4-7 Cauchy-Euler Equation

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1 4-7 Cauchy-Euler Equation
解法限制條件 k not constant coefficients but the coefficients of y(k)(x) have the form of ak is some constant associated homogeneous equation particular solution

2 4-7-2 解法 Associated homogeneous equation of the Cauchy-Euler equation
解法 Associated homogeneous equation of the Cauchy-Euler equation Guess the solution as y(x) = xm , then

3 auxiliary function 比較: 和 constant coefficient 時有何不同？ 規則：把 變成

4 4-7-3 For the 2nd Order Case auxiliary function: roots
[Case 1]: m1  m2 and m1, m2 are real two independent solution of the homogeneous part:

5 [Case 2]: m1 = m2 Use the method of reduction of order Note 1: 原式 Note 2: 此時

6 If y2(x) is a solution of a homogeneous DE
then c y2(x) is also a solution of the homogeneous DE If we constrain that x > 0, then

7 [Case 3]: m1  m2 and m1, m2 are the form of
two independent solution of the homogeneous part: 同理

8 Example 1 (text page 167) Example 2 (text page 168)

9 Example 3 (text page 169)

10 solution of the nth order associated homogeneous equation
For the Higher Order Case Process: auxiliary function Step 1-1 roots n independent solutions Step 1-2 solution of the nth order associated homogeneous equation Step 1-3

11 (1) 若 auxiliary function 在 m0 的地方只有一個根
是 associated homogeneous equation 的其中一個解 (2) 若 auxiliary function 在 m0 的地方有 k 個重根 皆為 associated homogeneous equation 的解

12 (3) 若 auxiliary function 在  + j 和  − j 的地方各有一個根
(未出現重根) 是 associated homogeneous equation 的其中二個解 (4) 若 auxiliary function 在  + j 和  − j 的地方皆有 k 個重根 是 associated homogeneous equation 的其中2k 個解

13 Example 4 (text page 169) auxiliary function

14 4-7-5 Nonhomogeneous Case
To solve the nonhomogeneous Cauchy-Euler equation: Method 1: (See Example 5) (1) Find the complementary function (general solutions of the associated homogeneous equation) from the rules on pages , (2) Use the method in Sec.4-6 (Variation of Parameters) to find the particular solution. (3) Solution = complementary function + particular solution Method 2: See Example 6，很重要 Set x = et, t = ln x

15 Example 5 (text page 169, illustration for method 1)
Step 1 solution of the associated homogeneous equation auxiliary function Step Particular solution Step 2-3

16 Step 2-4 Step 2-5 Step 3

17 Example 6 (text page 170, illustration for method 2)
Set x = et, t = ln x (chain rule) Therefore, the original equation is changed into

18 (別忘了 t = ln x 要代回來) Note 1: 以此類推 Note 2: 簡化計算的小技巧：結合兩種解 nonhomogeneous Cauchy-Euler equation 的長處

19 4-7-6 本節要注意的地方 (1) 本節公式記憶的方法： 把 Section 4-3 的 ex 改成 x，x 改成 ln(x)
本節要注意的地方 (1) 本節公式記憶的方法： 把 Section 4-3 的 ex 改成 x，x 改成 ln(x) 把 auxiliary function 的 mn 改成 (2) 如何解 particular solution? Variation of Parameters 的方法 (3) 解的範圍將不包括 x = 0 的地方 (Why?)

20 還有很多 linear DE 沒有辦法解，怎麼辦
(1) numerical approach (Section 4-9-3) (2) using special function (Chap. 6) (3) Laplace transform and Fourier transform (Chaps. 7, 11, 14) (4) 查表 (table lookup)

21 (1) 即使用了 Section 4-7 的方法，大部分的 DE還是沒有辦法解
(2) 所幸，自然界真的有不少的例子是 linear DE 甚至是 constant coefficient linear DE

22 Exercise for practice Section , 6, 14, 17, 18, 24, 26, 32, 33, 39, 42 Section , 7, 8, 13, 18, 31, 45, 60, 62, 69, 70 Section , 5, 8, 13, 14, 17, 18, 21, 28, 29, 34 Section , 17, 18, 20, 21, 24, 32, 34, 36, 37, 40, 42 Review , 21, 22, 25, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 34, 37, 42

23 Chapter 5 Modeling with Higher Order Differential Equations
自然界，有不少的系統可以用 linear DE 來表示 其中有不少的系統可以進一步簡化成 linear DE with constant coefficients

24 5-1 Linear Models: Initial Value Problem
位置：x, 速度： 加速度 v: 速度， v: 磨擦力

25 5-1-1 ~ 5-1-3 Spring / Mass Systems
彈力 F

26 Solution:

27 彈力 F 摩擦力

28 解有成三種情形

29 需要注意的概念 (1) 名詞一 被稱作 input 或 deriving function 或 forcing function 被稱作 output 或 response

30 (2) 名詞二 對一個 2nd order linear DE with constant coefficients auxiliary function 當 時，稱作 overdamped 當 時，稱作 critical damped 當 時，稱作 underdamped 當 , a1 = 0 時，稱作 undamped

31 (3) 當中 a1 的值將影響衰減速度 當 a2 , a1 , a0 的值皆為正， a1/ a2 的值越大，衰減的進度越快 When When

32 5-1-4 RLC circuit inductance 的電壓 capacitor 的電壓 resistor 的電壓 using
一定可以解

33 auxiliary function roots: Case 1: R2  4L/C > 0 (m1  m2, m1, m2 are real) (overdamped) Complementary function: 註：由於 R, L, C 的值都是正的, 必定可以滿足 所以 m1, m2 都是負的 when t  

34 Particular solution (1) E(t) 有的時候可用”guess” 的方法來解
(2) E(t) 用 variation of parameters 的方法一定解得出來(但較耗時)

35 Specially, when E(t) = E0 where E0 is some constant
(m1m2 = 1/LC)

36 Case 2: R2  4L/C = 0 (m1 = m2 = R/2L) (critically damped) when t   Particular solution When E(t) = E0 ,

37 (underdamped) Case 3: R2  4L/C < 0 when t   Particular solution General solution

38 When E(t) = E0 where E0 is some constant
When R = 0 , then  = 0 When R = 0 , E(t) = E0

39 以 DE 的觀點來解釋 RLC 電路的問題 (1) R2 < 4L/C 產生弦波 (2) R 越小，弦波衰減得越慢

40 例子 E(t) = 1, L = 0.25, C = 0.01

41 R = 100 R = 25 R = 10

42 R = 5 R = 1.5 R = 0.2

43 5-1-5 Express the Solutions by Other Forms
(1) Express the Solution by the Form of Amplitude and Phase 當　　　　　　　時，solution 為 　　　　　　　　　　　 Solution 可改寫成

44 damped amplitude damped frequency phase angle

45 (2) Express the Solution by Hyperbolic Functions
當 a1 = 0 且 a2 > 0, a0 < 0 (或 a0 > 0, a2 < 0)

46 本節要注意的地方 (1) 將力學現象寫成 DE 時，要注意正負號 (根據力的方向) (2) 注意 page 274 的四個專有名詞 (3) 注意 linear DE with constant coefficients 的解，有其他的寫法 (see pages 287 and 289)

47 5-2 Linear Models: Boundary-Value Problem
(不在考試範圍) Section 5-2 的問題，和 Section 5-1 類似 (都是 Linear DE) 只是將 initial value problems 變成 boundary value problems 複習： 將 IVP 改成 boundary value problems， 對 solution 有什麼影響？

48 Section 5-1 的例子 (1) 牛頓運動定律 (2) 彈簧運動　 (subsection 5-1-1~5-1-3) (3) RLC Circuit (subsection 5-1-4) Section 5-2 的例子 (1) 樑彎曲 (a) 橫放 (subsection 5-2-1) (b) 上方施力 (subsection 5-2-2) (2) 跳繩 (subsection 5-2-3)

49 4-9 Solving Systems of Linear Equations by Elimination
方法適用的情形和限制 處理有 2 個以上 dependent variables 的問題 例如：Section 3-3 電路學上 “並聯” 的例子 限制：必需是 linear and constant coefficients

50 方法 (Step 1) 先將 寫成 D n (Step 2) 再用聯立方程(或線性代數)的方式 將各個 dependent variable 所對應的 DE 寫出 (Step 3) 再運用 Sections 4-3, 4-4 的方法， 得出各 dependent variables 的解 (Step 4) 代回原式，求出 unknowns 之間的關係 (別忘了這一步，可以參考講義 page 298)

51 4-9-3 範例 Figure 3.3.4 的例子 (See Pages 96, 97)
範例 Figure 的例子 (See Pages 96, 97) 令 L1 = L2 = 1, R1 = 4, R2 = 6, E(t) = 10 求解

52 Step 1 …….. (式 1) …….. (式 2) Step 2-1 (D + 4)  (式 1) − 4  (式 2) Note: Step 3-1 auxiliary function: roots

53 Step 2-2 4  (式 1) − (D+10)  (式 2) Step 3-2 auxiliary function: roots complementary function for i3,c(t) = Particular solution: i3, p(t) = A

54 Step 4 代回(式 1) 將 此即 i2(t) 和 i3(t) 的解

55 問題：需要代回另一式嗎？ 將 代回(式 2) 無論 c1 和c2 的值為多少，等號皆成立

56   較快速的解法 Step 2-2 將 i2(t) 解出來以後 直接將 i2(t) 代回 (式1) 但這種簡化的解法不是任何情形都適用 (式子當中沒有對第二個 dependent variable i3(t) 作微分時才適用)

57 Example on text page 184 Example 1 (text page 185) Example 3 (text page 186)

58 Example 2 (text page 185) Step 1 (式1) (式2) Step 2-1 (式2) D − (式1) Step 3-1 complementary function: particular solution:

59 Step 2-2 (式1) (D+1) − (式2)  (D−4)
complementary function: particular solution 注意，不可設為

60 Step 4 (代入式2) (因為式2比式1容易) 解

61 4-9-4 多個 Dependent Variables
Exercise 19 (式1） (式2 ） (式3 ） Steps 2, 3：分別簡化成只包含 x, y, z 的 DE (式4 ） (式2)  D + (式3) (式4)  6 + (式1)  (1−D2) m = −1, −2, 3

62 (式4)  D − (式1)  (1+D) (式3)  6 + (式1) (式5 ） (式1)  D − (式2)  6 (式6 ） (式5)  (D2 −6) + (式6)  (D+6) Step 4：把 c4, c5, c6, c7, c8, c9 用 c1, c2, c3 表示 將 代回 (式1)

63 將 代回 (式2) 思考：y 和 z 有無快速解法？

64 Higher order 規則 (1) 假設有 N 個 dependent variables, 　 　則至少需要有 N 個 DE 才可以得出 solutions (2) 若每一個 DE 的 orders 分別為 k1, k2, k3, ….…., kN 最後將「可能」得出 order 為 k1 + k2 + k3 + ….…. + kN 的 DE (3) 要代回其中 N −1 個式，來求 unknowns 之間的關係

65 A circuit that can be modeled by a 2nd order polynomial.

66 4-9-5 本節需注意的地方 (1) Section 4.9 的方法只適用於 constant coefficients 的情形
本節需注意的地方 (1) Section 4.9 的方法只適用於 constant coefficients 的情形 (2) 每一個 dependent variable 的解， homogeneous 的部分通常會有相同的型態 (3) 概念不難，但計算繁雜 (自我訓練解題速度和解題正確度是必要的) (4) 驗算 (5) 別忘了 Step 4 計算 unknowns 之間的關係 (6) 何時可以用較快速的解法？

67 4-10 Nonlinear Differential Equations
Method 1: Reduction of Order Method 2: Taylor Series Method 3: Numerical Approach

68 4-10-1 Method 1: Reduction of Order
精神：變成 1st order DE 再用 1st order DE 的方法求解 (這方法的名字和 Section 4-2 一樣，但是不限於 linear， 而且不必知道其中一個解) 限制：The DE should have the form of Case 1, page 313 Case 2, page 315 or (Without the term y) (Without the term x)

69 Case 1: The 2nd order DE has the form of
(Without the term y) u 解法： (Step 1) Set 此時DE 變成 (對 u 而言，是 1st order DE) (Step 2) 將 u 解出來 (用 Section 2 的方法) (Step 3) 對 u 作積分，即解出 y

70 Example 1 (text page 189) (Step 1) 問題： u 要用什麼方法解？ (Step 2) (Step 3)

71 Case 2: The 2nd order DE has the form of
(Without the term x) u 解法：(Step 1) Set (Chain rule) 此時DE 變成 (對 u 而言，是1st order DE, independent variable 為 y)

72 (Step 2) 將 u 解出來 (用 Section 2 的方法)
得出的解, u 是 y 的函數 (Step 3) 用 separable variable 的方法即可將解得出

73 Example 2 (text page 190) (Step 1) Set (Step 2) (Step 3)

74 4-10-2 Method 2: Taylor Series
更一般化的型態 Step 1 算出 Step 2 代回 Taylor series

75 Example 3 (text page 190) : 代回 Taylor series

76 限制：(1) y(x) 在 x0 的地方必需為 analytic,
(x = x0 不為 singular point) (2) 在解 nth order DE 時，y(x0)， y'(x0)， y''(x0)， ….. y(n1)(x0) 的值必需皆為已知 (3) 得出的解只有在 x0 附近較為正確 問題：(1) Taylor series 應該取多少項？ (2) |x x0| 的範圍？

77 x0 =0

78 4-10-3 Method 3: Numerical Method
subject to 解法 使用Section 2-6 的 Euler’s Method

79 Recursive 的解法 Initial: n = 0 n = n + 1

80 更一般化的情形 …………… 改變為 subject to

81 Recursive 的解法 n = n + 1

82 解法的限制： (1) 當 為無窮大 (例如 singular point) 或者 雖然不是無窮大，但是值相當大 用以上的方法會產生問題 (2) 必需有 k 個在同一點的initial conditions

83 4-10-4 本節需注意的地方 (1) Section 4.10 的方法並非任何情形都可以解 每一種方法都有一些限制
本節需注意的地方 (1) Section 4.10 的方法並非任何情形都可以解 每一種方法都有一些限制 (2) Section 4.1 的定理不適用於本節 (例如 exercises 4.10 的第 1, 2 題) (3) Method 1 比較有挑戰性，要多加變通 (4) Method 1 別忘了將 u 用 dy/dx 代回

84 5-3 Nonlinear Models 非線性彈簧的例子 (text pages 222, 223)

85 5-3-1 火箭的例子 F = ma F 會隨著 y 而改變 (萬有引力定律) 萬有引力 M: 地球的質量 m: 火箭的質量  修正：
火箭的例子 F = ma F 會隨著 y 而改變 (萬有引力定律) 萬有引力 M: 地球的質量 m: 火箭的質量  修正： 推進力

86 20 N 5-3-2 拿鏈子的例子 m: 質量, v: 速度, mv: 動量 m 會隨著 x 而改變 (拿鏈子的例子), m = kx(t)
拿鏈子的例子 m: 質量, v: 速度, mv: 動量 20 N m 會隨著 x 而改變 (拿鏈子的例子), m = kx(t) In Example 4, chain weight = 1 N/m 重量 (weight) = x(t) 質量 (mass) = x(t)/9.8

87 F0: 施力, k: 每單位長的質量, x(t) 高度 (如前頁)
小常識：使用公制時， g = 9.8 metres per s2 使用英制時， g = 32 feet per s2

88 Example 4 (text page 227) k = 1/9.8 g = 9.8 F0 = 20

89 (1) Cauchy-Euler equation 缺乏應用
(2) 許多情形還是只能用 Numerical Method 來解

90 本節需注意的地方 (1) 大部分的情形，用到的 DE 都還算很簡單 但是練習將將物理問題變成 DE 的問題。 (2) 正負號 (和方向有關）易出錯 (3) tan = 斜率 (4) 儘可能用比較簡單的方法來計算一個問題

91 Reviews for Higher Order DE:
(A) Linear DE Complementary Function 3 大解法 (1) Reduction of Order (Section 4-2) 適用情形： (2) Auxiliary Function (Section 4-3) 適用情形： 4 Cases (See pages 182, 183)

92 (3) Cauchy-Euler Equation (Section 4-7)
適用情形：

93 (B) Linear DE Particular solution 3 大解法
(1) Guess (Section 4-4) (熟悉講義 page 194 的表) 要訣： yp should be a linear combination of g(x), g'(x), g'' (x), g'''(x), g(4)(x), g(5)(x), ……………. 適用情形： 遇到重覆，乘 x 或 lnx (2) Annihilator (Section 4-5) 若原本的 DE 為 L[y(x)] = g(x) Annihilator: L1[ g(x)] = 0 Particular solution 為 L1{L[y(x)]} = 0 的解 (扣去和 L[y(x)] = 0 的解重複的部分) 適用情形： Annihilator 算法三大規則： Pages

94 (3) Variation of parameters (Section 4-6)
Wk : replace the kth column of W by 適用情形：

95 (4) For Cauchy-Euler Equation (Section 4-7)
可採用二種方法 (1) 先用 解 complementary function 再用 Variation of parameters 解 particular solution (2) Use the method on pages 261, 262 Set x = et, t = ln x then

96 (C) Combination of Linear DEs (Section 4-9)
方法： Step 1: 將 變成 Dn Steps 2, 3: 用代數消去法，變成只含有一個 dependent variable 的 DE，再將這個 dependent variable 解出來 Step 4: 代回原式，求各 dependent variable 的常數 ck 之間的 關係 適用情形：

97 (D) Nonlinear DE 的3大解法 (Section 4-10)
(1) Reduction of Order (1-1) Set (1-2)

98 (2) Taylor Series 適用情形： (3) Numerical Method

99 Exercises for practicing
Section , 8, 10, 14, 17, 18, 20, 22, 23 Section , 4, 5, 8, 10, 12, 15, 16, 19, 21, 22, 23 Review , 44, 48, 50 Section , 11, 29, 43, 44, 49, 52, 56, 60 Section , 15, 16 Review , 21, 22 註：應用題 2012版本單位用英制，2016, 2017版本用公制 9,