算術和代數表示式的教學 陳鴻綸整理 K. Subramaniam, Rakhi Banerjee

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1 算術和代數表示式的教學 陳鴻綸整理 K. Subramaniam, Rakhi Banerjee
Homi Bhabha Centre for Science Education Tata Institute of Fundamental Research, Mumbai, India Subramaniam, K. and Banerjee, R. (2004).Teaching arithmetic and algebraic expressions.Proceedings of the 28th conference of the international group for the psychology of mathematics education,3,121–128. 陳鴻綸整理

2 摘要 介入教學的研究：帶領六年級學生去探索 算術表示式和基本代數之間的聯繫。
121 介入教學的研究：帶領六年級學生去探索 算術表示式和基本代數之間的聯繫。 選擇3組學生：兩組接受算術和代數的教 學，另一組只接受代數而沒有算術。 學習算術對項(term)的概念能發展出很好 的理解力，並且應用在表示式的等值。在 代數的問題上也會表現得更好。 摘要 一項介入教學的研究是帶領六年級學生去探索在學生算術表示式和基本代數日益增多的理解之間的相互聯繫。選擇3組學生，兩組接受算術和代數的教學，另一組只接受代數而沒有算術。學習算術的那組學生對項的概念發展出強大的理解力並且把它應用在有關表示式等值的理由。他們在代數的一些問題，特別是需要有架構的感覺和有意義的表示式上，會表現得更好。

3 序言 學生在學習代數時，有很多的困難是因為 不了解兩個重要概念：變量和代數表示式。
121 學生在學習代數時，有很多的困難是因為 不了解兩個重要概念：變量和代數表示式。 學生理解算術和代數的表示式是可以相互 連結的。例如，在運算代數表示式時，學 生會反覆犯一些在處理算術表示式時的錯 誤。 很多學生對算術表示式的架構並沒有什麼 感覺，並且要靠計算去判斷像 和 這樣的等值。 序言 學校學生在面對代數學習時，有很多的困難可能是因為兩個重要概念的不了解：變量和代數表示式。 Sfard(1991)和Tall(1999)已經指出在代數表示式的過程-結果理解中的困難：把兩個運算的教學用一個運算結果的數字來編碼。理解由表示式編碼成多重意義的困難會讓許多學生不會運算沒有結束的表示式(Booth1984)。 已經體認到學生理解算術和代數的表示式是可以相互連結的。例如，在運算代數表示式時，學生會反覆犯一些在處理算術表示式時的錯誤(Linchevski和Livneh，1999)。很多學生對算術表示式的架構沒有什麼感覺，並且不能不依靠計算去判斷像 和 一樣的表示式是等值的(Chaiklin和Lesgold，1984)。

4 序言 代數，像廣義的算術，是符號化 (symbolize)並利用算術的架構觀點。
121 代數，像廣義的算術，是符號化 (symbolize)並利用算術的架構觀點。 學習代數可能是為了更好理解算術表 示式，因為代數的符號化提升了表示 式的架構。 Linchevski和Livneh(1999)對於把焦點 放在教授算術架構像是為代數做準備， 是否是一個好的教學策略提出懷疑。 代數，像廣義的算術，是符號化並利用算術的架構觀點。不過，教育是否以發展算術表示式的感覺架構轉移到代數為目的是不清楚的。學習代數可能是為了更好理解算術表示式做準備，因為代數的符號化提升了表示式的架構。Linchevski和Livneh(1999)最近已經對把焦點集中在教授算術架構像是為代數做準備，是否是一個好的教學策略提出懷疑。

5 序言 這研究分成兩階段進行： 第一個階段是去探索並發展可以讓學生 發展更好的算術表示式意義和架構理解 力的合適教材。
這研究分成兩階段進行： 第一個階段是去探索並發展可以讓學生 發展更好的算術表示式意義和架構理解 力的合適教材。 第二個階段有一個兩組設計 (a two-group design)，其中一組教授算術表示式和代 數之間的關聯，而另一組接受代數教學 而沒有算術教學。 目前的研究計畫目標在探索在學生算術表示式和基本代數日益增多的理解之間的相互聯繫。教授六年級學生使用強調架構這個新方法的算術表示式題目。他們也依照在學校教室裡使用的方法粗略地被教授基本代數。這研究分成兩階段進行。第一個階段是探索的，並且將目標放在發展可以讓學生去發展更好的算術表示式意義和架構理解力的合適教材。這研究的第二階段有一個兩組設計，其中一組教授算術表示式和代數之間的關聯，而另一組接受代數教學而沒有算術教學。

6 理論的架構和假定 小學數學中，孩子碰到算術表示式會當作 是“問題”：做某種運算並且產生一個答 案。
122 小學數學中，孩子碰到算術表示式會當作 是“問題”：做某種運算並且產生一個答 案。 代數的轉移需要小學生瞭解算術表示式的3 重意義︰過程、結果和關係。 關係：12+7表示“比12多7”(或“比7多 12”)。12+7和10+9表示相同的數目，卻 表示不同的關係。在代數裡，關係的意義 被概括成一個函數的概念。從教學的觀點 來看，關係對孩子來說是有意義的，並且 能作為算術表示式架構的入門。 理論的架構和假定 在小學數學教室裡，孩子碰到算術表示式當作是”問題”，也就是：執行某種運算並且產生一個答案的教學。 代數的轉移需要小學生瞭解算術表示式的3重意義︰過程、結果和關係。一個表示式關係的意義是表示：當我們說12+7表示”比12多7”的數字(或者”比7多12”兩者其中之一)。因此12+7和10+9表示相同的數目，但卻表示不同的關係。在代數裡，關係的意義被概括成一個函數的概念。從一種教學的觀點來看，關係這觀點對孩子直覺來說是有意義的，並且能作為算術表示式架構的入門。

7 理論的架構和假定 122 表示式的等值是掌握表示式架構的核心概 念。要求小學生不用計算去比較表示式， 而是透過項來檢查。這讓學生體認項概念 的重要性。 項和表示式等值的概念可能像從算術到代 數的知識轉移軌跡一樣是個函數，被稱為 “概念橋”(bridge concepts)。強調項讓學 生去體認一個表示式連同附屬符號是一個 數字。這個概念延伸到創造項和把項括號 起來。 表示式的等值是圍繞在要掌握表示式架構的核心概念。著重在發展算術架構感覺的教學單元已被圍繞在這概念所組織。要求小學生不用計算去比較表示式，而透過表示式的項來檢查。這為學習項的概念提供一種有意義的情勢並且讓學生體認這個概念的重要性。 項的概念和等式的概念可能像從算術到代數的知識轉移軌跡一樣是個函數。因此他們可能被稱為”概念橋”。強調項讓學生去體認一個表示式連同附屬符號是一個數字。這個概念可能被延伸到包括創造項和把項括號起來，這再次是在算術和代數的有用概念。

8 理論的架構和假定 處理括號的能力是理解符號化的算術和代數 的關鍵部分，並且是運算未完成(unclosed)表 示式的能力基礎。
122 處理括號的能力是理解符號化的算術和代數 的關鍵部分，並且是運算未完成(unclosed)表 示式的能力基礎。 從探索階段可以體察到這主題可以更有效地 被教成一套清楚而詳細的去括號和重寫表示 式規則。 為了提升學習和記憶力，規則必須連結概念。 因為概念像是指示者出現在規則的描述中， 概念性的誤解可能導致規則的錯誤學習。小 學生需要靈活的應用規則，而概念性理解解 決這種靈活性。 處理括號的能力是理解符號化的算術和代數的關鍵部分，並且是運算未完成表示式的能力基礎。從這個研究的第一個經驗－探索階段，可以感覺到這主題可以更有效地被教授成一套清楚詳細的並且連結去括號並且重寫表示式的規則。為了提升他們的學習和記憶力，規則必須連結概念。因為概念像是指示者出現在規則的描述中，概念性的誤解可能導致規則的錯誤學習。小學生需要靈活的應用規則，而概念性理解解決這種靈活性。迄今我們已經收集的證據不足以釐清概念和規則之間的關係。更進一步的分析和研究正被計畫去探索這觀點。

9 方法 123 第一個階段在2003年夏天，進行超過13個 小時的教育課程。探索一小群將進6年級 (11歲)的15個學生。目標在準備一個教育 模式，來發展算術表示式架構感。 學生來自一所低社經背景的都市學校。雖 然教育的媒介是英語，而且那些學生能用 英語教學，但是他們不能用流利的英語溝 通。學生自願報名參加計畫並且隨機取出 列入名單。 方法 研究的第一個階段在2003年的夏天，進行超過13個小時的教育授課。這是與一小群大約將進入6年級(大約11歲)的15個學生的進行的一項探索研究。第一個階段的焦點是準備在那些學生中發展算術表示式架構感覺的教育模式。那些學生來自一所都市學校並且是低社經背景。雖然教育的媒介是英語，而且那些學生能用英語教學，但是他們不能用流利的英語溝通。學生自願報名參加計畫並且基於隨機取出列入名單。

10 方法 123 前測顯示大多數的學生不能正確地使用運算 順序規則，或者發現簡單的線性方程式裡的 未知數，或者將口語表示的句子寫成表示式。 這些題目在5年級被粗略地呈現，但是不強 調。 教育模式包括練習： 學生學習表示算術表示式意義的關係 把一個句子翻譯成表示式 估計表示式 學習 “=” 的意義作為兩個表示式等值的關係。 前測顯示大多數的學生不能正確地使用運算順序規則，或者發現簡單的線性方程式裡的未知數，或者將口語表示的句子寫成表示式。這些題目在5年級教科書裡被粗略地呈現，但是通常不在5年級的教學期間強調。所以教育的模式包括練習學生學習表示算術表示式意義的關係，把一個句子翻譯成表示式，估計表示式，並且學習”=”的意義作為兩個等值表示式之間的關係。

11 方法 一些學生能用他們自己的解釋說明為什麼 兩個算術表示式是等值的。例如，證明 27+32=29+30的理由是“從32拿2給27”。
123 一些學生能用他們自己的解釋說明為什麼 兩個算術表示式是等值的。例如，證明 27+32=29+30的理由是“從32拿2給27”。 在更難的例子裡，學生需要能處理括號。 用一些規則來把運算和理由符號化是必要 的。因此，按運算順序的規則和去括號的 教學單元包括在模式中。 在學生能判斷算術表示式的等值之前，這是必要的。 一些學生能用他們自己的解釋為什麼所給兩個算術表示式是等值的。例如，一個學生為了證明27+32=29 +30所給的理由是”從32拿2給27”。在需要關於表示式理由的更困難的例子裡，學生需要能處理括號。很顯然的用一些規則來把有關表示式的運算和理由符號化是必要的。因此，按運算順序的規則和去括號的教學單元包括在模式中。

12 方法 第二階段在2003年10月到11月，引導探索學生 在算術表示式和基本代數知識之間的連結。
123 第二階段在2003年10月到11月，引導探索學生 在算術表示式和基本代數知識之間的連結。 有一個兩組設計。類似第一個階段（從申請 人中隨機取出），學生是從附近的兩所英語 中等學校來選擇。這些學生正就讀6年級並且 最近已經被引進到整數，但是沒有做任何代 數。 一所學校與參加夏天課程的那個相同。另一 所學校是來自中社經組的學生，雖然不能很 流利的使用英語談話，但是相對的可以更自 在使用英語。 2003年10月到11月研究的第二階段在引導探索在學生算術表示式和基本代數的知識之間的連結。這項研究有一個兩組設計。類似第一個階段（從申請人中隨機取出），學生是從附近的兩所英語中等學校來選擇。這些學生正就讀6年級並且最近已經被引進到整數了，但是沒有做任何代數。一所學校與參加夏天課程的那個相同。另一所學校是來自各式各樣社經背景的學生。第2所學校的學生來自中社經組，雖然不能很流利的使用英語談話，但是相對的可以更自在使用英語。

13 方法 對所有學生施予前測，依據前測的表現形 成相同的A、B兩組。
對所有學生施予前測，依據前測的表現形 成相同的A、B兩組。 另外增加C組，來自中低收入、使用本地語 言(Marathi)的中等教育學校35個學生。 人數 組別 測驗開始時 最後分析時 備註 A組 27 25 部分退出 B組 26 21 C組 35 一次前測施予所有的選擇學生，並且依據他們在前測的表現形成相同的兩組。開始時A組有27個學生，B組有26個學生。一些學生退出，最後的分析在A組有25個學生，在B組有21個學生。另外增加一組，由來自使用本地語言(Marathi)的中等教育學校的35個學生的C組，也包含在這項研究中。這些學生是來自中低收入組。

14 方法 124 在學校期中進行計畫並且延續3周，每次一 個半小時的11個教學課程。A組和C組教予 算術表示式和代數，而B組只教予代數。B 組有一些無關題目的授課︰幾何學的活動。 A組和B組有相同的代數老師。由另一位老 師教A組的算術課。C組是一位用Marathi語 言的老師教算術和代數。3組的總教學時間 是相同的。B組有比較多的代數教學時間， 增加的時間主要花在簡化代數表示式和應 用在解釋猜數字遊戲的結果。 計畫在學校期中進行並且延續3周，每次一個半小時的11個教學課程。A組和C組教予算術表示式和代數，而B組只教予代數。B組有一些無關題目的授課︰幾何學的活動。 相同的教師教予A組和B組代數。A組的算術課由一位不同的教師教授。C組有一位單獨的教師用Marathi語言教算術和代數。3組的課程計畫被小心的擬定，A組和C組遵從相同的計畫。3組的總教學時間是相同的。與其它兩組相比較，B組在代數方面受到更多的教學時間。增加的時間主要花在簡化代數表示式和應用在解釋猜數字遊戲的結果。

15 方法 教予A組和C組的算 術表示式模式包 括︰ 教予所有組的代數模 式包括︰ 代表數目的字母和代數表示式 算術表示式的意義 項的概念
124 教予A組和C組的算 術表示式模式包 括︰ 算術表示式的意義 ”=”符號的意義 使用運算順序規則來求表示式的值 項的概念 不用計算來比較算術表示式 去括號的規則 教予所有組的代數模 式包括︰ 代表數目的字母和代數表示式 項的概念 相似和不相似的項 去括號並重寫的規則 簡化表示式 使用代數運算去證明猜數字遊戲的結果。 教予A組和C組的算術表示式模式包括下列題目︰算術表示式的意義，”=”符號的意義，使用運算順序規則來求表示式的值，項的概念，不用計算來比較算術表示式，和去括號的規則。教予所有組的代數模式包括下列題目︰代表數目的字母和代數表示式，項的概念，相似和不相似的項，去括號並重寫的規則，簡化表示式和使用代數運算去證明猜數字遊戲的結果。在猜數字的遊戲中，學生做了一系列選擇數字的運算並且記錄最後的結果。選擇這些運算讓所有的學生得到相同的答案。然後學生必須使用代數運算去證明答案為什麼相同。

16 方法 所有組的學生定期給予練習習題，並且透 過測驗和作業收集他們學習上的回饋。錄 影課程以更進一步分析教與學的順序和學 生的反應。
124 所有組的學生定期給予練習習題，並且透 過測驗和作業收集他們學習上的回饋。錄 影課程以更進一步分析教與學的順序和學 生的反應。 為了評定學生理解算術和代數的收穫和可 能得到的相互聯繫資訊，對所有學生施予 後測。 所有組的學生定期給予練習習題並且透過測驗和作業收集他們學習上的回饋。課程被錄影下來以更進一步分析教與學的順序和學生的反應。為了評定學生理解算術和代數的收穫和得到有關可能在這些之間相互聯繫的資訊，對所有學生施予後測。後測有類似於前測的組成部分，以及一些測試他們簡化代數表示式能力的附加問題，不用計算去比較算術表示式並且使用代數去證明猜數字遊戲的結果。

17 結果的初步分析 初步分析來自3組的前、後測表現數據。
初步分析來自3組的前、後測表現數據。 分析學生寫下比較算術表示式問題的答案 是否正確。這些取自後測和在教育課程中 學生填寫的作業。 結果的初步分析 這裡報告的初步分析來自3組的前後測表現數據。另外，證明學生寫下比較算術表示式的問題答案是否正確已經被分析。這些取自後測和在教育課程中學生填寫的作業。

18 結果的初步分析~算術表示式 前測大部分是算術上的問題：A=B>C 使用計算來比較簡單算數表示式：A=B=C 。
125 前測大部分是算術上的問題：A=B>C 使用計算來比較簡單算數表示式：A=B=C 。 正確填入“=”，“>”或“<” 。如：15-5？5×3 使用運算順序規則的計算表示式問題，3組 很多學生不太會做。 用去括號重寫表示式的問題，學生看起來 沒意識到使用這樣的規則。 算術表示式 前測大部分包含算術上的問題。A組和B組形成相同的組是根據在他們在前測的所有表現。C組在前測大部分的問題中，表現比其它兩組稍微低。所有組的學生在使用計算來比較簡單算數表示式做得一樣好。在這些問題中，學生必須從”=”，”>”或”<”中填入正確的符號，例如，15-5？5×3。在使用運算順序的規則的計算表示式問題裡，3組的很多學生不太會做。在要他們用去括號重寫表示式的問題中，學生看起來沒意識到使用這樣的規則，並且透過求表示式的值並且首先做被括起來的運算來回答這樣的問題。

19 結果的初步分析~算術表示式 在後測中： 接受算術教育的A組和C組，在算術問題 上的表現進步很多。
125 在後測中： 接受算術教育的A組和C組，在算術問題 上的表現進步很多。 如預期般，B組的學生除了需要透過去括 號重寫表示式的問題裡有相當的進步之 外，在算術問題上的表現沒有明顯的進 步。 在計畫期間的代數課程中，學生已經學到 去括號的規則。 在後測中，接受算術教育的A組和C組，在算術問題上相當大地改進他們的表現。如預期般，在B組的學生除了需要他們透過去括號重寫表示式的那些問題裡有相當可觀的進步之外，在算術問題上沒有明顯地改進他們的表現。在計畫期間的代數課程中，學生已經學到去括號的規則。

20 結果的初步分析~算術表示式 B組的學生能轉換他們的新知識到算術表 示式，因為在代數和算術的問題項目的形 式是相似的。
125 B組的學生能轉換他們的新知識到算術表 示式，因為在代數和算術的問題項目的形 式是相似的。 那些需要透過填空來使表示式相等的問題 上，B組沒有進步，其它兩組的學生有 80%可以正確地回答。 B組的學生能轉換他們的新知識到算術表示式，因為在代數和算術的問題項目的形式是相似的。因此表面的特徵可以已經使這次轉移成為可能。特別是，B組沒有在那些需要學生填入空格使表示是相等的問題上改進他們的表現，來自其它兩組的學生有80%可以正確地回答。沒有一組在教學課程期間能直接的做這樣的問題。

21 結果的初步分析~算術表示式 表一 算術的正確回答率 A組 B組 C組 前測 後測 透過計算 比較表示式 97 94 83 85 93
125 表一 算術的正確回答率 A組 B組 C組 前測 後測 透過計算 比較表示式 97 94 83 85 93 透過填空使 表示式相等 82 86 69 65 63 80 計算表示式 51 74 58 60 44 70 去括號並重寫 22 28 71 37 91

22 表示式的架構和項的概念 126 A組和C組不用計算去比較表示式的課程會 引起學生的興趣。學生必須用他們自己的 話證明他們的答案是正確的。我們沒預期 到他們的自主推理反應。 證明27+32=29+30：“從32拿出2給27” 證明37-17>37-18︰“37相同，-17比-18大” (負數的性質是學生曾經短暫在學校遇到的題目) 這樣的練習使學生項的概念非常清楚。 表示式的架構和項的概念 在A組和C組不用計算去比較表示式的課程裡，證明了會引起學生的興趣。這樣的練習對他們來說是新的。學生必須用他們自己的話證明他們的答案是正確的。他們的自主推理產生我們沒預期的反應。如同先前的描述，在研究的第一個階段裡的一個學生自發證明了27+32=29+30，因為我們可以”從32拿出2給27”。在第二階段中，其中一個學生產生下列推理證明37-17>37-18︰”37相同，-17比-18大”。他利用了負數的性質，是學生曾經短暫的在學校遇到的題目。這個爭議被很多學生容易地同化了並且是在他們對這類問題的書面反應裡他們產生推理的最頻繁形式。 這樣的練習對學生來說使項的概念非常清楚。他們嘗試把概念應用在其他的比較問題上，但不總是成功。

23 表示式的架構和項的概念 在一些問題裡，一項的增加可被另一項的 減少所相抵，如：28+15=27+16 或 36 -19=35 -18
126 在一些問題裡，一項的增加可被另一項的 減少所相抵，如：28+15=27+16 或 36 -19=35 -18 但當一項的增加沒有因為另一項的減少所 相抵時，或每一個表示式有三項時，學生 在寫原因時有更多的困難。(雖然很多學生 能成功地判斷哪一個表示式比較大) 在一些問題裡，一項的增加被另一項的減少所相抵，例如，28+15=27+16或者36-19=35-18。這樣的問題從那些學生那裡引出多種原因。當一項的增加沒有因為另一項的減少所相抵時，或當每一個表示式有三項時，雖然很多學生能成功地判斷哪一個表示式比較大，但是學生在寫原因時有更多的困難。

24 表示式的架構和項的概念 在寫原因時，特別是關於簡單的表示式， 學生經常不是明確地透過項來說明理由， 而是由上下文決定。
126 在寫原因時，特別是關於簡單的表示式， 學生經常不是明確地透過項來說明理由， 而是由上下文決定。 如：“第一項比較少，第二項比較多”， 或 “一項是相同的，另一項比較少”。 當結合正確判斷的高比率，至少一些學生 的這種回應可以反映出：這種問題變得容 易，架構模式也趨向穩定。 在寫原因時，特別是關於簡單方法的表示式，學生經常不是明確地透過指出項來縮短他們的理由，而是由上下文決定。例如，”第一項比一少，第二項比一多”，或”一項是相同的，另一項比一少”。當結合正確判斷的高比率，至少在一些學生的這樣回應可以反映出，這種問題增加容易性和趨向架構模式的穩定認知。

25 表示式的架構和項的概念 進一步介紹項的概念 43+68+32×35=35×32+43+68 A組 B組 C組 正確回答率 48% 40%
126 進一步介紹項的概念 ×35=35× A組 B組 C組 正確回答率 48% 40% 81% ≠ ( ) A組 B組 C組 正確回答率 40% 14% 24% 進一步介紹項的概念來理解像 ×35和 35× 這樣的表示式是等值的。C組能比 其它組更成功地運用這個概念。 在這個問題的後測中，C組的學生有81%的正 確回應，相對於A組的48%和B組的40%。然而， 全部組的大部分學生不能判斷 和 的等值，或者 和 ( )的不等 值。A組和C組在這些問題上的表現(分別是 40%和24%)比B組(14%)好一點。

26 符號化 依據給定的句子寫下代數表示式的問題上， 所有組的學生都有顯著的進步。
依據給定的句子寫下代數表示式的問題上， 所有組的學生都有顯著的進步。 “比a多3” 或 “t的6倍”：A組和C組都 能寫下正確的表示式，B組則超過80%。 “比x少7” (seven less than x)：A組和B 組很多寫了不正確的7－x，C組的所有學 生寫了正確的x-7。這顯示英文句子裡文字 的順序依照7－x的順序，Marathi句子裡文 字的順序遵照正確表示式的順序。 符號化 學生依據給定的句子必須寫下代數表示式的問 題上，所有組的學生有顯著的進步。所有的組 已經得到關於這種問題的教學， A組和C組學 到算術和代數的符號化。對於像”比a多3”或 者”t的6倍”這樣的句子來說， A組和C組的 所有學生都能寫下正確的表示式，B組有超過 80%的正確答案。對於”比x少7”這樣的句子 來說， 來自A組和B組的很多學生不正確地寫 了7－x。然而，C組的所有學生寫了正確的表 示式x-7。這顯示英文句子裡文字的順序產生7 －x的順序，Marathi句子裡文字的順序產生了 正確的表示式。

27 符號化 取自SESM研究的兩個問題被含在前後測中。 一、找到邊長m+3和c的長方形周長和面積。 二、找到每邊長度為5的k邊星形周長。
127 取自SESM研究的兩個問題被含在前後測中。 一、找到邊長m+3和c的長方形周長和面積。 二、找到每邊長度為5的k邊星形周長。 這些問題讓所有組幾乎是0正確的回答。 第2個問題更簡單版本：找到每邊長度為4的10邊星形周長，在所有組有超過60%的正確回答。明顯地，周長的概念知識不是障礙。 猜數目遊戲中，雖然只有一些學生能成功運算表示式，但是大多數學生選擇用一個字母來表示未知數並且寫下表示式。 因此我們發現學生能夠在猜數字遊戲的脈落下使用字母符號化，但不是在周長和面積問題裡。 取自SESM研究的兩個問題被含在前後測中 (Booth 1984)。第一個問題中，學生必須找到 邊長m+3和c的長方形周長和面積。第二個問題 中，他們必須找到每邊長度為5的k邊星形周長。 這些問題讓所有組幾乎是0正確的回答。一個 第2個問題的更簡單版本，找到每邊長度為4的 10邊星形周長，在所有組有超過60%的正確回 答。 明顯地，周長的概念知識不是障礙。更 進一步，在猜數目遊戲中，雖然只有一些學生 能成功運算表示式，但是大多數學生選擇用一 個字母來表示未知數並且寫下表示式。因此我 們發現學生能夠在猜數字遊戲的脈落下使用字 母符號化，但不是在周長和面積問題裡。

28 結果的初步分析~代數表示式 用代數表示式確定項的問題：A組和C組有 超過90%的正確率，B組有約50%的正確率。
127 用代數表示式確定項的問題：A組和C組有 超過90%的正確率，B組有約50%的正確率。 簡化代數表示式的問題 ： A組和C組的表現 (分別為27%和25%)遠遠低於B組(46%)。 簡化問題和需要簡化的猜數字練習：B組所 花費的總時間大約是A組和C組的兩倍。 確定給定代數表示式是等值的題目所花費的 時間：A組(63%正確)表現得比B組(45%)和C 組(39%)好。 代數的表示式 在學生必須用代數表示式確定項的問題裡，A組和C組有超過90%的正確回答，而B組有大約50%的正確回答。 在簡化代數表示式的問題裡，A組和C組的表現(分別為27%和25%)遠遠低於B組的(46%)。B組在簡化問題和需要簡化的猜數字練習所花費的總時間大約是A組和C組在這些題目上所花費時間的兩倍。然而，學生必須確定給定代數表示式等值的題目上所花費的時間，A組(63%正確)表現得比B組(45%)和C組(39%)好。

29 總結 學生在比較算術表示式中的理由經由質的分 析呈現一些有趣的結果。有一個正向的事實 證據是：
127 學生在比較算術表示式中的理由經由質的分 析呈現一些有趣的結果。有一個正向的事實 證據是： 學生能察覺一般的表示式架構 用項的概念去證明他們的比較及沒有用計算結果的證明 我們假設學習項的概念橋和有意義的算術等 式是為代數的概念準備了強烈理解基礎。 總結摘要 學生在比較算術表示式中的理由經由質的分析呈現一些有趣的結果。有一個正向的事實證據是：學生能察覺一般的表示式架構並且用項的概念去證明他們的比較和透過計算證明缺少。一些學生透過他們的立場提出項，而不是明確地指出架構模式的認知穩定增強。 我們假設學習項的概念和在有意義的算術脈落下等值的表示式為代數準備了強烈理解這些概念的基礎。 Rather then

30 總結 教學介入的結果是暗示但不是限定性的。
教學介入的結果是暗示但不是限定性的。 接受算術和代數教育的A組和C組在用一個 動詞句子寫下表示式和用代數表示式確定項 明顯地做得比B組要好。 A組在確定表示式的等值做得比其它兩組要 好。 教導介入的結果是暗示但不是限定性的。接受算術和代數教育的A組和C組在用一個動詞句子寫下表示式和用代數表示式確定項明顯地做得比B組要好。A組在確定等值表示式做得比其它兩組要好。

31 總結 128 學生用算術或代數或兩者的脈落規則學習括 號。在這些問題上，所有組的表現比前測都 進步了。因為B組沒有接受算術的教育，學 生會使用代數表示式的脈落規則應用到算術 表示式是一個實例。 較好的概念理解可能導致較好地學習和規則 的保留。 學生用算術或代數或兩者的脈落規則學習括號。在這些問題上，所有組改進表現超過前測的表現。因為B組沒有接受算術的教育，這是一個實例，學生會使用代數表示式的脈落規則應用到算術表示式。因為規則難以應用在與這個問題形式相仿的基礎上，所以如果說在這裡任何概念的轉移是相關的是不明確的。概念常被使用在規則的形式裡，因此較好的概念理解可能導致較好地學習和規則的保留。代數表示式的運算中概念和規則之間的連結需要更進一步的探索。 雖然接受算術教學的這些組在需要括號的問題上改進了他們的表現，我們沒有在代數運算中發現改進表現的直接證據。對這最可能的解釋是在文字題目上所花費的較學時間太短了。

32 END