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12-1 樑的種類 12-2 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-3 樑的彎曲應力 12-4 樑的剪應力 12-5 採用複雜截面的理由
第十二章 樑之應力 12-1 樑的種類 12-2 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 12-3 樑的彎曲應力 12-4 樑的剪應力 12-5 採用複雜截面的理由
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12-1 樑的種類 1 樑的定義 將一根細長的構件用適當的方法支撐，藉以承受與其軸線成垂直之負荷，使其產生彎曲的現象者，稱為樑（Beam），如圖12-1 所示。
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12-1 樑的種類 上述中，樑的支撐方式有三種，分別是滾子支承（Roller Support）、鉸鏈支承（Hinge Support）及固定支承（Fixed Support），其自由體圖如圖12-2 所示。
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12-1 樑的種類 樑之負荷，一般常見的有集中負荷、均布負荷、均變負荷及彎矩負荷四種，如圖12-3 所示。
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12-1 樑的種類 2 樑的種類 樑依其支撐方式，可分為二大類：
（1）靜定樑：在同平面力系中，我們知道在樑的支撐處之反作用力一般均不可以超過三個，方可使用靜力學的三個平衡方程式來求解，此類的樑稱為靜定樑（Statically Determinate Beam），靜力學的三個平衡方程式為：
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12-1 樑的種類 靜定樑又可分為下列三種： (a)簡支樑：樑之兩端分別以滾子支承及鉸鏈支承之樑，稱為簡支樑（Simple Beam），其支撐方式及支承反力，如圖12-4 所示。
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12-1 樑的種類 (b)外伸樑：樑之一端或兩端伸出於滾子支承或鉸鏈支承之樑，稱為外伸樑（Overhanging Beam），其支撐方式及支承反力，如圖12-5所示。
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12-1 樑的種類 (c)束限制樑：樑之一端為固定支承，而另一端以滾子支承或鉸鏈支承之樑，稱為束限制樑（Propped Cantilever Beam），其支撐方式及支承反力，如圖12-9 所示。
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12-2 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 1 剪力及彎曲力矩的方向及符號
當樑在承受負荷後，在樑內會因而產生剪應力及彎曲應力，而在探討剪應力及彎曲應力之前，我們必須先針對樑因承受負荷後，所產生之剪力（Shearing Force）及彎曲力矩（Bending Moment）之方向加以定義，且因剪力及彎曲力矩均為向量，所以其方向有正負之分。 使樑之某部分產生順時針方向轉動之剪力，稱為樑在此部分之剪力為「正」；反之，使樑之某部分產生逆時針方向轉動之剪力，稱為樑在此部分之剪力為「負」，如圖12-10(a)所示。
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12-2 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 樑受負荷作用後，樑因而產生彎曲變形。若樑彎曲後之凹口向上，稱為樑在此部分之彎曲力矩為「正」；反之，若樑彎曲後之凹口向下，稱為樑在此部分之彎曲力矩為「負」，如圖12-10(b)所示。
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12-2 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 2 剪力及彎曲力矩的計算
今將樑距B 端x 距離之mn 截面處加以剖切，因而使樑分成左右兩段。今分別畫出左右兩端之自由體圖，如圖12-11(b)及12-11(c)所示。
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12-2 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 3 剪力及彎曲力矩的圖解
樑承受負荷後，樑上各截面的剪力及彎曲力矩會隨著截面位置不同而不同。所以，我們常用圖形來表示樑上各截面的剪力及彎曲力矩的變化情形。 我們以剪力大小為縱座標，截面位置為橫座標，所畫出的剪力大小與截面位置之關係曲線，稱為剪力圖（Shearing Force Diagram）。同理，我們以彎曲力矩大小為縱座標，截面位置為橫座標，所畫出的彎曲力矩大小與截面位置之關係曲線，稱為彎曲力矩圖，簡稱彎矩圖（Bending Moment Diagram）。
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12-2 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 一般繪製剪力圖及彎矩圖之步驟如下： （1）求得各支點反力。
（2）自樑上各個有負荷的點，拉一向下之垂直線。 （3）在適當位置繪出二條水平線，分別代表剪力圖之零線及彎矩圖之零線，並標註「V」代表剪力，「M」代表彎曲力矩。
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12-2 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 （4）剪力圖一般均習慣由左而右繪製，遇各種負荷而有不同之繪製方法： (a)沒有負荷：剪力圖為水平直線。
(b)集中負荷：剪力圖為垂直線。 (c)均布負荷：剪力圖為傾斜直線。 (d)均變負荷：剪力圖為二次曲線（即為拋物線）。 (e)彎矩負荷：剪力圖不受影響。
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12-2 剪力及彎曲力矩的計算及圖解 （5）彎矩圖各點之彎曲力矩大小，即為剪力圖中該點任一側之面積大小，唯須考慮其正負符號。另外，彎矩圖中因各種負荷而產生之曲線，恰為剪力圖之曲線多一次方的函數，各種負荷之曲線如下： (a)沒有負荷：彎矩圖為傾斜直線。 (b)集中負荷：彎矩圖為折線。 (c)均布負荷：彎矩圖為二次曲線（即為拋物線）。 (d)均變負荷：彎矩圖為三次曲線。 (e)彎矩負荷：彎矩圖為垂直線。
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12-3 樑的彎曲應力 1 樑的名詞 當樑在承受負荷後，在樑內會因而產生剪力及彎曲力矩。樑因承受彎曲力矩而產生之應力，稱為彎曲應力（Bending Stress）。在求取樑之彎曲應力時，通常須先對樑假設一些基本條件： （1）樑須為均質、斷面一致之材料，且須為直樑。 （2）樑之張力彈性係數與壓力彈性係數須相等。 （3）樑受負荷後，須完全符合虎克定律，即其應力與應變須成正比。 （4）樑受負荷彎曲後，其截面不可發生扭曲現象，即彎曲前與彎曲後之截面均為平面，如圖12-40 所示。
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12-3 樑的彎曲應力 （5）負荷須穩定作用於樑上，且須通過樑之截面的形心位置。
（6）樑須為純彎曲（Pure Bending）作用。純彎曲是指樑僅受彎曲力矩作用，而無剪力存在之部分，如圖12-41(a)所示之整支樑及如圖12-41(b)所示之CD段。
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12-3 樑的彎曲應力 在上圖中，我們若將樑之截面細分成許多微小的面積，則在中立軸上方的每個微小面積，均有一壓力作用其上；反之，在中立軸下方的每個微小面積，均有一張力作用其上。而在中立軸上方的每個微小面積之壓力總和會等於在中立軸下方的每個微小面積之張力總和。且因張力定義為正值，壓力定義為負值，故我們可以說，樑上任一截面之張應力與壓應力的內力總和等於零。
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12-3 樑的彎曲應力 由上式可知，曲率半徑與彎曲力矩成反比，且與材料之彈性係數與慣性矩成正比，即最大彎曲力矩之危險截面，其曲率半徑最小，曲率最大。另外，EI值稱為抗撓剛度（Flexural Rigidity）。當樑的抗撓剛度愈大，表示樑愈不容易受彎曲力矩影響而彎曲變形。
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12-4 樑的剪應力 1 樑的剪應力分析 當樑在承受負荷而產生彎曲變形後，在樑內因剪力所產生之應力，稱為樑之剪應力。樑的剪應力因其分布狀況不同，又分為垂直剪應力（Vertical Shear Stress）與水平剪應力（Horizontal Shear Stress）兩種。
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12-4 樑的剪應力 樑內剪應力之分布比彎曲應力複雜，彎曲應力之變化曲線為一斜直線，如圖12-46 所示，而剪應力之變化曲線則為二次函數（拋物線）。矩形、圓形、型鋼及型鋼之剪應力之變化曲線，如圖12-55 所示。
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12-5 採用複雜截面的理由 1 採用複雜截面的理由 一般而言，樑之破壞均由彎曲應力破壞之，故討論樑之強度時，應討論樑之彎曲應力。
首先我們看看樑的截面形狀。在樑的截面形狀中，我們較熟悉的為矩形、圓形、三角形及梯形等較單純的截面，如圖12-62 所示。然而在工程應用上，尚有許多形狀較為複雜之截面，例如箱形、環形及各種型鋼（包括I型鋼、U型鋼、T型鋼及L型鋼）等，如圖12-63 所示。
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12-5 採用複雜截面的理由 2 截面之方向與強度的關係
如圖12-67 所示，一塊板子之截面大小相同，但放置方式不同時，很明顯的，我們可以判斷出如(a)圖所示的板子，比較不容易彎曲變形。這是因為當板子直立放置時，可得到較大的截面係數，因此，就可以承受較大的彎曲力矩。
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12-5 採用複雜截面的理由 由上可知，矩形截面的樑，應將其短邊與中立軸平行放置，如此即可得到較大的截面係數及強度。這就是上一小節中，我們一直強調「直立矩形」，而不提及「橫置矩形」的原因了。
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