第十二章 樑之應力 12-1 樑的種類 12-2 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-3 樑的彎曲應力 12-4 樑的剪應力

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1 第十二章 樑之應力 12-1 樑的種類 12-2 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-3 樑的彎曲應力 12-4 樑的剪應力
第十二章　樑之應力 12-1　樑的種類 12-2　剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-3　樑的彎曲應力 12-4　樑的剪應力 12-5　採用複雜斷面的理由 截面之方向與強度的關係 總目次

2 樑的種類 12-1 　　凡能承受與其軸方向垂直之橫向負荷的構件，均稱為樑（beam），其主要產生之內力有剪力及彎曲力矩兩種。一般依照其支承方式之不同，可分為下列六種。 回目次

3 樑的種類 12-1 連續樑（continuous beam）
回目次 連續樑（continuous beam） 　　樑上有三個或以上之支承者稱之。如圖所示，樑之一端為銷支承 ，以符號 表示；而另一端為輥支，以符號 或 表示。

4 樑的種類 12-1 束限制樑（restrained beam） 固定樑 ( fixed beam )
回目次 束限制樑（restrained beam） 如圖所示，一端為固定支承，而另一端為輥支承。 固定樑 ( fixed beam ) 如圖所示，樑之兩端均為固定支承。 上述三種樑----即連續樑、束限制樑及固定樑，其支承之未知反力超過三個，不能直接以靜力學之平衡方程式求得，故稱為靜不定樑。

5 樑的種類 12-1 回目次 簡支樑（simply supported beam） 亦稱簡單樑或單樑，如圖（a）所示。

6 12-1 樑的種類 　　銷支承可支持各方向的作用力，其特性在於限制樑不可以作水平或垂直方向的平移，但可自由轉動；是以，其具有水平與垂直方向之反力。 　　輥支承僅限制垂直方向的移動，而水平方向不受限制，故只有垂直方向之反力，如圖（b）所示。

7 樑的種類 12-1 懸臂樑（cantilever beam）
回目次 懸臂樑（cantilever beam） 　　亦稱肱樑，如圖（a）所示，樑之ㄧ端為固定支承，而另一端無支承。在固定支承處，樑不能移動也不能旋轉，故具有垂直、水平方向之反力及固定端之反力矩，如圖（b）所示。

8 12-1 樑的種類 外伸樑（overhanging beam）
如圖所示，樑之ㄧ處為銷支承，另一處為輥支承 ，而樑有一端或兩端伸出支承之外，故得其名。 上述前三種樑----即簡支樑、懸臂樑及外伸樑，其支承之未知反力均可直接由靜力學之平衡方程式(ΣFx=0，ΣFy=0，ΣM=0)求得，故稱為靜定樑，本章僅對靜定樑作分析及探討。

9 樑的種類 12-1 1.無負荷（no load） 2.集中負荷（concentrated load）
回目次 1.無負荷（no load） 2.集中負荷（concentrated load） 　　樑係支承橫向負荷的構件，而其負荷相當複雜，一般可將其歸納成五種基本型態，任一樑可能僅支承一種負荷，亦可同時支承幾種負荷。 　　樑本身重量較其所承受之負荷為甚小時，樑重可忽視；而樑上無分布力（ω = 0）作用之部位，即為無負荷。 　　當負荷集中作用於樑上之一點，稱為集中負荷，如右圖所示之 P。

10 樑的種類 12-1 3.均布負荷（uniformly distributed load）
回目次 當負荷係均勻地作用於樑上某一段長度或全長時，稱為均布負荷。單位長度上之負荷，以「ω」表示之，其單位為 N/m ，如圖所示。 3.均布負荷（uniformly distributed load） 圖12-8　均布負荷

11 樑的種類 12-1 4.變化負荷（varying load） 凡不是均布負荷，皆可稱為變化負荷。通常係線性變化負荷，即均變負荷，如圖所示。
回目次 凡不是均布負荷，皆可稱為變化負荷。通常係線性變化負荷，即均變負荷，如圖所示。 4.變化負荷（varying load） 圖12-9　線性變化負荷

12 樑的種類 12-1 5.力偶負荷（couple load）
回目次 　　即樑承受外加力偶作用，如圖12-10所示。由於力偶作用在樑上而使樑有彎曲變形的趨勢，故又稱為彎曲負荷；通常此種負荷可視為集中作用於樑上某固定點。 5.力偶負荷（couple load） 圖12-10　力偶負荷

13 樑的種類 12-1 回目次 　　樑承受負荷時，其支承必產生反作用力，以維持樑之平衡。對於靜定樑，其支承之反力可直接由靜力學之平衡方程式求解。一般而言，樑支承之反力求解步驟如下： 繪製樑之自由體圖，標出樑所有承受之外加負荷及支承之未知反力。 樑上有均布負荷、變化負荷作用時，須先將其以一等效之集中負荷取代之；此等效集中負荷之大小等於該原負荷曲線下之面積，其作用點則設於此面積的形心，如圖12-11所示。

14 樑的種類 12-1 回目次 圖12-11　等效集中負荷

15 樑的種類 12-1 (3) 列出樑之自由體圖的平衡方程式： ΣFx = 0、ΣFy = 0 及 ΣM = 0 ，可求得樑支承 之未知反力。
圖12-11　等效集中負荷 (3) 列出樑之自由體圖的平衡方程式： ΣFx = 0、ΣFy = 0 及 ΣM = 0 ，可求得樑支承 　之未知反力。 (4) 解聯立方程式。 回目次

16 樑的種類 12-1 回目次

17 樑的種類 12-1 回目次

18 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 　由靜力學之觀念—構件平衡時，其上任一部分必平衡，故當一平衡之樑上，其任一剖面，必有一與剖面平行之力，稱為剪力（V）；及一與剖面垂直之彎曲力矩，稱為彎矩（M），如圖12-16 所示。 回目次

19 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 回目次 圖12-16　樑之剪力及彎矩

20 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 1.剪力及彎曲力矩的計算 2.剪力圖及彎矩圖之繪法 3.樑之危險截面 回目次

21 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 1.剪力及彎曲力矩的計算 (1) 剪力之計算
回目次 (1) 剪力之計算 　　作用於樑剖面任何一側之外力代數和，稱為作用於該剖面之剪力，且規定剖面左側力量向上或右側力量向下之剪力為正，反之為負，如圖12-17所示。 以左側而言，V1 = RA － P1 以右側而言，V2 = P2 － RB 且 V1 = V2 圖12-17　剪力

22 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 回目次 　　剖面左、右側之剪力大小相等，方向相反，如圖12-16（b）所示。 圖12-16　樑之剪力及彎矩

23 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 l (2) 彎矩之計算
回目次 (2) 彎矩之計算 　　作用於樑任何一側之所有外力對剖面所生力矩之代數和，稱為作用於該剖面之彎矩，且規定對該剖面左側產生逆時針方向或右側產生順時針方向之彎矩為正，反之為負，或說樑凹面向上變曲為正，凹面向下變曲為負，如圖12-18所示。 以左側而言，M1 = RA × x－ P1 ( x － a ) 以右側而言，M2 = RB ( － x ) － P2 ( － x － b ) 且 M1 = M2 l 圖12-18　彎矩

24 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 　剖面左、右側之彎矩大小相等，方向相反，如圖12-16（b）所示。 圖12-16　樑之剪力及彎矩 回目次

25 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 綜合以上所述，剪力（V）及彎矩（M）之符號可以圖12-19所示之情形熟記。
圖12-19　剪力及彎矩之符號 回目次

26 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 回目次

27 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 回目次

28 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 回目次

29 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 回目次

30 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 2.剪力圖及彎矩圖之繪法
回目次 2.剪力圖及彎矩圖之繪法 0 ≤ x1 ≤ a 時為 V1 及 M1 ；a ≤ x2 ≤ b 時為 V2 及 M2 ； b ≤ x3 ≤ c 時為 V3 及 M3 ；c ≤ x4 ≤ d 時為 V4 及 M4 。 由上節之計算分析可知，樑承受橫向載重時，其任一截面必同時承受剪力及彎曲力矩，然不同位置之截面所受之剪力與彎曲力矩也不相等。為易於了解樑內各剪力及彎曲力矩之變化情形，常藉圖形以表明剪力及彎曲力矩隨距離之變化情形。 此種圖形以橫坐標表樑截面之位置，而縱坐標表剪力或彎矩之值，依此方式所求得剪力及彎曲力矩隨位置變化之曲線，稱為剪力圖(shear diagram)及彎矩圖(moment diagram)。 由剪力方程式Vx 及彎曲力矩方程式Mx，可輕易繪得剪力圖及彎矩圖，其中x 為樑截面位置之變數。在求此兩方程式時，須注意樑在集中載重之作用點，均布或變化載重之改變處及力偶之作用點，因其使剪力或彎曲力矩呈不連續之變化。故常將樑上任意兩不連續負荷間之剪力及彎曲力矩方程式分別列出，如圖12-23 所示之樑，在B、C、D 三點之負荷呈不連續之變化，其須分成四個區間表示，即 圖12-23　樑承受不連續負荷

31 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 一般繪製剪力圖及彎矩圖之步驟如下。 先由靜力平衡方程式求出樑支承之反力。
回目次 一般繪製剪力圖及彎矩圖之步驟如下。 先由靜力平衡方程式求出樑支承之反力。 (2) 寫出各段之剪力及彎曲力矩方程式。 (3) 求出各特殊點之剪力及彎矩值。 （剪力圖面積 = 彎矩值之大小） (4) 依方程式之特性及特殊點之值，繪出剪力圖 及彎矩圖。 剪力圖：一律由左端開始畫；正值在橫軸線上方，負值在橫軸線下方。 彎矩圖：簡支樑由左端開始畫，懸臂樑由自由端開始畫。

32 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 2. 各種負荷狀態及其剪力圖與彎矩圖之關係，如下表。 回目次

33 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 剪力圖及彎矩圖的觀察法，其步驟如下。 (1) 求樑上各支承的反作用力。
(2) 決定不連續變化點的剪力值。 (3) 繪出各不連續變化點的剪力值間之剪力曲線，即可得剪力圖。由前述各例歸納可知 在某兩集中負荷間承受零負荷，則其剪力圖為水平直線。 樑上承受垂直向下之均布負荷時，則剪力圖為一負斜率之斜直線，而此斜率大小等於均布負荷之強度。 樑上承受垂直向下之均變負荷時，則剪力圖為開口向下的拋物線。 回目次

34 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 (4) 由剪力圖面積及樑上力偶矩值，決定變化點之彎曲力矩值。 先計算各剪力曲線下之面積。
樑在力偶作用處產生一彎曲力矩跳躍現象。 由左向右繪製彎矩圖。 (5) 繪出各變化點之彎曲力矩值間之彎矩曲線，即可得彎矩圖。由前述各例歸納可知 樑上無分布力時，彎矩為斜直線，彎矩將依ｘ距離之不同做直線變化，此段斜率等於該段剪力值。 回目次

35 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 樑上承受集中負荷時，彎矩圖在該點出現轉折點。
樑上承受垂直向下均布負荷時，彎矩圖為開口向下之拋物線，其斜率等於該點之剪力值。 樑上承受垂直向下均變負荷時，彎矩圖為開口向下之三次曲線，其斜率等於該點之剪力值。 (6)畫圖技巧：水平直線 → 傾斜直線 → 二次拋物線→三次拋物線。 回目次

36 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 3.樑之危險截面 茲就梁之危險截面求得方法，略述如下：
回目次 3.樑之危險截面 茲就梁之危險截面求得方法，略述如下： 繪出樑之剪力圖及彎矩圖，並判斷剪力等於零之各截面，其中彎矩之絕對值最大的部位即為危險截面。 亦可列出樑之剪力方程式，而令此式為零，求得剪力等於零之截面，其中彎矩之絕對值最大者，即為危險截面。然樑上若有力偶作用，則此法不適用。 樑承受載重而產生最大彎矩之截面，常常可能遭致破壞，故稱之為危險截面。是以，在實際進行樑之設計時，應先求得彎矩之絕對值最大的截面，及所生彎曲應力不得超過材料之容許應力。 一般而言，懸臂樑之危險截面，必定在固定端或力偶之作用點上；而簡支樑之危險截面則在剪力圖中剪力由正變負，或由負變正之截面上。

37 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 回目次

38 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 回目次

39 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 回目次

40 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 回目次

41 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 回目次

42 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 回目次

43 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 回目次

44 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 回目次

45 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 回目次

46 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 回目次

47 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 回目次

48 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 回目次

49 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 回目次

50 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 回目次

51 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 回目次

52 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 回目次

53 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 回目次

54 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 回目次

55 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 懸臂樑承受各種基本負荷之剪力圖及彎矩圖 回目次

56 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 懸臂樑承受各種基本負荷之剪力圖及彎矩圖 回目次

57 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 懸臂樑承受各種基本負荷之剪力圖及彎矩圖 回目次

58 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 懸臂樑承受各種基本負荷之剪力圖及彎矩圖 回目次

59 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 回目次

60 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 回目次

61 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 回目次

62 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 回目次

63 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 回目次

64 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-2 回目次

65 樑的彎曲應力 12-3 樑承受橫向載重，將產生彎曲變形；而樑上某橫截面內，如僅有彎曲力矩而無剪力存在時，則樑在此處所生的彎曲現象，稱為純彎曲。 如圖所示為幾種受純彎曲的典型特例；圖 (a)為一簡支樑承受兩相同且成對稱的集中負荷；圖 (b)為兩端承受相同力偶作用的簡支樑，而圖 (c)為自由端承受力偶作用的懸臂樑，此三者在AB 間的各橫截面所受的彎曲力矩均相等，且不受剪力作用。由純彎曲而產生的應力稱為彎曲應力。 圖12-35　承受純彎曲之樑 回目次

66 樑的彎曲應力 12-3 圖12-36 純彎曲之樑 回目次 欲導出樑承受純彎曲後，所生的彎曲應力與彎曲力矩的關係，必先做以下假設：
(1) 樑內任一橫截面在承受純彎曲前後，均保持為平面，且與縱向軸垂直。 (2) 樑為均質材料，彎曲後所生的應力恆小於比例限度，即遵循虎克定律。 (3) 樑之材料受張力與受壓力的彈性係數大小相同。 (4) 彎曲力矩的作用面恆在橫截面的對稱面上，即彎曲力矩恆作用於樑的縱向對稱面上，如圖12-36示。 圖12-36　純彎曲之樑 回目次

67 樑的彎曲應力 12-3 如圖12-37所示，當圖(a)之樑承受一正值的彎曲力矩M 作用，將產生彎曲變形，如圖(b)所示。樑中相距Δx 的兩橫截面mn 及pq，由於彎曲變形後依然保持平面且與縱向軸垂直，故彎曲後兩截面將相互旋轉一角度Δθ而不再平行，如圖(b)所示。其中虛線p'q' 為pq 截面未變形前的相對位置；顯然地，彎曲後樑的上半部承受壓縮作用，同時下半部承受拉伸作用，其間必存在一過渡面－即不受壓也不受拉，且縱向長度保持不變，則稱此面為樑之中立面，如圖 (b)所示的中心線。中立面與樑內任一橫截面的交線，稱為該截面的中立軸，中立面與樑內垂直縱截面相交的曲線，稱為樑之彈性曲線，如圖(c)所示。 圖12-37　中立面與中立軸 回目次

68 　在比例限度內，樑承受純彎曲後，因應力與應變成正比，故作用於截面的彎曲應力與至中立面的距離 y 成正比，如圖12-38所示，即
樑的彎曲應力 12-3 回目次 圖12-38　彎曲應力之分布

69 樑的彎曲應力 12-3 將承受純彎曲的樑，切取任意橫截面的分離體圖，如圖12-39所示，則由平衡條件可知ΣFx=0，且ΣMz= M；其中ΣFx= 0，表示樑任意橫截面上彎曲應力的總和恆等於零；而ΣMz=M 表示橫截面上所生的彎曲應力對其中立軸(Z 軸)的力矩和，恆等於該截面所承受的彎曲力矩M。且中立軸必通過截面之形心。 圖12-39　彎曲應力 回目次

70 樑的彎曲應力 12-3 回目次

71 樑的彎曲應力 12-3 回目次 上式即為樑內彎曲應力與彎曲力矩之關係式。顯示樑內彎曲應力與彎曲力矩成正比例，欲得最大彎曲應力，必在產生最大彎曲力矩處，且位於距中立軸最遠之上下兩緣；亦即離中立軸愈遠彎曲應力值愈大，在中立軸處彎曲應力為零。

72 樑的彎曲應力 12-3 回目次

73 樑的彎曲應力 12-3 回目次

74 樑的彎曲應力 12-3 回目次

75 樑的彎曲應力 12-3 回目次

76 樑的彎曲應力 12-3 回目次

77 樑的彎曲應力 12-3 回目次

78 樑的剪應力 12-4 承受橫向載重之樑，其任一截面必同時承受剪力V 與彎曲力矩M 之作用。彎曲力矩M 使樑截面產生彎曲應力；剪力V 亦能使樑截面產生剪應力。本節繼續分析樑截面所受之剪力其所生剪應力之關係。 如圖(a)所示，設樑承受橫向載重後，在其橫截面上所生剪應力方向與其所受剪力V 方向相同，且剪應力沿寬度b 方向均勻分布，此稱為垂直剪應力。又由於剪應力必同時發生在互相垂直的兩平面上，且大小相等方向相反，如圖(b)、(c)所示，因此樑內必同時有縱向水平剪應力產生。 圖12-45　樑內之剪應力 回目次

79 樑的剪應力 12-4 欲了解水平剪應力存在與否，可參見如圖(a)所示的疊板樑，係由數個相同截面的薄板疊成；若不計各薄板間之摩擦，當樑承受橫向負荷時，各板將各自產生彎曲而互不干涉，即彼此間的接觸面可自由滑動，如圖(b)所示。若將疊板樑用螺栓串接成一整體，當樑承受橫向載重時，螺栓可阻止各薄板間的相互滑動，承受水平剪應力，如圖(c)所示。 由上述可知，整塊材料製成之實體樑，如圖(d)所示，可以當作是數層薄板所組成；承受橫向負荷時，各薄層間應無發生滑動情形，則在各薄層間必產生剪應力以阻止相互間滑動。是以，樑受橫向負荷時，在縱向水平面上必有水平剪應力存在。 圖12-46　樑內水平剪應力 回目次

80 樑的剪應力 12-4 在一承受橫向負荷之樑上，任意截取相距Δx 之兩截面mn 及m1n1，如圖(a)所示。其次，畫出其分離體圖，如圖(b)所示，且令m1n1 面之彎曲力矩M+ΔM 大於mn 面之彎曲力矩M；亦即mn 面之彎曲應力必小於m1n1 面之彎曲應力，其彎曲應力分布如圖(c)所示。 欲求樑內剪應力，可自圖(c)的分離體圖上，距中立面y_i 處切取pp1平面；而取pp1n1n 的分離體圖，如圖(d)所示，此圖中左側總彎曲應力F1 小於右側之總彎曲應力F2。依分離體必為平衡狀態，由ΣFx=0，可知必有一水平向左的作用力以維持平衡，此力即為樑中之水平剪力VH。是以，欲求水平剪應力只要按τ= VH/AH即可求得，其中AH=b xΔX。 圖12-47　樑內剪應力 回目次

81 樑的剪應力 12-4 如 σi、σj 分別為圖12- 47（d）中的分離體圖在距中立面 yi 處左、右兩側的彎曲應力，則由應力之基本定義可得
其次，由彎矩應力之分布，可知 又因 ，即 回目次

82 樑的剪應力 12-4 回目次 由 是以，

83 樑的剪應力 12-4 回目次

84 樑的剪應力 12-4 如圖12- 48 所示，為一矩形截面樑 b × h ，離中立軸為 y1 之斜面積 A 所生的剪應力，由圖可知。
回目次 　　如圖 所示，為一矩形截面樑 b × h ，離中立軸為 y1 之斜面積 A 所生的剪應力，由圖可知。 如圖所示，為一矩形截面樑b×h，離中立軸為y1 之斜面積A 所生的剪應力，由圖可知。 圖12-48　樑剪應力的分布

85 樑的剪應力 12-4 由 可知為一拋物線函數，即剪應力呈拋物線函數變化，如圖12-48（b）所示，在中立軸為最大，上下兩緣為最小，且皆為零。
回目次 由 　　可知為一拋物線函數，即剪應力呈拋物線函數變化，如圖12-48（b）所示，在中立軸為最大，上下兩緣為最小，且皆為零。

86 樑的剪應力 12-4 由上述可知，矩形截面樑在中立軸上之最大剪應力為 如 A = bh ，則
回目次 　　由上述可知，矩形截面樑在中立軸上之最大剪應力為 如 A = bh ，則 　　故矩形截面樑的最大剪應力為其平均剪應力的 1.5 倍。

87 樑的剪應力 12-4 回目次 　　又如圖12- 48（a）（b）所示，圓形截面樑在中立軸上的最大剪應力為 圖12-49　樑剪應力的分布

88 樑的剪應力 12-4 回目次

89 樑的剪應力 12-4 另外 I 形截面樑及 T 形截面樑剪應力的分布情形，如圖12-50（a）（b）（c）（d）所示。
回目次 　　另外 I 形截面樑及 T 形截面樑剪應力的分布情形，如圖12-50（a）（b）（c）（d）所示。 圖12-50　樑剪應力的分布

90 樑的剪應力 12-4 回目次

91 樑的剪應力 12-4 回目次

92 樑的剪應力 12-4 回目次

93 樑的剪應力 12-4 回目次

94 樑的剪應力 12-4 回目次

95 樑的剪應力 12-4 回目次

96 採用複雜斷面的理由 12-5 設計一樑能承受橫向載重，除需符合安全和經濟的原則外，最主要的考慮因素，是選擇一適當的形狀與尺寸的截面，以使樑承受載重後所生的彎曲應力，恆低於該樑的容許彎曲應力。 回目次

97 採用複雜斷面的理由 12-5 茲先列舉正方形截面與圓形截面，在相同截面積下，比較其截面係數，則
回目次 　　茲先列舉正方形截面與圓形截面，在相同截面積下，比較其截面係數，則 　　式中， b 為正方形截面的邊長， d 為圓形截面的直徑。是以，正方形截面的截面係數為 一般符合所需的截面係數者，卻有各種不同形狀的截面可供選擇。以最經濟為選擇目的時，必須選用其截面積最小者為最佳截面；即符合所需的截面係數且使樑的重量為最輕。

98 採用複雜斷面的理由 12-5 而圓形截面的截面係數為
回目次 而圓形截面的截面係數為 （a）、（b）兩式相比較可知，正方形截面與圓形截面的截面積相同時，正方形截面的截面係數較大；又（a'）、（b'）兩式相比較可知，若截面係數相同時，正方形截面的截面積較小。故選擇正方形截面樑較為經濟。 `y)

99 採用複雜斷面的理由 12-5 另探討長方形（矩形）截面的截面係數，設其寬度為b ，高度為h ，如圖12-55（a）所示，則
回目次 另探討長方形（矩形）截面的截面係數，設其寬度為b ，高度為h ，如圖12-55（a）所示，則 　　由（c）式可知，相同截面積的各種矩形截面，高度 h 較大者，其截面係數愈大。因此，選擇h > b 的矩形截面比相同截面積的正方形截面較為經濟。 圖12-55　理想截面之設計→

100 　　其次，由彎曲應力的分布情形，如圖12-38所示可知，樑的最大彎曲應力均產生在距中立軸最遠的範圍內，且與中立軸的距離成正比。
採用複雜斷面的理由 12-5 回目次 圖12-38　彎曲應力之分布

101 採用複雜斷面的理由 12-5 回目次 圖12-55 理想截面之設計

102 　　但此種理想截面無法存在，必須在中間加一腹板方能成形，如圖12-55（c）、（d）所示，為寬翼形截面及 I 形截面，此種截面的截面係數約為Z≒0.35Ah …… ( e )
採用複雜斷面的理由 12-5 回目次 圖12-55　理想截面之設計

103 採用複雜斷面的理由 12-5 回目次 　　顯然地，寬翼形截面與 I 形截面又比矩形截面更為經濟。是以，工程上為配合各種不同的需求，而有各種標準型鋼可供選用，如圖12-56所示。 圖12-56　標準型鋼截面

104 採用複雜斷面的理由 12-5 回目次 　　最後，對於抗張與抗壓強度相同的材料，在承受彎曲時，為使最大張應力與最大壓應力同時達到容許應力，宜選用上下成對稱的截面，如圖12-57（a）、（b）、（c）所示截面。 圖12-57　各種截面樑之選用

105 採用複雜斷面的理由 12-5 回目次 　　但對於抗壓強度大於抗張強度的材料，如鑄鐵及混凝土等，則宜選用上下不成對稱的截面，如圖12-57（d）、（e）、（f）所示截面，以使最大壓應力與最大張應力同時達到容許應力，中立軸至上下兩緣距離之比等於其對應容許應力之比，即 圖12-57　各種截面樑之選用

106 採用複雜斷面的理由 12-5 　　由以上之原因，設計鋼樑之截面時，很少選擇長方形、圓形或方形截面，而多使用 I 字形、 T 字形、 L 字形、槽形、箱形等複雜截面，可獲得較大的 Z 值，而使 σ 較小。 回目次

107 採用複雜斷面的理由 12-5 回目次

108 採用複雜斷面的理由 12-5 回目次

109 採用複雜斷面的理由 12-5 回目次

110 採用複雜斷面的理由 12-5 回目次

111 截面之方向與強度的關係 12-6 　　若將樑截面上離中立軸較遠的一邊，置於水平位置時，則樑截面的高大於寬，其截面係數與高度的平方成正比，故抵抗彎曲力矩必較大，即樑的強度較強。 　　如矩形截面樑，安置短邊與中立軸平行者，較安置長邊與中立軸平行者之強度為強。若為橢圓形截面樑，也是以安置短軸與中立軸平行者之強度為強。 回目次

112 截面之方向與強度的關係 12-6 回目次

113 截面之方向與強度的關係 12-6 回目次