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物體的運動包含質心的運動與繞質心的轉動：
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剛體 Rigid Body 非剛體的質點系統 前後為剛體的質點系統
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剛體的旋轉 Rotation of Rigid Body
剛體繞一固定軸轉動 旋轉軸可以在垂直方向平移 旋轉軸可隨時間變化
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剛體繞固定軸的旋轉 即使剛體由眾多粒子組成： 繞固定軸轉動卻是一個一維問題 由一個廣義座標來描述：Θ
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剛體中任一點在旋轉時作圓周運動（不一定等速）
r 是距離固定軸的垂直距離
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Angular Velocity
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Angular Acceleration
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運動學 剛體中有眾多如上述粒子 考慮剛體中的兩個點： 點1 點2 整個剛體只有一個角位移 剛體中不同位置的粒子，r 不同，位移不同。但轉角一樣。
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一個剛體的旋轉狀態可以用一個時間函數來表示：旋轉角
好像一維運動的座標一般，但 θ 不是位置座標，對剛體中的一個粒子來說位置是 s。s 才是真正的運動座標。 不同處的粒子 r 不同，但 θ 一樣 將不同粒子以下標編號。 了解此一維運動就了解所有粒子的運動了！
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一維的角運動可以如一維的運動，定義速度及加速度
角速度 角加速度
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轉動與一維運動似乎有一對一對應 ?
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此 ”力的對應” 應該與力及施力的位置同時有關！
平行於 r 的力分量因為剛體形狀不變，沒有效果。
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利用”功”來推理 正好與一維運動的功對應： 力矩 Torque 扭力 τ
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I 考慮一個由多個粒子組成的剛體 對於第 i 個粒子，所受力矩為： 對整個剛體來說，總力矩為： 內力的力矩正好抵消 與運動狀態無關
完全由運動狀態決定 對應的牛頓第二定律 I 12.6 轉動慣量
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轉動與一維運動似乎有一對一對應 一維的角運動由對應的牛頓第二定律控制
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轉動慣量 I
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力矩 Torque
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角動量 Angular Momentum 角動量守恆
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動能 12.3
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繞固定軸的旋轉與一維平移運動有一對一的對應
旋轉角稱為廣義座標
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廣義座標： 想像中的一個獨立彈簧
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每一個粒子的平移有一個牛頓第二定律。 每一個剛體的旋轉也有一個牛頓第二定律。
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繞固定軸轉動是一個一維運動，由一個廣義座標 θ 來描述。
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剛體繞一固定軸轉動 旋轉軸可以在垂直方向平移 旋轉軸可隨時間變化
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滾動是平移與轉動的組合 在質心座標系，輪子作一繞固定軸的純轉動
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滾動是平移與轉動的組合 旋轉 平移
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滾動是平移與轉動的組合
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滾動是平移與轉動的組合 在質心座標系中為繞固定軸旋轉 質心第二運動定律 可是質心座標系不是慣性座標系！
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質心座標系不是慣性座標系！ 牛頓第二定律必須加入一個沒有來源的虛力。 對任一物體，虛力的加速度是一樣的 假設虛力是水平的，計算虛力所做的力矩： 在質心座標系中為繞固定軸旋轉 因為質心在原點 在質心座標系，虛力的力矩正好抵消
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滾動由兩個牛頓動定律來描述 在質心座標系中為繞固定軸旋轉 質心第二運動定律 虛力的總力矩為零。
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帶著滑動的滾動 球緣與地面的接觸點相對於地面是滑動的！地面對球施予動摩擦力。 減速 質心平移 旋轉 加速旋轉 平移與旋轉基本上分離。
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正常的汽車行駛狀態 平滑滾動，Smooth Rolling 無滑動的滾動 Rolling without slipping 平滑滾動，球緣與地面的接觸點相對於地面是靜止的！地面對球施予靜摩擦力。
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質心平移與旋轉相關 滾動是移動與轉動兩者協調進行！ 質心的移動距離正是輪緣上一點轉過的弧長！
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質心的移動距離正是輪緣上一點轉過的弧長！
因為無滑動，輪面與地面之間是靜摩擦 這個條件決定了靜摩擦力的大小。
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例一：斜面上的平滑滾動 質心平移 以向上為正 摩擦力的方向：先假設無摩擦，判斷接觸點相對斜面移動方向，此方向的反方向即為摩擦力的方向。 旋轉，重力通過質心，故無力矩 平滑滾動條件 摩擦力可求出： 小於單純的粒子，旋轉會消耗
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另一種作法：能量 剛體的動能：移動 + 旋轉 P366,367
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純滾動條件
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若斜角太大，靜摩擦大於最大靜摩擦，球就開始滑動
例二：斜面上的非平滑滾動 質心平移 旋轉 動摩擦力已知。
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例三：以外力驅動的平面滾動
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例四：以內力矩驅動的平面滾動
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帶著滑動的滾動 無滑動的滾動 Rolling without slipping 球緣與地面的接觸點相對於地面是滑動的！地面對球施予動摩擦力。 球緣與地面的接觸點相對於地面是靜止的！地面對球施予靜摩擦力。 質心平移 旋轉 平移與旋轉基本上分離。 滾動是移動與轉動兩者協調進行！
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減速 質心平移 加速旋轉 旋轉 與地面接觸點速度 過了一段時間後，此速度為零，從此滾動成為平滑滾動！
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無滑動的滾動 接觸點是靜止的。
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滾動是平移與轉動的組合 對邊緣上的一點：
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擺線Cycloid
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Kimbell Art Museum
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回家鐵環
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二維的剛體運動 施力若未經質心，剛體即會轉動
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在質心座標系中為繞固定軸旋轉 質心第二運動定律 二維的剛體運動由一個平移及一個轉動所構成，分別由一個牛頓動定律來描述
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剛體的旋轉 Rotation of Rigid Body
剛體繞一固定軸轉動 旋轉軸可以在垂直方向平移 旋轉軸可隨時間變化
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