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第四章 梁的弯曲内力
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工程实际中的弯曲问题 P P P P P
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本单元主要内容 梁弯曲的概念 梁的载荷与支座反力 梁的内力 梁的应力 梁的强度条件
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4-1 梁弯曲的概念 1、外力特点: 2 、变形特点: M q P RA 集中力、分布力作用线与轴线垂直,力偶作用平面与杆轴线平行。
4-1 梁弯曲的概念 P q M RA RB 1、外力特点: 集中力、分布力作用线与轴线垂直,力偶作用平面与杆轴线平行。 2 、变形特点: 杆轴线由直线变为曲线。
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平面弯曲的概念 以矩形截面梁的弯曲为例 1、几何条件:梁横截面至少具有一个对称轴,整个梁至少具有一个 纵向对称平面。
1、几何条件:梁横截面至少具有一个对称轴,整个梁至少具有一个 纵向对称平面。 2、外力条件:梁所受外力的全部作用线均集中在纵向对称平面内。 3、变形条件:变形所在平面与纵向对称平面重合。
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4-2 梁的载荷与支座反力 1、梁的载荷 ● 集中力 ● 均布载荷 ● 集中力偶 正负号规定: 集中力和均布载荷与坐标轴同向为正、反向为负;
4-2 梁的载荷与支座反力 1、梁的载荷 ● 集中力 ● 均布载荷 ● 集中力偶 正负号规定: 集中力和均布载荷与坐标轴同向为正、反向为负; 集中力偶逆时针为正、顺时针为负。
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2、梁的支座反力 梁的支承方法及反力 图 示 法 反 力 未知反力数 名 称 滑动铰支 1 (Ry) Ry 固定铰支 2 (Rx,Ry)
图 示 法 反 力 未知反力数 名 称 滑动铰支 1 (Ry) Ry 固定铰支 2 (Rx,Ry) Rx Ry 固 定 端 3 (M, Rx,Ry) Rx M Ry
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3、梁的类型 根据梁的支撑情况可以将梁分为 3 种类型 悬臂梁 简支梁 一端固定 一端自由 一端固定铰支座 一端活动铰支座 外伸梁
活动铰支座位于梁中某个位置
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4-3 梁的内力 # 剪力和弯矩 # 剪力和弯矩的正负号规定 # 截面法求内力 # 剪力图和弯矩图
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(1)剪力-----Q----其作用线与横截面的对称轴重合。
一、内力形式与方向规定: 1、内力的形式: (1)剪力-----Q----其作用线与横截面的对称轴重合。 Q M (2)弯矩----M----其作用平面与纵向对称面重合(即与横截面垂直)。
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2、剪力和弯矩正负号的规定 正 负 剪力正负号 弯矩正负号 Q 负 正 对所截截面上任一点的力矩顺时针为正,逆时针为负。 M M
将梁弯成下凸上凹时为正,上凸下凹时为负。
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二、平面弯曲时的内力计算 1、指定截面上的内力 结论: p p q A B 1、在集中力作用点,其左右两侧截面上,剪应力值不同,弯矩值相同。
4 1 2 3 5 6 A B 2a a a a 结论: 1、在集中力作用点,其左右两侧截面上,剪应力值不同,弯矩值相同。 2、在集中力偶作用点,其左右两侧截面上,剪力值相同,弯矩值不同。 3、在分布载荷的边缘点,其左右两侧截面上,剪力值和弯矩值均相同。
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2、任意截面的内力 ● 受力段 相邻两外力作用点之间所含的受力构件区段。 ● 内力的计算 *建立坐标
取梁的左端点为坐标原点,梁轴线为X轴,建立平面直 角坐标系。 *分段列剪力方程和弯矩方程。 *确定剪力方程和弯矩方程的适用区间(定义域)。
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(0≤X≤L) q 求图示简支梁 x 截面的内力 A B 在x 处截开,取左半部分分析 l 受力图如图示 q qx M Q RAy
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三、剪力图和弯矩图 将弯曲内力、即剪力和弯矩沿杆截面的分布规律用图形表示。 1、根据剪力方程、弯矩方程画剪力图和弯矩图
● 作剪力图和弯矩图的步骤: ①取水平坐标轴与梁的轴线平行且等长; ②在水平坐标轴上标出受力段的分界点; ③根据内力方程分段画内力图(内力为正时画在坐标轴的上方,内力为负时画在坐标轴的下方); ④画纵向线,标正负号。 1、根据剪力方程、弯矩方程画剪力图和弯矩图
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q A (0<x<L) B l (0≤X≤L)
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(1)列剪力方程和弯矩方程 (0<X<L) (0≤X<L) (2)画剪力图和弯矩图
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(0 < x < a) 如图所示一简支梁,在C点受集中力P 的作用,作此梁的剪力图和弯矩图。 (1) 求支座反力
(2) 列剪力方程和弯矩方程 AC段: (0 < x < a)
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CB段:
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(3) 画剪力图和弯矩图 AC段: (0 < x < a) CB段: 集中力使剪力图突变 集中力使弯矩图折曲
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(1)求支座反力 (2)列剪力方程和弯矩方程
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集中力偶不使剪力图变化 (3)画剪力图和弯矩图 集中力偶使弯矩图突变
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(1)求支座反力 (2)列写弯矩方程
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集中力使弯矩图折曲 集中力偶使弯矩图突变 (3)画弯矩图
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上节内容概述 ◆ 作剪力图和弯矩图的步骤: ①取水平坐标轴与梁的轴线平行且等长; ②在水平坐标轴上标出受力段的分界点;
③根据内力方程分段画内力图(内力为正时画在坐标轴的上方,内力为负时画在坐标轴的下方); ④画纵向线,标正负号。
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结论: 在集中力作用点,剪力图要发生突变,突变的大小、方向与该集中力的大小、方向相同;而弯矩图出现不连续点。
在集中力偶作用点,弯矩图要发生突变,其突变的大小与该力偶的力偶矩的大小相同,突变的方向:顺时针的力偶向上突变、逆时针的力偶向下突变。而剪力图出现不连续点。 在分布载荷边缘点,剪力图和弯矩图均不发生突 变。
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本节小结 微分应用: b、q =常数时,Q 图为 一条斜直线;M 图为 一条抛物线,且抛物线上各点斜率随Q图而变化。
a、q = 0 ,Q =常数 剪力图为一水平线;M 图为 一条斜直线,斜直线的斜率为该段的Q值。 b、q =常数时,Q 图为 一条斜直线;M 图为 一条抛物线,且抛物线上各点斜率随Q图而变化。 c、若均布载荷向下,q为负,剪力图斜率为负,为一向右下倾斜的直线。 积分应用: M(b)=M(a)+∫abQdx= M(a)+Aq Q(b)=Q(a)+∫abqdx= Q(a)+AQ
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(1)分布载荷q、剪力Q和弯矩 M之间的微分关系
2、根据分布载荷、剪力、弯矩之间的微分关系 作剪力图和弯矩图 (1)分布载荷q、剪力Q和弯矩 M之间的微分关系 dx x B A q(x) Q M ∑Y=0 Q+qdx-(Q+dQ)= dQ= qdx ∑MO=0 -M-QdX-qdx*dx/2+(M+dM)=0 dM=Qdx M+dM Q+dQ q
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Q(b)=Q(a)+∫abqdx= Q(a)+Aq
(2)微分关系的应用 微分应用: a、q = 0 ,Q =常数 剪力图为一水平线;M 图为 一条斜直线,斜直线的斜率为该段的Q值。 b、q =常数时,Q 图为 一条斜直线;M 图为 一条抛物线,且抛物线上各点斜率随Q图而变化。 c、若均布载荷向下,q为负,剪力图斜率为负,为一向右下倾斜的直线。 积分应用: M(b)=M(a)+∫abQdx= M(a)+AQ Q(b)=Q(a)+∫abqdx= Q(a)+Aq
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B A E D C + Q图 + - M图 + 7KN 3KN 2KN 1KN 20.5KNM 20KNM 3KN 16KNM 6KNM
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q =10 kN/m 4-2(e) C A B 1.33 Q + -- 0.36 0.27 2.67 M +
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4-2(h) 10 Nm B A C 50 N Q 10 Nm M
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q 4-2(j) A C 1 3/4 Q 0.28 5/4 M 0.5
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q 4-5(h) C A B 5/6 qa 1 Q 5/6 qa2 7/6 M 13/72 1/6 3/6
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4-7 检查下列剪力弯矩图是否正确 q B A C
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P=qa q q A A B
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第五章 梁的弯曲应力
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5-1 梁弯曲时的正应力 # 纯弯曲与剪切弯曲 # 中性层和中性轴 # 弯曲正应力分布规律 # 弯曲正应力的计算、抗弯截面模量
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各横截面上同时有弯矩M和剪力Q,称为剪切弯曲。
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1、几何关系 纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面,仍然垂直于轴线,只是绕中性轴转过一个角度,称为平面假设。 中 性 层 轴
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# 中性层和中性轴 ● 中性层 梁弯曲变形时,既不伸长亦不缩短的纵向纤维层称为中性层。 对矩形截面梁来讲,就是位于上下中间这一层。
● 中性轴 中性层与横截面的交线。 梁弯曲时,实际上各个截面绕着中性轴转动。 如果外力偶矩如图作用在梁上,该梁下部将伸长、上部将缩短。
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变形的几何关系为:
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2、物理关系 由虎克定律
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# 弯曲正应力分布规律 M M ● 与中性轴距离相等的点,正应力相等; ● 正应力大小与其到中性轴距离成正比;
●弯矩为正时,正应力以中性轴为界下拉上压; M ● 弯矩为负时,正应力上拉下压; ● 中性轴上,正应力等于零
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3、静力学关系 Z:中性轴 静矩,面积矩 中性轴必然通过横截面的形心
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抗弯刚度
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公式的适用范围: 其中:M-------横截面的弯矩; Y-------所求应力点到中性轴的距离;
IZ 横截面对中性轴的惯性矩; 公式的适用范围: ● 弹性范围; ● 纯弯曲变形;
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4、弯曲正应力的最大值和最小值 截面上最大弯曲正应力发生在截面的上下边界上: WZ 称为抗弯截面模量,Z 为中性轴.
最小值:бmin=0 (在中性轴上) b 实心圆截面 矩形截面 Z Z d h
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梁的弯矩图如图5-8b 所示,由图知梁在固定端横截面上的弯矩最大,其值为
例5-1 图5-8所示,一受均布载荷的悬臂梁,其长l=1m,均布载荷集度q=6kN/m;梁由10号槽钢制成,由型钢表查得横截面的惯性矩Iz=25.6cm4。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。 (1)作弯矩图,以确定危险截面 梁的弯矩图如图5-8b 所示,由图知梁在固定端横截面上的弯矩最大,其值为
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因危险截面上的弯矩为负,故截面上缘受最大拉应力,其值为
(2)求最大应力 因危险截面上的弯矩为负,故截面上缘受最大拉应力,其值为 在截面的下端受最大压应力,其值为
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5-2 惯性矩的计算 1、简单截面的惯性矩 矩形截面
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圆形与圆环截面 空心圆 实心圆
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2、组合截面惯性矩
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平行移轴公式
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例5-2 求T字形截面的中性轴 z,并求截面对中性轴的惯性矩.
(1)确定形心和中性轴的位置 将截面划分为Ⅰ 、Ⅱ两矩形,取与截面底边相重合的z 轴为参考轴,则两矩形的面积及其形心至z 轴的距离分别为:
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(2)求各组合部分对中性轴z的惯性矩 整个截面的形心C 在对称轴 y上的位置则为: 即中性轴 z 与轴 z 的距离为3cm。
设两矩形的形心CⅠ和CⅡ;其形心轴为z1和z2,它们距z轴的距离分别为:
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由平行移轴公式,两矩形对中性轴z的惯性矩为:
(3)求整个截面对中性轴的惯性矩 将两矩形对z轴的惯性矩相加,得
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5-3 梁的强度条件 # 梁的最大正应力 # 梁的强度条件 # 举例
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在细长梁条件下(L/H﹥5),其剪力对梁强度的影响较小,可忽略不计,此时,可将纯弯曲情况下建立的应力计算公式近似应用于横力弯曲。
一、横力弯曲下的应力计算公式 在细长梁条件下(L/H﹥5),其剪力对梁强度的影响较小,可忽略不计,此时,可将纯弯曲情况下建立的应力计算公式近似应用于横力弯曲。 σ= M(x) Y / IZ 1、最大应力: σmax= M(x) /wz 2、最小应力: σmin= 0 (中性轴上)
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● 梁的危险截面 梁的危险截面为梁内弯矩取得最大值的截面。 危险截面位于梁中部 危险截面位于梁根部 ● 梁的危险点 在危险截面上应力取得最大值的点(即离中性轴最远点)。
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二、梁的强度条件 Mmax---------梁内最大弯矩 WZ-----------险截面抗弯截面模量
[σ] 材料的许用应力 利用强度条件可以校核强度、设计截面尺寸、确定许可载荷
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例5-3 图示圆截面辊轴,中段BC受均部载荷作用,试确定辊轴BC段截面的直径。已知q = 1KN/mm,许用应力[σ] = 140MPa。
利用截面法求该截面弯矩 B C A D 300 300 1400 300 q 由对称性可求得: M 700 300 RAy
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根据弯曲强度条件 例5-4 图示悬臂梁承受均布载荷q,假设梁截面为bh的矩形, h = 2b,讨论梁立置与倒置两种情况哪一种更好? b h
同样载荷条件下,工作应力越小越好 因此,WZ 越大越好 梁立置时: 立置比倒置强度大一倍。 梁倒置时:
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