Ch1 三角 1-2 廣義角與極坐標.

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1 Ch1 三角 1-2 廣義角與極坐標

2 甲、廣義角 平面上,設AOB為一角﹐定AOB為： 「將射線OA繞著O點旋轉到射線OB所成的角.」 課本頁次：15

3 甲、廣義角 平面上,設AOB為一角﹐定AOB為： 「將射線OA繞著O點旋轉到射線OB所成的角.」 課本頁次：15

4 甲、廣義角 有正負方向的角﹐稱為有向角。 AOB = +120 = 120 （習慣上我們將「+」省略） 課本頁次：16

5 甲、廣義角 有正負方向的角﹐稱為有向角。 AOC = －90 不限於0到180之間的有向角,統稱為廣義角. 課本頁次：16

6 隨堂 以OA為始邊﹐畫出下列各角的終邊﹒ (1) 210 (2) －240 課本頁次：16

7 隨堂 以OA為始邊﹐畫出下列各角的終邊﹒ (3) 270 課本頁次：16

8 甲、廣義角 標準位置角：  角的頂點與原點重合。  角的始邊在x軸正向上。 (1) 當角的終邊落在第一、二、三或四象限時﹐
分別稱這個角為第一、二、三或四象限角﹒ 例如： 150 與 210 二 都是第____象限角 課本頁次：16

9 甲、廣義角 標準位置角：  角的頂點與原點重合。  角的始邊在x軸正向上。 (1) 當角的終邊落在第一、二、三或四象限時﹐
分別稱這個角為第一、二、三或四象限角﹒ 例如： 225 與 135 三 都是第____象限角 課本頁次：16

10 甲、廣義角 標準位置角：  角的頂點與原點重合。  角的始邊在x軸正向上。 (2) 當角的終邊落在x軸或y軸上時﹐稱為象限角。 例如：
90 、 180、 270與 360 都是象限角。 課本頁次：16

11 隨堂 下列各角在標準位置時,分別為第幾象限角？ (1) －100 三 為第____象限角 (2) 120 二 為第____象限角
(2) 120 為第____象限角 二 課本頁次：17

12 隨堂 下列各角在標準位置時,分別為第幾象限角？ (3) －310 一 為第____象限角 (4) 300 四 為第____象限角
(4) 300 為第____象限角 四 課本頁次：17

13 甲、廣義角 同界角： 兩個角有相同的始邊和終邊。 (同界角彼此間相差360的整數倍) 與 互為同界角 例如： 150 與 210
課本頁次：17

14 隨堂 下列何者是105的同界角？ (1) 465. (2) 105. (3) 75. (4) 255. 解： (1)
(1) 465. (2) 105. (3) 75. (4) 255. 解： (1) 465－ 105 ＝ 360 (○) (2)  105 － 105 ＝  210 ( × ) (3) 75 － 105 ＝  30 ( × ) (4)  255 － 105 ＝  360 (○) ∴ 選 (1) (4) 課本頁次：17

15 乙、廣義角的三角函數值 設 為標準位置角﹐ 在 的終邊上任取一點P(x,y)﹐ 且 規定  角的三角函數值為: ， ，
 為第一象限角 課本頁次：18

16 乙、廣義角的三角函數值 設 為標準位置角﹐ 在 的終邊上任取一點P(x,y)﹐ 且 規定  角的三角函數值為: ， ，
 為第二象限角 課本頁次：18

17 乙、廣義角的三角函數值 設 為標準位置角﹐ 在 的終邊上任取一點P(x,y)﹐ 且 規定  角的三角函數值為: ， ，
 為第三象限角 課本頁次：18

18 乙、廣義角的三角函數值 設 為標準位置角﹐ 在 的終邊上任取一點P(x,y)﹐ 且 規定  角的三角函數值為: ， ，
 為第四象限角 課本頁次：18

19 乙、廣義角的三角函數值 設 為標準位置角﹐ 在 的終邊上任取一點P(x,y)﹐ 且 規定  角的三角函數值為: ， ， 注意:
注意:　 只有在比值有意義（即分母不為0）時才能成立. 例如： tan90 沒有定義 課本頁次：18

20 例1 已知P(2,1)為標準位置角 終邊上的一點, 求 和 的值 ， 解： 課本頁次：18

21 隨1 求下列圖中 角的三個三角函數值: (1) 解： 課本頁次：19

22 隨1 求下列圖中 角的三個三角函數值: (2) 解： 課本頁次：19

23 例2 求120 和 240 的三角函數值 (1) 解： 課本頁次：19

24 例2 求120 和 240 的三角函數值 (2) 解： 課本頁次：19

25 隨2 求135， 300 和 150 的三角函數值 (1) 解： 課本頁次：20

26 隨2 求135， 300 和 150 的三角函數值 (2) 解： 課本頁次：20

27 隨2 求135， 300 和 150 的三角函數值 (3) 解： 課本頁次：20

28 例3 求90的三個三角函數值. 解： 課本頁次：20

29 隨3 求下列象限角的三角函數值： 課本頁次：21

30 隨3 求下列象限角的三角函數值： (按 出現數字，按數字出現 )  表示沒有定義 課本頁次：21

31 三角函數值的正負符號 若 為第二象限角, (x,y)的正負符號為 (,+), sin = > 0, cos = < 0,
> 0,　 cos = < 0,　 tan = < 0　 課本頁次：21

32 三角函數值的正負符號 sin = , cos = , tan =  (x, y) sin cos tan 第一象限 (+,+)
,　 cos = ,　 tan =  (x, y) sin cos tan 第一象限 (+,+) + 第二象限 (,+)  第三象限 (,) 第四象限 (+,) 課本頁次：21

33 三角函數值的正負符號 sin = ,　 cos = ,　 tan = 課本頁次：21

34 隨堂 根據下列各條件, 分別指出各 角是第幾象限角？ (1) sin < 0且 cos > 0 解：  為第四象限角
課本頁次：21

35 隨堂 根據下列各條件, 分別指出各 角是第幾象限角？ (2) tan > 0且 cos < 0 解：  為第三象限角
課本頁次：21

36 例4 已知 且 是第四象限角, 求sin 和tan 的值. 解： 課本頁次：22

37 隨4 已知 且 是第三象限角, 求cos 和tan 的值. 解： 課本頁次：22

38 丙、換算公式 sin150 = = sin30 cos135 = = －cos45 ， 發現： 30 與 150 互為補角，
45 與 135 互為補角。 問題： sin(180 ) = sin  (？) cos(180 ) = －cos  (？) 定義： 圓心為原點　半徑為1的圓為單位圓 課本頁次：22

39 丙、換算公式 關係式 (單位圓) 課本頁次：23

40 丙、換算公式 關係式 註： 180 與  的終邊對稱於 y 軸， 上述的關係式對任意角 都成立﹒ 課本頁次：23

41 丙、換算公式 關係式 例如： sin120 = sin(18060) = sin60 cos135
課本頁次：23

42 丙、換算公式 關係式 (單位圓) 課本頁次：24

43 丙、換算公式 關係式 註： 180 + 與  的終邊對稱於原點， 上述的關係式對任意角 都成立﹒ 課本頁次：24

44 丙、換算公式 關係式 註： 180 + 與  的終邊對稱於原點， 上述的關係式對任意角 都成立﹒ 課本頁次：24

45 丙、換算公式 關係式 例如： sin210 = sin(180+30) = －sin30 cos225
課本頁次：24

46 丙、換算公式 關係式 (單位圓) 課本頁次：25

47 丙、換算公式 關係式 註：  與  的終邊對稱於 x 軸， 上述的關係式對任意角 都成立﹒ 課本頁次：25

48 丙、換算公式 關係式 註：  與  的終邊對稱於 x 軸， 上述的關係式對任意角 都成立﹒ 課本頁次：25

49 丙、換算公式 關係式 例如： sin(30) ＝ －sin30 cos(120) ＝ cos120 課本頁次：25

50 例5 求下列各三角函數值: (1) sin150 解： sin30 = sin(18030) = sin150 =
(2) cos210 解： －cos30 = cos210 = cos(180+30) = 課本頁次：25

51 例5 求下列各三角函數值: (3) tan(－60) 解： tan(－60) = －tan60 = (4) tan(－225) 解：
課本頁次：25

52 隨5 求下列各三角函數值: (1) cos120 解： cos120 = cos(18060) = －cos60 =
(2) tan240 解： tan240 = tan(180+60) = tan60 = 課本頁次：25

53 隨5 求下列各三角函數值: (3) sin(－45) 解： sin(－45) = －sin45 = (4) cos(－135) 解：
課本頁次：25

54 丙、換算公式 關係式 (單位圓) 課本頁次：26

55 丙、換算公式 關係式 註： 90 － 與  的終邊對稱於 y＝x 直線， 上述的關係式對任意角 都成立﹒ 課本頁次：26

56 丙、換算公式 關係式 註： 90 － 與  的終邊對稱於 y＝x 直線， 上述的關係式對任意角 都成立﹒ 課本頁次：26

57 丙、換算公式 關係式 (單位圓) 課本頁次：26

58 丙、換算公式 關係式 sin(90 + ) = sin(180(90 )) = sin(90 ) = cos
課本頁次：26

59 丙、換算公式 關係式 課本頁次：26

60 丙、換算公式 關係式 (補充) sin(270 + ) = sin(180 + (90 + )) =  sin(90 + )
=  cos cos(270 + ) = cos(180 + (90 + )) =  cos(90 + ) = sin 課本頁次：27

61 丙、換算公式 關係式 (補充) 課本頁次：27

62 丙、換算公式 關係式 (補充) sin(270 ) = sin(180 + (90   ))
=  cos cos(270 ) = cos(180 + (90   )) =  cos(90   ) =  sin 課本頁次：27

63 丙、換算公式 關係式 (補充) 課本頁次：27

64 隨堂 試證: (1) cos(270 + ) = sin 證: cos(270 + ) =
(2) cos(270   ) =  sin 證: cos(270  ) = cos(180 + (90   )) =  cos(90   ) =  sin 課本頁次：27

65 丁、直角坐標與極坐標的變換 極坐標的概念： 用方向和距離來描述點位置的方法。 如：「10點鐘方向﹐20公尺遠」 課本頁次：27

66 丁、直角坐標與極坐標的變換 O ： 原點或極點 ： 極軸  ： OP射線為終邊的廣義角 ： ： 極坐標 課本頁次：27

67 例6 寫出下圖中A,B兩點的極坐標. 解： A的極坐標為 （或 , …等）。 , 課本頁次：28

68 例6 寫出下圖中A,B兩點的極坐標. 解： B的極坐標為 （或 , …等）。 課本頁次：28

69 隨6 寫出下圖中C,D兩點的極坐標. （ ） 解： C 的極坐標為 D 的極坐標為 課本頁次：28

70 丁、直角坐標與極坐標的變換 平面上一點 P 極坐標為 直角坐標為 兩者關係式為 (1) (2) 課本頁次：28

71 例7 (1)已知點P的極坐標為 求其直角坐標. 解： 課本頁次：29

72 例7 (2)已知點P的直角坐標為 求其極坐標. 解： 課本頁次：29

73 隨7 (1)已知點P的極坐標為 求其直角坐標. 解： 課本頁次：29

74 隨7 (2)已知點P的直角坐標為 求其極坐標. 解： ∥ 課本頁次：29

75 離開確認 你確定要離開嗎？