7-2 抽樣分配（sampling distribution）

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1 7-2 抽樣分配（sampling distribution）
樣本統計量（sample statistic）：是一個隨機變數，其值隨樣本不同而不同。也就是為隨機樣本的實數值函數。 抽樣分配（sampling distribution）：表示樣本統計量的機率分配。

2 7-3 樣本平均數的抽樣分配 設(X1 , X2 , …, Xn)來自具有平均數為 X，變異數為的
7-3 樣本平均數的抽樣分配 設(X1 , X2 , …, Xn)來自具有平均數為 X，變異數為的 母體之一組隨機樣本，則稱 = 為樣本平均數，且 E( ) = X，Var( ) = 1. 無限母體： 若樣本夠大，樣本中n個隨機變數X1, X2, …, Xn可視為相互獨立，則Var( ) = =  統計量的標準誤（standard errors），以 = X / 表示，此乃強調變異的來源為抽樣誤差所造成。

3 2.有限母體： 若樣本對母體而言不夠小（或母體不夠大），則樣本平均數的變異數應修正為Var( ) =  。 樣本平均數的抽樣分配，有兩個重要的結果： 一個是由常態母體隨機抽出的情形。 另一個是由非常態母體隨機抽出大樣本的情形。

4 1. 來自常態母體： 設(X1, X2, …, Xn)來自常態母體N( ,  2)且 2為已知之一組隨機樣本，則樣本平均數的抽樣分配為 N 或 Z = ～N(0, 1) 由上可知，若X為常態分配，且2已知，則不管n的大小，的抽樣分配一定為常態分配。

5 2. 來自非常態母體之大樣本： 『中央極限定理（Central limit Theorem，CLT）』 設(X1, X2, …, Xn)來自具有平均數為 ，變異數為 2 < ，之任意母體隨機抽出的一組樣本，則當n足夠大時（通常，當n  30）， 的抽樣分配會近似於N 。 或Z = ～N(0, 1)

6 7-7 三個重要抽樣分配 一、自由度 二、卡方（ 2）分配 (1) 定義：
7-7 三個重要抽樣分配 一、自由度 二、卡方（ 2）分配 (1) 定義： 設X1, X2, …, Xn為自常態母體N(,  2)抽得之一組隨機樣本，則  2= = ～ 2(n - 1) 稱為自由度n-1之卡方分配，以 2(n - 1)表之。

7 (2) 性質： 卡方分配之圖形為右偏，唯當自由度愈大，圖形愈趨於對稱。 加法性：若X～ (v1) ，Y～ (v2) ，X Y， 則X + Y～ 2(v1 + v2) 。 若X～N(,  2)，則Z 2 = ～ 2(1)。 (3) 特徵數： = v = 2v ，v為自由度。 其圖形如下：

8 圖7-2 (4) 卡方分配之基本用途在於變異數之估計及檢定，主要尚可應用於無母數檢定中，如適合度檢定、齊一性檢定、獨立性檢定等等。

9 三、t分配 定義： 設Z及 2為獨立之隨機變數，Z～N(0, 1)， 2～ 2(v)，則T = 稱為自由度是v之t分配，，以T～t(v)表示。 此隨機變數T之抽樣分配，稱為學生t分配（Student’s t distribution），係1908年Gosset研究成果以筆名“Student”首先發表，創小樣本統計方法之先河。

10 (2) 性質： t分配與標準常態分配相似，均為0以為對稱中心。 t分配之變異數較標準常態分配變異數為大，故其雙屬分散較廣。 當n值增加，t分配圖形與標準常態分配圖形相近。 t (v) = F(1, v) ； z = t() ； t1-(v) = - t(v) (3) 特徵數： E(T ) = 0 V(T ) = ，v > 2

11 (4) 應用： 若(X1, X2, …, Xn)來自常態分配N(,  2)且  與 2皆未知的一組隨機樣本，同時 = ，S 2 = ，則T = 之分配稱為自由度v = n - 1之t分配，以T～t(n - 1)表之。 其圖形如下：

12 圖7-3

13 四、F分配 定義： 設 及 為兩獨立之隨機變數，且 ～ 2(v 1) ，  ～ 2(v 2)，則 F = 為具有自由度為v1，v2之F分配，以F～F(v1, v2)表之。 (2) 性質： a. F分配之圖形為右偏。 其圖形如下：

14 圖7-4

15 b. F1-(v1, v2) = 。 c. 當v1 → ，v2 = 1則 之分配為標準常態分配。 d. 當v1 = 1，v2 → ，則 之分配為標準常態分配。 當v1 = 1，則 之分配為自由度v2之t分配。 (3) 特徵數： E(F ) = ，v2 > 2 V(F ) = ，v2 > 4

16 (4) F分配之用途是作變異數分析，或作檢定兩常態母體變 異數是否相等之推論。
應用： 若  = ～ 2(n1 - 1)；  = ～ 2(n2 - 1)， 則 F = ～ F (n1 - 1, n2 - 1) 4. 卡方分配，F分配，t分配之特性： (1)皆為重要之抽樣分配。(2)皆為小樣本分配。 (3)皆來自常態母體。(4)皆為連續分配。 (5)均有自由度。

17 7-8 常態母體之檢查及轉換 1. 常態母體之檢查： 2. 常態母體之轉換：
7-8 常態母體之檢查及轉換 1. 常態母體之檢查： 2. 常態母體之轉換： (1)使大的數轉換為更大： x1, x2, x3, x4, x5, …, ex等。 (2)使大的數轉換為更小： , , , …, log10x等。 (3)使大的變小，小的變大： , , , , ……等。

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