7.5三角形内角和定理.

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1 7.5三角形内角和定理

2 ☞ 证明命题的一般步骤: 胜者的“钥匙” 回顾与思考 与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法.
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证); (2)根据题意,画出图形; (3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”; 驶向胜利的彼岸 (4)分析题意,探索证明思路; (5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程; (6)检查表达过程是否正确,完善. 与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法.

3 回顾与思考 ☞ 言必有“据” 我们知道三角形三个内角的和等于1800.你还记得这个结论的探索过程吗? A (1)如图,当时我们是把∠A移到了∠1的位置,∠B移到了∠2的位置.如果不实际移动∠A和∠B,那么你还有其它方法可以 达到同样的效果? 1 1 2 3 2 B C D (2)根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗?与同伴交流. 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.

4 这里的CD,CE称为辅助线,辅助线通常画成虚线.
例题欣赏 ☞ “行家” 看“门道” A B C E 已知:如图6-9,△ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=1800. 分析:延长BC到D,过点C作射线CE∥AB,这样,就相当于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置. 2 1 3 D 这里的CD,CE称为辅助线,辅助线通常画成虚线. 证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则 ∠1=∠A(两直线平行,内错角相等), ∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等). 又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换). 你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?.

5 所作的辅助线是证明的一个重要组成部分,要在证明时首先叙述出来.
议一议 一题 多解 在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可以吗? 请你帮小明把想法化为实际行动. A B C P Q 2 3 1 证明:过点A作PQ∥BC,则 ∠1=∠B(两直线平行,内错角相等), ∠2=∠C(两直线平行,内错角相等), 所作的辅助线是证明的一个重要组成部分,要在证明时首先叙述出来. 又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ∴ ∠BAC+∠B+∠C=1800 (等量代换). 小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启发?你有新的证法吗?

6 ☞ “行家” 看“门道” 试一试 根据下面的图形,写出相应的证明. (1) A B C P Q R T A B C P Q R M T A
S N (2) A B C P Q R M T S N (3) A B C P Q R M 你还能想出其它证法吗?

7 ☞ 三角形内角和定理 这里的结论,以后可以直接运用. 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.
三种语言 ☞ 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C=1800. ∠A+∠B+∠C=1800的几种变形: ∠A=1800 –(∠B+∠C). ∠B=1800 –(∠A+∠C). ∠C=1800 –(∠A+∠B). ∠A+∠B=1800-∠C. ∠B+∠C=1800-∠A. ∠A+∠C=1800-∠B. A B C 这里的结论,以后可以直接运用.

8 ☞ 我是最棒的 随堂练习 1.直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形的一个内角是多少度?请证明你的结论.
D C B A E 已知:如图在△ABC中，DE∥BC,∠A=600, ∠C=700. 求证： ∠ADE=500.. 结论: 直角三角形的两个锐角互余.以后可以直接运用.

9 用运动变化的观点理解和认识数学 读一读 ☞ 在△ABC中,如果BC不动,把点A“压”向BC,那么当点A越来越接近BC时, ∠A就越来越大(越来越接近1800),而∠B和 ∠C,越来越小(越来越接近00).由此你能想到什么? C B A C B A 如果BC不动,把点A“拉离”BC,那么当A越来越远离BC时,∠A就越来越小(越来越接近00),而∠B和∠C则越来越大,它们的和越来越接近1800, 当把点A拉到无穷远时,便有AB∥AC,∠B和∠C成为同旁内角,它们的和等于1800.由此你能想到什么?

10 看一看 请同学们猜一猜： 三角形的内角和可能是多少？
用橡皮筋构成△ABC,其中顶点B、C为定点，A为动点，放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形……其内角会产生怎样的变化呢？ 结论： 当点A远离BC时，∠A越来越趋近于0°，而 AB与AC逐渐趋向平行，这时，∠B、∠C逐渐接近为互补的同旁内角，即∠B+∠C接近于180°。 请同学们猜一猜： 三角形的内角和可能是多少？

11 实验2： 将纸片三角形顶角剪下， 随意将它们拼凑在一起。
实验1： 先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图1），然后把另处两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图2）、（图3），最后得到（图4）所示的结果。 A C B 图1 B A C 图2 BA C 图3 BAC 图4 实验2： 将纸片三角形顶角剪下， 随意将它们拼凑在一起。

12 掌握几何命题证明的方法,步骤,格式及注意事项. 三角形内角和定理. 结论: 直角三角形的两个锐角互余.
小结 拓展 回味无穷 掌握几何命题证明的方法,步骤,格式及注意事项. 三角形内角和定理. 结论: 直角三角形的两个锐角互余. 探索证明的思路的方法: 由“因”导“果”,执“果”索“因”. 与同伴交流,你是如何提高证明命题能力的.

13 1、如图，已知△ABC中， ∠B 和∠C的平分线BE，CF交点O. 求证： ∠BOC=90°+

14 2 、 如图，已知AD是△ABD 和△ACD的公共边.求证： ∠BDC=∠BAC+∠B+∠C A D B C 证法一：
1 2 3 4 2 、 如图，已知AD是△ABD 和△ACD的公共边.求证： ∠BDC=∠BAC+∠B+∠C 证法一： ∵在△ABD中, ∠1＝180°－∠B－∠3， 在△ADC中, ∠2＝180°－∠C－∠4（三角形内角和定理）， 又∵∠BDC＝360°－∠1－∠2（周角定义） ∴∠ BDC ＝360°－（ 180°－∠B－∠3 ）－（ 180°－∠C－∠4 ） ＝ ∠B+∠C+∠3+∠4. 又 ∵ ∠BAC ＝ ∠3+∠4, ∴ ∠ BDC ＝ ∠B+∠C+ ∠BAC （等量代换） （等量代换）

15 A B C D 1 2 2 、 如图，已知AD是△ABD 和△ACD的公共边.求证： ∠BDC=∠BAC+∠B+∠C 证法二：

16 思考题： 如图，已知∠AMN+∠MNF+∠NFC=360°， 求证：AB∥CD（用两种方法证明） D F N M B A C

17 独立 作业 知识的升华 习题 ,2,3题; 祝你成功！

18 下课了! 结束寄语 严格性之于数学家,犹如道德之于人. 由“因”导“果”,执“果”索“因”.是探索证明思路的基本方法. 再 见