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微分方程之应用 ----恶狼追兔问题 恶狼 追 小兔 主讲人：曹怀火 数学与计算机科学系
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问题提出 设有一只兔子，一匹狼，兔子位于狼的正东100米处.假设兔子与狼同时发现对方,并开始了一场追逐。兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼则在其后追赶。假设兔子和狼均以最大速度匀速奔跑且狼的速度是兔子速度的两倍，问兔子能否安全回到巢穴？ 100m 池州学院
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问题分析 建立坐标系(见图),狼在初始时刻位于坐标原点O处,兔子在横坐标上距离原点100米处. 由于狼要盯着兔子跑，所以狼行走的是一条曲线，且在任 一时刻，曲线上狼的位置与兔子的位置的连线是曲线上该 点处的切线方向. 池州学院
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模型建立 设狼的行走轨迹为 则有 又因为狼的速度是兔子的两倍，所以在相同时间内， 狼行走的路程为兔子行走的路程的两倍. 假设在某时刻兔子跑到 ，而狼在 ，则根据微 积分中的弧长计算公式容易得出 满足 池州学院
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模型建立 即 求导 所以有 ， 池州学院
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问题求解 上述方程为高阶微分方程，方程的解为 显然 所以狼追不上兔子，兔子将会安然无恙地返回巢穴. 上述结论也可以借助MATLAB来分析，请看。 池州学院
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数值模拟 先建立m文件 function z=lang(x,y) z=[y(2);sqrt(1+y(2)^2)/(200-2*x)]; 然后在命令窗口输入 y0=[0,0] [x,y] = ode45('lang',[0,99],y0) 池州学院
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数值模拟 恶狼的奔跑轨迹为 池州学院
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致谢 谢谢大家 池州学院
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二重积分之应用 ----湖泊体积问题 主讲人：张永 职 称：助教 单 位：池州学院数学 与计算机科学系
职 称：助教 单 位：池州学院数学 与计算机科学系
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问题提出 湖水是全球水资源的重要组成部分，地球上湖泊 (包括淡水湖、咸水湖和盐湖)总面积约为 平方公里 ，总水量约 立方公里，其中淡水储量约占52%，约为全球淡水储量的0.26%.中国的鄱阳湖、洞庭湖、太湖、巢湖和洪泽湖的淡水总量约为553亿米.及时掌握湖泊中的含水量（体积）对发展水产业、旅游业等具有十分重要的意义.请给出计算湖泊含水量（体积）数学模型. 池州学院
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问题分析 椭球正弦曲面(elliptic sinosoids)是许多湖泊的湖床形状 的很好的近似．假定湖面的边界为椭圆 若湖的最大水深为hm米， 则椭球正弦曲面为 其中， ，那么湖水的体积即可求. 池州学院
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问题求解 解：若 是湖面的椭圆区域，则 被积函数的形状启示我们用变换 池州学院
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问题求解 于是由二重积分的变量替换公式得 池州学院
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数值模拟 在命令窗口输入(a=3,b=4) syms x Syms y f=cos(pi/2*sqrt(x.^2/9+y.^2/16)); xlower=-3*sqrt(1-y.^2/16); xupper=3*sqrt(1-y.^2/16); Q=int(int(f, x, xlower, xupper ), y, -4, 4); Vpa(Q,6) 池州学院
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