换，放大前截面； 2）作T2压缩变换，使Ze方向的厚度由1变为（1－f）； 3）作T3平移变换，使前截面Ze=f，后截面Ze=1; 2019/4/23

65 主要内容： 图形变换的数学基础 窗口视图变换 图形的几何变换 形体的投影变换 三维线段裁剪 2019/4/23

66 三维线段裁剪 三维图形的显示流程图 观察变换：从世界坐标系到观察坐标系的变换 何时裁剪？： 投影之前裁剪 — 三维裁剪
优点：只对可见的物体进行投影变换 缺点：三维裁剪相对复杂 投影之后裁剪 — 二维裁剪 优点：二维裁剪相对容易 缺点：需要对所有的物体进行投影变换 2019/4/23

67 三维线段裁剪 采用二维裁剪的三维图形显示流程图 在投影之前裁剪的理由
三维物体的表面通常被离散表示成多边形或折线，而对这类简单图元，三维裁剪同样比较简单。 三维图形在显示过程中需要被消隐，做这个工作要有图形的深度信息，所以必须在投影之前完成 。 消隐很费时，如果在此之前裁剪（或部分裁剪）掉不可见的图形，可使需要消隐的图形减至最小。 2019/4/23

68 Thank you! Best Wishes! 谢谢! 2019/4/23