大綱: 方程式的解與圖形 畫方程式的圖形 方程式圖形的平移 聯立方程式的解與圖形 蘇德宙 台灣數位學習科技股份有限公司

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1 大綱: 方程式的解與圖形 畫方程式的圖形 方程式圖形的平移 聯立方程式的解與圖形 蘇德宙 台灣數位學習科技股份有限公司
二元一次方程式的圖形 大綱: 方程式的解與圖形 畫方程式的圖形 方程式圖形的平移 聯立方程式的解與圖形 蘇德宙 台灣數位學習科技股份有限公司

2 二元一次方程式的解與圖形的關係 二元一次方程式 x - y = 0 的解 坐標平面上的點 二元一次方程式的解 點的坐標 x y 1 2 3
二元一次方程式的圖形 二元一次方程式 x - y = 0 的解 坐標平面上的點 二元一次方程式的解 將 x, y 以 (a, b) 代入方程式使等號成立 點的坐標 平面上任一點的坐標可用 (a, b) 來表示 方程式的解與坐標平面上點的關係 二元一次方程式的解 x = a, y = b 可以用坐標平面上的點坐標 (a, b) 來描述 x y 1 2 3 … y (1, 1) (2, 2) (3, 3) 二元一次方程式的解所形成的圖形都是一條直線 當然，在這條直線上的點也都是方程式的解 x [方程式的 解 和坐標平面上圖形的關係] 我們知道，二元一次方程式的解通常用數對 (a, b) 來表示 而這樣的數對，在坐標平面上可以用來描述一個點的坐標 例如，x=0, y=0 是這個方程式的解 把這個解 (0,0) 畫在坐標平面上就是 x 坐標 = 0, y 坐標 = 0 這個點 因此，我們可以將方程式的解對應到坐標平面上的點 同樣的，x = 1, y=1, x=2, y=2 這些方程式的解在坐標平面上就對應到 (1, 1), (2, 2), (3, 3) 這些點 如果我們在 0 和 1 之間又找一組 ½ , ½ 的解，它的點在這 在 ½ 和 1 之間的空隙又找一個解 (¾, ¾) ，就是這個點 我們可以想像，如果將這個方程式所有的解都畫出來應該會形成一條直線 這個推論是對的，事實上，二元一次方程式的解所形成的圖形都是一條直線 這部分的證明我們在三年級的平面幾何中介紹 當然，在這條直線上的點也都是方程式的解 (0, 0) 蘇德宙 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

3 畫方程式的圖形 (兩點決定一直線) 在坐標平面上畫出方程式 2x + y = 0 的圖形 二元一次方程式的圖形是一條直線 y = -2x
隨堂練習 畫出方程式 3x – 2y + 2 = 0 的圖形 3x - 2y + 2 = 0 前面學過，二元一次方程式的圖形都是一直線 而兩點可以決定一直線 因此，我們只要找到 2x + y = 0 兩組解所對應的點，就可以畫出方程式的圖形了 首先，將 2x 移到右邊，讓方程式變成 y = -2x 的形式 這樣的好處是給一個 x 的值，就比較容易算出對應 y 的值 例如 x = 0, y 就等於 -2 乘上 0 = 0，而 (0,0) 這個點在坐標平面上就是這個位置 接著，給 x = 1, y = -2 乘 1 = -2，它的位置在這 將兩個點連在一起就畫出 2x + y = 0 的圖形了 我們來看一個隨堂練習 首先，我們將 y 移到右邊，兩邊再同時除以 2 就得到下面這個方程式 接著代入 x = 0, 得到 y = 1 的點 因為 3/2 的關係，我們可以將 x 用 2 的倍數代入消去分母， 例如，x = 2, 就得到 y = = 4，(2,4) 的點在這 連在一起就得到方程式的圖形了 我們簡單整理上面的步驟，第一步是先將方程式改寫成 y = ax + b 的形式 方便我們給一個 x 直就求得一個 y 的值 接著找出兩個方程式的解 (就是坐標平面上的兩個點) ，連在一起就畫出方程式的圖形了 2x + y = 0 x y 重點筆記 1. 將方程式寫成 y = ax + b 的形式，方便求 x 與 y 2. 找出兩個解 (坐標上的點) ，連起來形成一直線 蘇德宙 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

4 x = c 與 y = d 的圖形 在坐標平面上畫出方程式 x = -3 與 y = 4 的圖形，並求其交點座標 x + 0y = -3
二元一次方程式的圖形 在坐標平面上畫出方程式 x = -3 與 y = 4 的圖形，並求其交點座標 y x + 0y = -3 y = 4 x -3 y 1 … x 0x + y = 4 x 1 … y 4 x = -3 蘇德宙 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

5 例題 (方程式的解與坐標上點的關係) 1. 已知一點 P(2, 1) 在方程式 3x + by = 5 的直線上，求 b=?
二元一次方程式的圖形 1. 已知一點 P(2, 1) 在方程式 3x + by = 5 的直線上，求 b=? 2. 求通過兩點 A(1, 2) 與 B(2, 1) 的二元一次方程式 二元一次方程式的解所形成的圖形都是一條直線，在這條直線上的點都是方程式的解 分析 二元一次方程式 ax + by + c = 0 (if b≠0) 則可以寫成 y = mx + n 下面是幾個方程式的解與坐標上點的關係的例題 第一題，已知一點 P 在方程式的直線上，求 b=? 前面學過，在直線上的點都是 方程式的解 因此，x = 2, y = 1 是這個方程式的解 代入方程式後可以得到 3x2 + bx1 = 5，所以 b = -1 第二題 求通過兩點 A 與 B 的二元一次方程式 我們知道，如果二元一次方程式中，y 的係數 b != 0 可以同除以 b 以後將式子改寫成 y = mx + n 的形式 因為 A, B 這兩點的 x 坐標不同，並不是垂直線 就可以假設要求的二元一次方程式為 y = ax + b 將 1, 2 代入方程式可以得到 2 = a + b 將 2, 1 代入方程式可以得到 1 = 2a + b 用加減消去法，將下面的式子減掉上面的式子就可以消去 y 得到 a = -1 帶入第一個式子，就得到 b = 3 隨堂練習 第一題，仿造 2 得做法，將 A, B 的值代入就可以解聯立方程式求得 a, b 的解 第二題，通過原點，代表 0, 0 是這個方程式的解，代入後就可以求得 1 因為這兩個練習題的觀念和前面一樣，同學可以將剩下的步驟自己練習做做看喔 隨堂練習 1. 若方程式 ax + by = 2 的圖形通過 A(1, 1) 與 B(2, 3) 兩點，求 a, b 2. 如果方程式 y = ax + b 通過原點，則 b=? 蘇德宙 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

6 直線平移的問題 求方程式 y = 2x – 1 先向左 4 再向上 2 平移後的方程式 y = 2x - 1 y = 2x - 1
二元一次方程式的圖形 求方程式 y = 2x – 1 先向左 4 再向上 2 平移後的方程式 y 分析 1. 給兩點坐標求得二元一次方程式 2. 如何找到這兩點呢? a. 在原始直線上找兩點 b. 移動後得到新的點 (-3, 3) (-4, 1) (1, 1) x (0, -1) y = 2x - 1 x y x -4 -3 y 1 3 y = 2x - 1 直線平移的問題 求方程式 y = 2x – 1 先向左 4 再向上 2 平移後的方程式 我們可以假設新的方程式是 y = ax + b 前面的例題二學過，如果可以找到通過方程式的兩個點，就可以解出 a 與 b 的值 那要如何找到這兩個點呢 我們可以在原來的方程式找到兩個點 向左移動 4 再向上移動 2 就可以得到新方程式上的點了 接著，我們就來寫出完整的求解過程 首先，要求出 y = 2x – 1 的兩個解 將 x = 0 代入，可以得到 y = -1，向左移動 4 就是 x 坐標減 4，向上移動 2 就是 y 坐標 + 2，得到 -4, 1 將 x = 1 代入，y 會等於 1 ，移動後的 x 坐標就是 1- 4 = -3, y 坐標就是 = 3 我們將移動後的結果列在這裏，它是方程式 y = ax + b 的解 將 x = -4, y = 1 代入 y = ax + b 得到第一個式子 將 x = -3, y = 3 代入這個式子得到第二個式子 將第二個式子減第一個式子可以消去 b，右邊 -3a - -4a = a，左邊 = 2 代回第一個個式子就可以得到 b = 9 y = ax + b 1 = -4a + b … (1) 3 = -3a + b … (2) 蘇德宙 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

7 直線平移的規則探討 求方程式 y = 2x – 1 向上平移 2 點後的方程式 y = 2x - 1 (x, y + 2) (x, y)
二元一次方程式的圖形 求方程式 y = 2x – 1 向上平移 2 點後的方程式 y y = 2x - 1 (x, y + 2) x (x, y) 方程式圖形的移動 將方程式 y = ax + b 的圖形向上移動 d 點後的方程式為 y = ax + b + d 向右移動 d 點後的方程式為 + d 前面的範例說明方程式平移的做法 就是從原來的方程式找出兩個點，移動後得到新方程式的兩個點，再解聯立方程式 老實說，這個過程有點繁複 如果我們仔細觀察平移的過程，似乎有規則可循，我們來看下面的說明 向上平移 d 點的意思就是 原來方程式上任何一點，平移後的 y 坐標會 + 3 原來的 y 值是 2x - 1，新的 y 值會等於 2x – 1 再加 3 所以這就是平移後的方程式 同樣的，如果往右平移的話 就要要將原來的方程式寫成 x = 的形式 往右移動 d 點就是將原來的 x 值 + d 得到新的 x 值 我們將上面的結果整理一下 同學可以拿起比來練習看看，將這個方程式再往左移動 4 點 直接套這個性質，就會得到和前面例題一樣的答案 y = 2x - 1 隨堂練習 求方程式再向左移動 4 點的方程式 蘇德宙 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

8 聯立方程式的解與直線的交點 在坐標平面上畫出下列聯立方程式的圖形 x + y = 2 x – y = 4 x + y = 2
二元一次方程式的圖形 在坐標平面上畫出下列聯立方程式的圖形 x + y = 2 x – y = 4 x + y = 2 x + y = -2 x + y = 2 2x + 2y = 4 1 2 3 y y y x + y = 2 a a a x – y = 4 x x x (3, -1) 這節我們會透過下面例子來說明聯立方程式的解與直線交點之間的關係 在座標平面上畫出下列聯立方程式的圖形 第一題 要畫 x + y = 2 的圖形就是找兩個解，再連成一直線 我們將 x =0 代入，得到 y = 2，它的點在這 將 y = 0 代入，得到 x = 2 的點在這 連在一起就是 x + y = 2 的圖形 同樣的作法，我們可以畫出 x – y = 4 的圖形在這 所以，這條直線上任何一點都是 x – y = 4 這個方程式的解 同樣的，這條直線上任何一點都是 x + y = 2 這個方程式的解 兩條線的交點就會同時滿足 這兩個方程式的解 也就是聯立方程式的解 第二題 我們知道，這組聯立方程式無解 因為不可能有 x, y 的值加起來 = 2 又等於 -2 而將這兩個方程式的圖形畫出來，我們會看到，他是一條平行線，沒有交點，也就是無解的意思 第三題 因為第二個式子同時除以 2 以後會和第一個式子相同 所以任何一個滿足第一個式子的解都會滿足第二個式子，因此有無限多解 他們的圖形畫出來後是重疊 一組解，交於一點 無解，平行線 無限多解，重疊 蘇德宙 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

9 重點整理 方程式的解與平面上點的關係 每個解 (a, b) 對應到平面上的一點 x + y = 2 二元一次方程式的圖形
二元一次方程式的解所形成的圖形都是一條直線 方程式圖形的平移 先找到新的方程式的兩個點，再 透過 y = ax + b 求出 a, b 聯立方程式的解與圖形 一組解 (交點) 無解 (平行線) 無限多解 (重疊) x + y = 2 x – y = 4 x (3, -1) 蘇德宙 老師 台灣數位學習科技股份有限公司