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第一章 集合论 1.2 集合的运算 1.2.1 集合的基本运算 定义1、2、4、5 集合的元素并(和)、交、差-、补
AB={x︳x∈A或x∈B} AB={x︳x∈A且x∈B} A - B={x︳x∈A且xB} =U-A={x︳xA} 定义3 两个集合不相交:A∩B= 在不同的环境中,相同的A,其补可能不一样,因为在不同的环境中全集可能不同 容斥原理:AB=A+B-AB 常用大写字母表示集合,小写字母表示元素
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1.2.2 证明集合相等的基本方法 利用的反对称性:AB 且BA A=B 例10 证明 = + 解 首先假定x∈ 。于是xAB。这表示 xA且 xB。所以 x∈ 且x∈ 。于是x∈ 。这表明 。 现在假定x∈ 。那么x∈ 且x∈ 。于是x A且 x B,从而x A B。于是x∈ ,这表明 。 由于已经证明了这两个集合互为子集,它们必定相等,等式成立。
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例11 证明吸收律:A (A B)=A 解: 首先假定x∈A (A B),则x∈A或者x∈A B,若x∈A B,则x∈A且x∈B,所以x∈A。这表明A (A B) A。 现在假定x∈A。那么x∈A (AB)。这表明A A (A B)。 由于已经证明这两个集合互为子集,它们必定相等,等式成立。 利用成员表:列出一个元素可能的属于各个集合的情况,讨论它是否属于等式两端 例12 用成员表证明A (B C)=(A B) ( A C) 解: 表1-1给出了这些集合组合的成员表。这表格有8行,由于对应于A (B C)和(A B) ( A C)的两列相同,等式有效。
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1.2 集合的运算 表 1-1 分配性质的成员表
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利用已知的集合恒等式作集合演算:类似于代数演算
= x-y (x0 且 y0) 例13 如果A和B为集合,求证(A B) ( A )=A 解: (A B) ( A ) =A (B ) 分配律 =A U 设U为全集 =A 恒等律 例 证明A((AB)(AC))=A 解: A((A B)(AC)) = (A(AB)) (A(AC)) 分配律 =A(A(AC)) 吸收律 =A ((AA) C) 结合律 =A ( AC ) 幂等律 =A 吸收律
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例 证明 解 : A (B-A) =A (B ) = (AB) (A ) 分配律 =(AB) U 设U为全集 = AB 恒等律 基本的集合恒等式(一): (1)双重否定律 =A (2)幂等律 AA=A AA=A (3)交换律 AB=BA AB=BA (4)结合律 A (BC)=(AB) C A (BC)=(AB) C (5)分配律 A (BC)=(AB) (AC) A (BC)=(AB) (AC) (接下页)
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(6)零壹律 A=A A= AU=U AU=A (7)排中律 A = U (8)矛盾律 A = (9)吸收律 A (AB)=A A (AB)=A (10)德摩根律 , (11) A-B=A
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3种方法的比较: (1)最基本,但可能烦琐 (2)很机械,但若所设计的集合交多则工作量很大 (3)若适当地运用将使证明很简洁,但有时不易想到 对偶原理:PP* 对偶公式:,U (要求公式中只有运算符, , ) (A-B)-C=A-(BC) (A-B)-C≠A-(BC)
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1.2.3 广义并合交 实数的加法运算满足结合律,从而连加可以表示为1+2+3 集合的并和交都满足结合律,因而也可以有类似的记法 定义 =A1A2…An ={x︳ ,使xAi} 定义 = A1A2…An={x︳ ,有xAi}
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例15 令Ai ={i, i+1, i+2,…}。那么 = {i, i+1, i+2,…}={ 1,2,3,…} 而 = {i, i+1, i+2,…}={ n, n+1,n+2 …} ={x︳ ,使x } = {x︳ ,有x }
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例16. n∈N,An={}x0<x<1+ }
=? 例17. B是集合,B≠,A={} =? =?
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例18. 证明 = 证明: B为空集时,显然成立; 若B≠,由上题可知 =B,则 = ,同时设U为 全集,则 = =U =U-B= 所以等式成立。
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习题 1.假定A是学校二年级的学生集合,B是学校上离散数学课的学 生集合。用A和B表示学校二年级不上离散数学课的学生集合. 2. 令A,B,C为集合,求证(A-B)-C A-C 3. 令A,B,C为集合,求证(A-B)-C=(A-C)-(B-C) 4. 如果集合A,B,C满足下述条件,能断定A=B吗? a) AC= BC b) AC=BC
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5. 令Ai ={i, i+1, i+2,…}。求 及 补充:证明 = 思考:(1)n∈N,An是集合,令Bn=An 。证明: ①i,j∈N,i≠j,Bi∩Bj= ② = (2)A1 A2…An…,D= 。 证明A1=
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