线性代数电子课件 西安石油大学理学院 工程数学教研室制作.

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1 线性代数电子课件 西安石油大学理学院 工程数学教研室制作

2 第八讲 矩阵的运算 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 矩阵的转置 方阵的行列式 小结

3 一、矩阵的加法 １、定义 设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 ，规定为

4 3、某二人甲乙在近两天卖三种蔬菜的销售表（单位：筐）
甲某 萝卜 白菜 土豆 第1天 1 第2天 2 乙某 萝卜 白菜 土豆 第1天 1 第2天 2

5 甲乙二人两天合计销售量表

6 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算. 例如

7 2、 矩阵加法的运算规律

8 二、数与矩阵相乘 1、定义

9 甲乙两人计划明后两天销量增加一倍

10 2、数乘矩阵的运算规律 （设 为 矩阵， 为数） 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.

11 三、矩阵与矩阵相乘 １、定义 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ，其中 并把此乘积记作

12 甲乙两人前两天销量表 三种蔬菜的每筐价格及重量表 每筐价格（元） 每筐重量( kg) 萝卜 10 20 白菜 5 土豆 30

13 例１ 例2 设

14 解 故

15 注意　只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵
的行数时，两个矩阵才能相乘. 例如 不存在.

16 ２、矩阵乘法的运算规律 （其中 为数）; 若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即 并且

17 注意　矩阵不满足交换律，即： 例 设 则

18 但也有例外，比如设 则有

19 例3 计算下列乘积： 解

20 解 =( ）

21 例4 解

22 由此归纳出

23 用数学归纳法证明 当 时，显然成立. 假设 时成立，则 时，

24 所以对于任意的 都有

25 四、矩阵的其它运算 １、转置矩阵 定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 例

26 转置矩阵的运算性质

27 例5 已知 解法1

28 解法2

29 2、方阵的行列式 定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 的行列式，记作 或 运算性质

30 3、对称阵与伴随矩阵 定义 设 为 阶方阵，如果满足 ，即 那末 称为对称阵. 说明 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等.

31 例6 设列矩阵 满足 证明

32 例7 证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵 与反对称阵之和. 证明 所以C为对称矩阵. 所以B为反对称矩阵. 命题得证.

33 定义 行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵 称为矩阵 的伴随矩阵. 性质 则 证明

34 故 同理可得 4、共轭矩阵 定义 当 为复矩阵时，用 表示 的共轭 复数，记　　　　，　称为 的共轭矩阵.

35 运算性质 （设 为复矩阵， 为复数,且运算都是可行的）:

36 五、小结 加法 数与矩阵相乘 矩阵运算 矩阵与矩阵相乘 转置矩阵 方阵的行列式 对称阵与伴随矩阵 共轭矩阵

37 注意 　　（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能 进行加法运算. 　　（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘 不满足交换律. （3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.