离散数学－代数结构 南京大学计算机科学与技术系

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1 离散数学－代数结构 南京大学计算机科学与技术系
群论导引 离散数学－代数结构 南京大学计算机科学与技术系

2 内容提要 引言 半群 幺半群 群 群的性质 群的术语 群方程*

3 引言：对称变换 正方形的刚体运动是从四个顶点集到它本身的一一对应（变换），保持相邻点之间距离不变

4 引言：对称变换（续）

5 引言：对称变换（续）

6 引言：对称变换（续）

7 引言：对称变换（续） 两个对称变换的连续作用依然是对称变换

8 引言：对称变换（续） Cayley Table

9 引言：对称变换（续）

10 群 论 Je n’ai pas le temps. ——Evariste Galois

11 半 群

12 幺半群（Monoid）

13 幺半群（续）

14 群（Group） ……代数系统 ……幺半群 ……群

15 群 （续）

16 群（续）

17 群（续）

18 群（续）

19 群 （续）

20 群的性质 有限群的运算表中每行（列）均为群中所有元素的一种排列，不同行（列）也不可能出现同样的排列。

21 群的术语：元素的乘幂（次方） 定义 a0 = e （e是单位元素） an+1 = an ⃘ a (n是非负整数)
a-k =(a-1)k (k为正整数) 性质 an ⃘am= an+m (an)m= anm

22 群的术语：元素的阶

23 群的术语：群的阶

24 有关群的术语（续）

25 有关群的术语（续） 证明：四阶群皆为Abel群 证明：四阶群中元素的阶为1、2或者4（不为3）.
假设有个元素a的阶为3，{e, a, a2, b}, ab=?（矛盾）

26 有关群的术语（续）

27 群 方 程*

28 群的方程定义*

29 群的方程定义*（续）

30 群的方程定义*（续）

31 作业 教材内容：[屈婉玲] 10.1节 课后习题： pp. 228—230 pp. 202—204 2, 4, 5, 11
16—19 pp. 202—204 2, 4, 5, 11 16—19

32 Niels Abel ( ):天才与贫困 阿贝尔的第一个抱负不凡的冒险，是试图解决一般的五次方程。…失败给了他一个非常有益的打击；它把他推上了正确的途径，使他怀疑一个代数解是否是可能的。他证明了不可解。那时他大约十九岁。 阿贝尔的《关于非常广泛的一类超越函数的一般性质的论文》呈交给巴黎科学院。这就是勒让德后来用贺拉斯的话描述为“永恒的纪念碑”的工作，埃尔米特说：“他给数学家们留下了够他们忙上五百年的东西。”它是现代数学的一项登峰造极的成就。(摘自贝尔：《数学精英》) 这篇论文的一个评阅人勒让德74岁，发现这篇论文很难辨认，而另一位评阅人，39岁的柯西正处于自我中心的顶峰，把论文带回家，不知放在何处，完全忘了。 4年后，当柯西终于将它翻出来时，阿贝尔已经不在人世。作为补偿，科学院让阿贝尔和雅可比一起获得1830年的数学大奖。