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现代控制理论 山东大学控制科学与工程学院
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第3章 小 结 1、系统的状态能控性 （1）若线性定常系统Σ(A，B)在有限时间间隔[t0，tf ]内存在无约束的分段连续输入信号u(t)，能使系统的任意初始状态x(t0)转移到状态x(tf ) = 0，则称系统是状态完全能控的。 反之，若存在能将系统从x(t0)=0转移到任意终态x(tf)的控制作用，则称系统是可达的。 对线性定常系统，可控与可达是可逆的。
![第3章 小 结 1、系统的状态能控性. （1）若线性定常系统Σ(A，B)在有限时间间隔[t0，tf ]内存在无约束的分段连续输入信号u(t)，能使系统的任意初始状态x(t0)转移到状态x(tf ) = 0，则称系统是状态完全能控的。](http://slidesplayer.com/slide/16653762/96/images/2/%E7%AC%AC3%E7%AB%A0+%E5%B0%8F+%E7%BB%93+1%E3%80%81%E7%B3%BB%E7%BB%9F%E7%9A%84%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%83%BD%E6%8E%A7%E6%80%A7.+%EF%BC%881%EF%BC%89%E8%8B%A5%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%AE%9A%E5%B8%B8%E7%B3%BB%E7%BB%9F%CE%A3%28A%EF%BC%8CB%29%E5%9C%A8%E6%9C%89%E9%99%90%E6%97%B6%E9%97%B4%E9%97%B4%E9%9A%94%5Bt0%EF%BC%8Ctf+%5D%E5%86%85%E5%AD%98%E5%9C%A8%E6%97%A0%E7%BA%A6%E6%9D%9F%E7%9A%84%E5%88%86%E6%AE%B5%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E8%BE%93%E5%85%A5%E4%BF%A1%E5%8F%B7u%28t%29%EF%BC%8C%E8%83%BD%E4%BD%BF%E7%B3%BB%E7%BB%9F%E7%9A%84%E4%BB%BB%E6%84%8F%E5%88%9D%E5%A7%8B%E7%8A%B6%E6%80%81x%28t0%29%E8%BD%AC%E7%A7%BB%E5%88%B0%E7%8A%B6%E6%80%81x%28tf+%29+%3D+0%EF%BC%8C%E5%88%99%E7%A7%B0%E7%B3%BB%E7%BB%9F%E6%98%AF%E7%8A%B6%E6%80%81%E5%AE%8C%E5%85%A8%E8%83%BD%E6%8E%A7%E7%9A%84%E3%80%82.jpg "反之，若存在能将系统从x(t0)=0转移到任意终态x(tf)的控制作用，则称系统是可达的。 对线性定常系统，可控与可达是可逆的。")
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（2）线性定常系统能控性判据 ① rankQc= rank[ B AB … An1B]= n ② 当A为对角形且特征值互异时，输入矩阵B中无全为零行；当A为约当阵时且相同特征值分布在一个约当块内时，B中与约当块最后一行对应的行不全为零，且B中相异特征值对应的行不全为零。 ③ SISO系统，由状态空间表达式导出的传递函数没有零极点对消。 ④ Σ(A，B)为能控标准形。
![（2）线性定常系统能控性判据 ① rankQc= rank[ B AB … An1B]= n. ② 当A为对角形且特征值互异时，输入矩阵B中无全为零行；当A为约当阵时且相同特征值分布在一个约当块内时，B中与约当块最后一行对应的行不全为零，且B中相异特征值对应的行不全为零。](http://slidesplayer.com/slide/16653762/96/images/3/%EF%BC%882%EF%BC%89%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%AE%9A%E5%B8%B8%E7%B3%BB%E7%BB%9F%E8%83%BD%E6%8E%A7%E6%80%A7%E5%88%A4%E6%8D%AE+%E2%91%A0+rankQc%3D+rank%5B+B+AB+%E2%80%A6+An%EF%80%AD1B%5D%3D+n.+%E2%91%A1+%E5%BD%93A%E4%B8%BA%E5%AF%B9%E8%A7%92%E5%BD%A2%E4%B8%94%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%80%BC%E4%BA%92%E5%BC%82%E6%97%B6%EF%BC%8C%E8%BE%93%E5%85%A5%E7%9F%A9%E9%98%B5B%E4%B8%AD%E6%97%A0%E5%85%A8%E4%B8%BA%E9%9B%B6%E8%A1%8C%EF%BC%9B%E5%BD%93A%E4%B8%BA%E7%BA%A6%E5%BD%93%E9%98%B5%E6%97%B6%E4%B8%94%E7%9B%B8%E5%90%8C%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%80%BC%E5%88%86%E5%B8%83%E5%9C%A8%E4%B8%80%E4%B8%AA%E7%BA%A6%E5%BD%93%E5%9D%97%E5%86%85%E6%97%B6%EF%BC%8CB%E4%B8%AD%E4%B8%8E%E7%BA%A6%E5%BD%93%E5%9D%97%E6%9C%80%E5%90%8E%E4%B8%80%E8%A1%8C%E5%AF%B9%E5%BA%94%E7%9A%84%E8%A1%8C%E4%B8%8D%E5%85%A8%E4%B8%BA%E9%9B%B6%EF%BC%8C%E4%B8%94B%E4%B8%AD%E7%9B%B8%E5%BC%82%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%80%BC%E5%AF%B9%E5%BA%94%E7%9A%84%E8%A1%8C%E4%B8%8D%E5%85%A8%E4%B8%BA%E9%9B%B6%E3%80%82.jpg "③ SISO系统，由状态空间表达式导出的传递函数没有零极点对消。 ④ Σ(A，B)为能控标准形。")
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（3）线性定常离散系统能控性判据 rankUc= rank[ H GH … G n1H]= n （4）线性定常系统离散化后的能控性： 连续系统不能控，离散化后的系统一定不能控；连续系统能控，离散化后的系统不一定能控，与采样周期T的选择有关。 （5）能控标准形 ① SISO Σ(A，B) ，其A和B有以下的标准格式
![（3）线性定常离散系统能控性判据 rankUc= rank[ H GH … G n1H]= n. （4）线性定常系统离散化后的能控性： 连续系统不能控，离散化后的系统一定不能控；连续系统能控，离散化后的系统不一定能控，与采样周期T的选择有关。](http://slidesplayer.com/slide/16653762/96/images/4/%EF%BC%883%EF%BC%89%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%AE%9A%E5%B8%B8%E7%A6%BB%E6%95%A3%E7%B3%BB%E7%BB%9F%E8%83%BD%E6%8E%A7%E6%80%A7%E5%88%A4%E6%8D%AE+rankUc%3D+rank%5B+H+GH+%E2%80%A6+G+n%EF%80%AD1H%5D%3D+n.+%EF%BC%884%EF%BC%89%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%AE%9A%E5%B8%B8%E7%B3%BB%E7%BB%9F%E7%A6%BB%E6%95%A3%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E8%83%BD%E6%8E%A7%E6%80%A7%EF%BC%9A+%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E7%B3%BB%E7%BB%9F%E4%B8%8D%E8%83%BD%E6%8E%A7%EF%BC%8C%E7%A6%BB%E6%95%A3%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E7%B3%BB%E7%BB%9F%E4%B8%80%E5%AE%9A%E4%B8%8D%E8%83%BD%E6%8E%A7%EF%BC%9B%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E7%B3%BB%E7%BB%9F%E8%83%BD%E6%8E%A7%EF%BC%8C%E7%A6%BB%E6%95%A3%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E7%B3%BB%E7%BB%9F%E4%B8%8D%E4%B8%80%E5%AE%9A%E8%83%BD%E6%8E%A7%EF%BC%8C%E4%B8%8E%E9%87%87%E6%A0%B7%E5%91%A8%E6%9C%9FT%E7%9A%84%E9%80%89%E6%8B%A9%E6%9C%89%E5%85%B3%E3%80%82.jpg "（5）能控标准形. ① SISO Σ(A，B) ，其A和B有以下的标准格式.")
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② 对能控系统Σ(A，B)化为能控标准形的变换矩阵P是唯一的，且
P1 = [0 … 0 1][B AB … An1B ]1
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2、系统的输出能控性 （1） 若线性定常系统Σ(A，B，C，D)在有限时间间隔[t0，tf ]内存在无约束的分段连续输入信号u(t)，能使系统的任意初始输出y(t0)转移到y(tf )，则称系统是输出完全能控的。 （2）输出能控性判据为 rankQ = rank[ CB CAB … CA n1B]= m （3）状态能控性和输出能控性是两个不同的概念，其间没有必然联系。
![2、系统的输出能控性 （1） 若线性定常系统Σ(A，B，C，D)在有限时间间隔[t0，tf ]内存在无约束的分段连续输入信号u(t)，能使系统的任意初始输出y(t0)转移到y(tf )，则称系统是输出完全能控的。](http://slidesplayer.com/slide/16653762/96/images/6/2%E3%80%81%E7%B3%BB%E7%BB%9F%E7%9A%84%E8%BE%93%E5%87%BA%E8%83%BD%E6%8E%A7%E6%80%A7+%EF%BC%881%EF%BC%89+%E8%8B%A5%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%AE%9A%E5%B8%B8%E7%B3%BB%E7%BB%9F%CE%A3%28A%EF%BC%8CB%EF%BC%8CC%EF%BC%8CD%29%E5%9C%A8%E6%9C%89%E9%99%90%E6%97%B6%E9%97%B4%E9%97%B4%E9%9A%94%5Bt0%EF%BC%8Ctf+%5D%E5%86%85%E5%AD%98%E5%9C%A8%E6%97%A0%E7%BA%A6%E6%9D%9F%E7%9A%84%E5%88%86%E6%AE%B5%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E8%BE%93%E5%85%A5%E4%BF%A1%E5%8F%B7u%28t%29%EF%BC%8C%E8%83%BD%E4%BD%BF%E7%B3%BB%E7%BB%9F%E7%9A%84%E4%BB%BB%E6%84%8F%E5%88%9D%E5%A7%8B%E8%BE%93%E5%87%BAy%28t0%29%E8%BD%AC%E7%A7%BB%E5%88%B0y%28tf+%29%EF%BC%8C%E5%88%99%E7%A7%B0%E7%B3%BB%E7%BB%9F%E6%98%AF%E8%BE%93%E5%87%BA%E5%AE%8C%E5%85%A8%E8%83%BD%E6%8E%A7%E7%9A%84%E3%80%82.jpg "（2）输出能控性判据为. rankQ = rank[ CB CAB … CA n1B]= m. （3）状态能控性和输出能控性是两个不同的概念，其间没有必然联系。")
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3、系统的状态能观测性 （1）若线性定常系统Σ(A，B，C)能根据有限时间间隔 [t0，tf ]内测量到的输出y(t)，唯一地确定初始状态x(t0)，则称系统是状态完全能观测的。 （2）线性定常系统能观测性判据 ①
![3、系统的状态能观测性 （1）若线性定常系统Σ(A，B，C)能根据有限时间间隔 [t0，tf ]内测量到的输出y(t)，唯一地确定初始状态x(t0)，则称系统是状态完全能观测的。 （2）线性定常系统能观测性判据.](http://slidesplayer.com/slide/16653762/96/images/7/3%E3%80%81%E7%B3%BB%E7%BB%9F%E7%9A%84%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%83%BD%E8%A7%82%E6%B5%8B%E6%80%A7+%EF%BC%881%EF%BC%89%E8%8B%A5%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%AE%9A%E5%B8%B8%E7%B3%BB%E7%BB%9F%CE%A3%28A%EF%BC%8CB%EF%BC%8CC%29%E8%83%BD%E6%A0%B9%E6%8D%AE%E6%9C%89%E9%99%90%E6%97%B6%E9%97%B4%E9%97%B4%E9%9A%94+%5Bt0%EF%BC%8Ctf+%5D%E5%86%85%E6%B5%8B%E9%87%8F%E5%88%B0%E7%9A%84%E8%BE%93%E5%87%BAy%28t%29%EF%BC%8C%E5%94%AF%E4%B8%80%E5%9C%B0%E7%A1%AE%E5%AE%9A%E5%88%9D%E5%A7%8B%E7%8A%B6%E6%80%81x%28t0%29%EF%BC%8C%E5%88%99%E7%A7%B0%E7%B3%BB%E7%BB%9F%E6%98%AF%E7%8A%B6%E6%80%81%E5%AE%8C%E5%85%A8%E8%83%BD%E8%A7%82%E6%B5%8B%E7%9A%84%E3%80%82+%EF%BC%882%EF%BC%89%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%AE%9A%E5%B8%B8%E7%B3%BB%E7%BB%9F%E8%83%BD%E8%A7%82%E6%B5%8B%E6%80%A7%E5%88%A4%E6%8D%AE..jpg "①.")
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② 当A为对角形且特征值互异时，输出矩阵C中无全为零列；当A为约当阵时且相同特征值分布在一个约当块内时，C中与约当块第一列对应的列不全为零，且C中相异特征值对应的列不全为零。
③ SISO系统，由状态空间表达式导出的传递函数没有零极点对消。 ④ Σ(A，B)为能观测标准形。
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（3）线性定常离散系统能观测判据 （4）线性定常系统离散化后的能观测性： 连续系统不能观测，离散化后的系统一定不能观测；连续系统能观测，离散化后的系统不一定能观测，与采样周期T的选择有关。
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（5）能观测标准形 ① SISO Σ(A，C) ，其A和C有以下的标准格式 C = [0 … 0 1] ② 对能控系统Σ(A，C)化为能观测标准形的变换矩阵T是唯一的，且 T = [ T1 AT1 … An1T1 ]
![（5）能观测标准形 ① SISO Σ(A，C) ，其A和C有以下的标准格式. C = [0 … 0 1] ② 对能控系统Σ(A，C)化为能观测标准形的变换矩阵T是唯一的，且.](http://slidesplayer.com/slide/16653762/96/images/10/%EF%BC%885%EF%BC%89%E8%83%BD%E8%A7%82%E6%B5%8B%E6%A0%87%E5%87%86%E5%BD%A2+%E2%91%A0+SISO+%CE%A3%28A%EF%BC%8CC%29+%EF%BC%8C%E5%85%B6A%E5%92%8CC%E6%9C%89%E4%BB%A5%E4%B8%8B%E7%9A%84%E6%A0%87%E5%87%86%E6%A0%BC%E5%BC%8F.+C+%3D+%5B0+%E2%80%A6+0+1%5D+%E2%91%A1+%E5%AF%B9%E8%83%BD%E6%8E%A7%E7%B3%BB%E7%BB%9F%CE%A3%28A%EF%BC%8CC%29%E5%8C%96%E4%B8%BA%E8%83%BD%E8%A7%82%E6%B5%8B%E6%A0%87%E5%87%86%E5%BD%A2%E7%9A%84%E5%8F%98%E6%8D%A2%E7%9F%A9%E9%98%B5T%E6%98%AF%E5%94%AF%E4%B8%80%E7%9A%84%EF%BC%8C%E4%B8%94..jpg "T = [ T1 AT1 … An1T1 ] .")
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4、对偶原理 线性系统Σ1(A，B，C)与Σ2(AT，CT，BT)互为对偶系统。若系统Σ1能控（能观测），则Σ2能观测（能控）。 5、线性定常系统的结构分解 从能控性和能观测性出发，状态变量可分解为能控能观测xco，能控不能观测xcô，不能控能观测xĉo，不能控不能观测xĉô四类。以此对应，将状态空间分为四个子空间，系统也对应分解为四个子系统，这称为系统的结构分解。研究结构分解更能揭示系统结构特性和传递特性。
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6、最小实现 （1）已知传递函数阵G(s)，找一个系统Σ(A，B，C，D)满足关系 C(sI A)1B+D = G(s) 则称Σ(A，B，C，D)为G(s)的一个实现。 （2）若传递函数阵G(s)的各个元素均为s的有理分式，且分子分母多项式的系数为实常数时，则G(s)一定是可实现的，且其可能的实现有无穷多个。 （3）在传递函数阵G(s)的所有可能实现中，状态空间维数最小的实现称为最小实现，也叫不可约实现。
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（4）若传递函数阵G(s)是可实现的，则其最小实现有无穷多个，而且相互间彼此代数等价。
（5）传递函数阵G(s)的一个实现Σ(A，B，C，D)为最小实现的充要条件是不但能控而且能观测。
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例3-25 若系统的状态空间表达式为 分别确定当系统状态可控及系统可观测时，a，b，c，d应满足的条件。 解： 可见，当a − b − c − d ≠ 0时系统可控；当c ≠ 0时系统可观测。
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例3-25 设n阶系统的状态空间表达式 若CB = 0，CAB = 0，…，CAn−1B = 0，试证：系统不能同时满足可控性、可观测性的条件。 证明 系统可控性矩阵和可观测矩阵为
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可见，QoQc不满秩。根据矩阵理论，Qo，Qc中至少有一个矩阵不满秩，即系统不能同时可控可观测。证毕。
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例3-28 已知系统的传递函数为 （1）试确定a的取值，使系统成为不能控，或为不能观测； （2）在上述的a取值下，求使系统为状态能控的状态空间表达式； （3）在上述的a取值下，求使系统为状态能观测的状态空间表达式。 （4）求a = 1时，系统的一个最小实现。 解： （1）当a = +1，或+3，或+6时，传递函数有零极点对消，这时系统或是不完全能控，或不完全能观测。
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（2）取能控标准形的实现。 （2）取能观测标准形的实现。
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（4）方法有很多。 比如把（2）中的能控标准形系统进行能观测性结构分解，求出能控能观测子系统，即为一个最小实现； 把（3）中的能观测标准形系统进行能控性结构分解，求出能控能观测子系统，也可找出一个最小实现； 现在把传递函数中的零、极点消去，然后找出一个实现即为最小实现。
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结 束
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