垂径定理本节内容本课内容 2.3.

垂径定理本节内容本课内容 2.3

动脑筋在下图的⊙O中，AB是任一条弦，CD是⊙O 的直径，且CD⊥AB，垂足为E. 试问： AE与BE，与，与分别相等吗？

因为圆是轴对称图形，将⊙O沿直径CD对折，
如下图，我发现AE与BE重合，，分别与重合，即AE= BE， = ， =

∴ = 下面我们来证明这个结论. 在下图中，连接OA，OB. ∵ OA=OB， ∴ △OAB是等腰三角形. ∵ OE⊥AB，
∴ AE = BE， ∠AOD =∠BOD. 从而∠AOC =∠BOC. = ∴

结论结论由此得到垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

举例解连接OA. 例1 如图所示，弦AB=8cm，CD是⊙O的直径， CD⊥AB，垂足为E，DE=2cm，求⊙O的直径CD的长.
设OA=rcm，则OE=r-2（cm）. ∵ CD⊥AB，由垂径定理得 =4（cm）.

在Rt△AEO中，由勾股定理得即解得 r=5. ∴ CD = 2r = 10 （cm）.

举例证明作直径EF⊥AB，例2 证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 已知：如图，在⊙O中，弦AB与弦CD平行. 求证： = ∴
求证： = 例2 证明作直径EF⊥AB， ∴ 又 AB∥CD，EF⊥AB， ∴ EF⊥CD. ∴

因此即

练习解如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O 上一点， AC=8cm，AB=10cm，OD⊥BC于点D，求BD的长. ∵ AB 是直径，
∴ ∠ACB=90°. 在Rt△ACB 中，AC=8cm，AB=10cm， ∴ BC=6 cm. 又∵ OD⊥BC， ∴ 解

结束

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