第四章 恒定电流的电场和磁场 §4.1  恒定电流的电场 §4.2  恒定电场与静电场的比拟 §4.3  恒定磁场的基本方程 §4.4  恒定磁场的矢量磁位 §4.5  介质中的磁场 §4.6  恒定磁场的边界条件 §4.7  电感的计算 §4.8  恒定磁场的能量和力.

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1 第四章 恒定电流的电场和磁场 §4.1  恒定电流的电场 §4.2  恒定电场与静电场的比拟 §4.3  恒定磁场的基本方程 §4.4  恒定磁场的矢量磁位 §4.5  介质中的磁场 §4.6  恒定磁场的边界条件 §4.7  电感的计算 §4.8  恒定磁场的能量和力

2 恒定电场是电荷量保持恒定的定向运动电荷产生的场。
§4.1 恒定电流的电场 恒定电场是电荷量保持恒定的定向运动电荷产生的场。

3 恒定电场是电荷量保持恒定的定向运动电荷产生的场。
§4.1 恒定电流的电场 恒定电场是电荷量保持恒定的定向运动电荷产生的场。 A B s 自由电子定向漂移 直流电路中的金属导体 A B V 非等势体 导体静电平衡 E O I 内 等 势 体 + 时间通过截面 t s q 的电量为 电流强度 I q t 恒定电流的电流强度定义为

4 所以通过导体中任意截面S的电流强度与电流密度矢量的关系是
一、微分形式的欧姆定律和焦耳定律 O j 运动方向的 单位矢量 I 1、电流密度矢量  n 单位矢量 法线的 d s A/m2 I d P 是体传导电流密度 q 如果所取的面积元的法线方向 与电流方向不平行, 而成任意角θ,则通过该面积的电流是 d s 任意面元 d s I 垂直通过的面元 所以通过导体中任意截面S的电流强度与电流密度矢量的关系是

5 任取一段微流管 J E 2、欧姆定律的微分形式 σ称为导体的电导率
图 4-3 推导欧姆定律微分形式

6 通有电流I的导体, 若其两端的电压为U, 则单位时间内电场对电荷所作之功, 即功率是
3、 焦耳定律的微分形式 通有电流I的导体, 若其两端的电压为U, 则单位时间内电场对电荷所作之功, 即功率是 图4-3中, 微小圆柱体的体积元为ΔV=ΔSΔl, 它的热损耗功率是 导体中任一点的热功率密度 W/m３ 焦耳定律的微分形式 意义：单位时间内电流在导体任一点的单位体积中所产生的热量

7 二、恒定电场的基本方程 1、电流连续性方程, 恒定电场的散度

8 J 法线一致向外 n s 内的电荷 每秒减少量 Q i t 任意封闭曲面 s 二、恒定电场的基本方程 1、电流连续性方程, 恒定电场的散度
电荷守恒原理: 单位时间内由闭合面S 流出的电荷应等于 单位时间内S面内电荷的减少量 n 任意封闭曲面 s 法线一致向外 s 内的电荷 每秒减少量 d Q t i 图 4-4 电流的连续性

9 在恒定电场中, 导体内部电荷保持恒定, 即不随时间变化,故dQ/dt=0
恒定电流连续性方程的微分形式 如果导体的导电性能均匀, σ是常数 说明：导体内部任一闭合面S内包含的净电荷Q=0。 所以在均匀导体内部虽然有恒定电流, 但没有电荷, 恒定电荷只能分布在导体的表面上。导体内部的恒定电场是由表面上的电荷产生的。 在均匀导体内部

10 总结：在电源外的导体内, 恒定电场的基本方程为;
2、恒定电场的旋度 在导体内部电荷量保持恒定, 电场分布也为恒定 说明：此特性只在电源外的导体中满足。在电源内部, 不仅有电荷产生的电场, 还有其它局外电场, 因此不满足守恒定理。 总结：在电源外的导体内, 恒定电场的基本方程为; 微分形式 积分形式 媒质特性, 即欧姆定律的微分形式为

11 在载有恒定电流的均匀导体内部(即σ为常数), 可得
电位函数也满足拉普拉斯方程 在载有恒定电流的均匀导体内部(即σ为常数), 可得 三、恒定电场的边界条件 1. 两种导电媒质的边界 h 由 图 4-5 恒定电场不同媒质分界面

12 在交界面上取一扁矩形闭合路径 说明：分界面上电场强度的切向分量连续。 h 表明分界面上电流线和电力线发生曲折。

13 当恒定电流通过电导率不同的两导电媒质时,其电流密度和电场强度要发生突变。故分界面上必有电荷分布。如两种金属媒质(通常认为金属的介电常数为ε0)的分界面上, 根据D1n-D2n=ρs, 则得
 ρs是分界面上自由电荷面密度 (4-26) 可见, 只要σ1≠σ2, 分界面上必定有一层自由电荷密度。如果导电媒质不均匀, 即使在同一媒质中也会有体电荷的积聚。

14 2. 两种导电媒质的电导率σ1<<σ2
2. 两种导电媒质的电导率σ1<<σ2 当一种导电媒质为不良导体(σ1≠0, 但很小), 另一种导电媒质为良导体(σ2很大), 如同轴线的内外导体通常由电导率很高(107数量级)的铜或铝制成, 而填充在两导体间的材料不可能是理想的绝缘电介质, 总有很小的漏电导存在。例如, 聚乙烯的电导率为10-10数量级, 由式(4-26)得 说明：恒定电流由良导体穿过交界面进入不良导体时，电流线近似于良导体垂直

15 3. 第一种媒质为理想介质, 第二种媒质为导体 导体： 理想介质： 说明：E1不垂直导体表面, 那么导体表面不是等位面, 导体也不是等位体, 这是由于σ2有限, 导体中沿电流方向存在电场。 而在静电场中, 导体内电场强度为零, 介质中的场强总是垂直导体表面, 导体是等位体, 其表面是等位面。这一点, 恒定电场与静电场有根本的区别。然而σ2越大, E2t和E1t越小, θ1也越小, 直至σ2=∞时, E1就垂直导体表面, 导体表面为等位面。

16 §4.2 恒定电场与静电场的比拟 表 4-2 恒定电场与静电场比较

17 例如两导体电极间的电容为 (F) 两导体电极间的电导为 (S) 且

18 §4.3 恒定磁场的基本方程 一、真空中恒定磁场的旋度, 安培环路定律 1、安培环路定律
恒定电流的磁场中，磁感应强度沿一闭合路径 L 的线积分等于路径 L 包围的电流强度的代数和的 倍。

19 如果电流流过闭合路径所包围的面 体电流面密度 二、磁场的散度, 磁通连续性原理

20 §4.4 恒定磁场的矢量磁位 一、矢量磁位 1、矢量磁位定义 毕奥—萨伐定理 称作为矢量磁位(或称磁矢位)

21 恒定电流分布在有限空间的条件下, 的散度是零
如果电流分布在表面S上, 则 如果电流分布在细导线回路中, 则得 2、矢量磁位性质 （1） 恒定电流分布在有限空间的条件下, 的散度是零

22 （2） 磁通量Ψ的单位是Wb, A的单位是Wb/m 3、磁偶极子 磁矩

23 §4.5 介质中的磁场 一、介质与磁场的相互影响 1.介质的磁化 介质中的分子 电流的磁矩在 外磁场的作用 下要取向排列 称为介质的磁化

24 §4.5 介质中的磁场 一、介质与磁场的相互影响 1.介质的磁化 介质中的分子 电流的磁矩在 外磁场的作用 下要取向排列 称为介质的磁化
§4.5 介质中的磁场 一、介质与磁场的相互影响 1.介质的磁化 介质中的分子 电流的磁矩在 外磁场的作用 下要取向排列 称为介质的磁化 顺磁介质的磁化现象

25 e 结论： 介质中的磁场=传导电流产生的外磁场+所有分子电流产生的磁场 2.磁化强度 磁化强度的定义：单位体积内，所有磁矩的矢量和。
是一个分子电流的磁矩

26 dv ′内分子电流在任一点处产生的磁矢位是 dv′ P(x,y,z) V′
计算磁化物质的磁场 因此, 体积V ′内所有磁偶极子在其外部任一P点产生的磁矢位是 (4-52)

27 利用矢量恒等式： 和 式(4-52)可变为：

28 磁介质被磁化后，磁介质中出现束缚电流。 束缚电流体密度： 束缚电流面密度：

29 磁介质被磁化后，磁介质中出现束缚电流。 束缚电流体密度： 束缚电流面密度：

30 二、介质中的安培环路定律, 磁场强度 真空中： 磁介质中：

31 二、介质中的安培环路定律, 磁场强度 真空中： 磁介质中： 结论： 磁介质中的磁场应由传导电流和束缚电流共同产生

32 已知： 或 (A/m) 记 称 为磁场强度 结论：磁介质中安培环路定律的微分形式

33 由斯托克斯公式 结论：介质中安培环路定律的积分形式 物理意义：磁场强度 沿任意闭合路径的线积分等于 闭合路径所包围的传导电流的代数和, 与l的环绕方向 成右手螺旋关系的电流取正值, 反之取负值。

34 三、 和 的关系, 磁导率 磁介质可分为：抗磁介质、顺磁介质、铁磁介质 实验证明： :介质的磁化率 磁介质中的磁场强度： 令：
三、 和 的关系, 磁导率 磁介质可分为：抗磁介质、顺磁介质、铁磁介质 实验证明： :介质的磁化率 磁介质中的磁场强度： 令： 磁介质的物态方程 可得： 其中 称为相对磁导率。 材料的磁导率表示为：

35 抗磁质：其磁化率 为负，其相对磁导率略小于1，即
且 如金、银和铜等属于抗磁质 顺磁质：磁化率 为正，相对磁导率略大于1，即 且 如镁、锂和钨等属于顺磁质 铁磁质：其磁化率非常大，其相对磁导率远大于1，即 如铁、镍和钴等属于铁磁质

36 表4-3 几种材料在常温下的相对磁导率 材料性质 材料名称 抗磁物质 顺磁物质 高导磁物质 铅 铜 水 真空 1-1.78×10-5
1-0.94×10-5 1-0.88×10-5 1 顺磁物质 空气 铝 铂 液态氧 1+3.60×10-7 1+2.10×10-5 1+2.90×10-4 1+3.50×10-3 高导磁物质 纯铁（99.95%） 78坡莫合金 铁（99.91%） 冷轧钢（98.5%） +5000 +2000

37 磁介质中的安培环路定理 电介质中的高斯定理

38 四、标量磁位 在没有传导电流的区域中, 的旋度等于零, 在这种无传导电流的区域中： φm称为磁场的标量位, 简称标量磁位或磁标位 其中：
在没有传导电流的区域中, 的旋度等于零, 在这种无传导电流的区域中： φm称为磁场的标量位, 简称标量磁位或磁标位 负号是为了与静电场相对应而人为地引入的 其中： 在均匀介质中, 根据 , ,及 结论：

39 例 4.11 一半径为a(m)的圆形截面的无限长直铜线, 通过电流为I(A), 在铜线外套一个与之同轴的磁性材料制成的圆筒, 圆筒内、 外半径分别为c(m)和b(m), 相对磁导率 =2000。
试求: (1)圆筒内的磁场强度 和磁通密度; (2)通过圆筒中每单位长度 的总磁通量; 磁性介质 铜线 空气 I (3)圆筒中的磁化强度 ; b a (4)圆筒中的束缚电流密度; (5)圆筒壁外的磁场。 c 外套磁性材料的铜线

40 ［解］ (1) 应用安培环路定律: ρ a l c 在磁性圆筒横截面上取一 半径为ρ的圆作为闭合路径l, 则 b

41 (2) 1 I b a c (3)

42 (4) 材料中束缚体电流密度:

43 (4) 材料中束缚体电流密度: 内外表面的束缚面电流密度是:

44 (5) 当ρ≤a时, a b c ρ a b c ρ 当a≤ρ≤c时,

45 当b ≤ρ 时, a b c ρ 解法1： 解法2: 磁性圆筒产生的磁场等效为 在真空中束缚电流产生的磁场。

46 磁性圆筒内的磁场就需要考虑筒内壁的束缚电流
说明： ρ＞b处的磁场和没有圆筒时的场相同, 这是由于磁性圆筒内、外表面束缚电流相互抵消的缘故 磁性圆筒内的磁场就需要考虑筒内壁的束缚电流

47 §4.6 恒定磁场的边界条件 一、 和 的边界条件 决定分界面两侧磁场变化 关系的方程称为边界条件 或
§4.6 恒定磁场的边界条件 一、 和 的边界条件 h 决定分界面两侧磁场变化 关系的方程称为边界条件 或 结论：在分界面上磁感应强度 的法向分量总是连续的 结论：分界面上磁场强度H的法向分量不连续。

48 h 若 则 结论： 在顺磁或抗磁介质分界面上，磁场方向改变很小 在铁磁介质与非铁磁介质界面上，非铁磁介质一侧的 都几乎与分界面垂直。 若：

49 二、 和φm的边界条件 在边界上：由 结论： 在分界面上切向分量连续。 在没有传导电流的分界面上  由

50 例 设无限长同轴线内导体半径是a(m), 外导体内半径是b(m), 外导体厚度忽略不计, 内外导体间填充磁导率为μ的均匀磁介质(μ＞μ0), 内外导体分别通有大小相等、方向相反的电流I, 见图4-21, 试用矢量磁位计算各区域的磁场。 ［解］ 1.同轴线无限长, 故磁场分布沿长度方向没有变化。 2.又为圆截面、材料均匀, 故磁场是轴对称场。 3.磁场分布仅是半径ρ的函数。采用圆柱坐标, 取内导体电流为 方向, 外导体电流为 方 向, 则矢量磁位 只有 方向的分量, 和 只有φ方向的分量, 并是以轴心为圆心的同圆。

51 a b ρ ρ o a b o a b 内导体中(ρ≤a), 满足泊松方程, 内外导体间 满足拉普拉斯方程。
图 4-21 同轴线及其磁场分布 的分布 o a b 的分布

52 根据式 得一维磁矢位方程 （4-75） （4-76） 方程（4-75）的解是

53 方程（4-76）的解是 根据边界条件确定常数： 因为 时，场量必须为有限值，故C1=0

54 因为 有限，导体表面无传导电流， 在 处得 最终得到内导体内部（ 处）： 内、外导体间 根据式（4-74），在 处

55 选择 处为参考, 得 故

56 §4.7 电 感 的 计 算 一、自感 1.自感现象 当线圈中电流变化时，它所激发的磁场通过线圈自身的磁通量也在变化，使线圈自身产生感应电动势的现象叫自感现象。该电动势称为自感电动势。

57 2.自感的定义 在线性媒质中，线圈的自感定义 为自感磁链与其激磁电流I之比， （亨利） 注意：L取决于线圈几何形状、 亨 利
尺寸以及媒质磁导率。 亨 利 L就是自感或自感系数 也称为自感磁链 该密绕线圈的全磁通为 N匝密绕线圈 Ψ称磁通匝链数, 或简称为磁链。

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60 说明：当载流导体截面较大时，通常又将自感磁链分为内磁链i和外磁链o两部分之和。如图所示，闭合管a的磁通与载流导体电流I完全交链，构成外磁链o的一部分；而闭合管b则仅与载流导体的部分电流I交链，构成内磁通i。对于这种部分交链的情况，其匝数以载流I为基数，以I应计为分数，其匝比为I/I。于是，内磁链为 b a 内、外磁链区分的示意图 自感L为内自感Li与外自感Lo之和

61 如图，一圆柱形导体，半径为a,均匀通过电流I 则：穿过宽度为 ，沿轴向长度为1的矩形面积元的磁通是： I
(1)内自感 a 如图，一圆柱形导体，半径为a,均匀通过电流I 则：穿过宽度为 ，沿轴向长度为1的矩形面积元的磁通是： I 1 其中ρ2/a2相当 所交链的匝数N, 故N=ρ2/a2。 显然在ρ=a处, 因为导体表面附近的磁感应线交链着全部电流I, 则N=1匝。 图 4-23 圆柱导体内的磁链

62 计算单匝线圈导线回路的内自感时, 通常回路尺寸比导线截面积尺寸大得多, 则导线内部的磁场可近似地认为与无限长直导线内部的磁场相同。设导线的半径为a, 磁导率为μ0, 则由例4.12应用安培环路定律算得导线内距轴线ρ处的磁通密度是 导线内部磁力线是以轴线为中心的同心圆, 在导线长度为l范围内,穿过ρ处厚度为dρ的矩形截面的磁通为(见图4-25)dψi=Bds=Bldρ, 由公式(4-78)得

63 故总磁链为 因而一段长度为l的圆柱形导体的内自感是 单位长度的内自感为 它与导体半径无关。

64 例 4.13 如图4-26所示的矩形截面环形螺线管共有N匝线圈, 绕在相对磁导率为μr的磁介质上, 线圈中通有电流I(A), 磁介质的截面尺寸如图4-26所示, 试求外自感。
［解］ 所以 图 4-26 计算环形螺线管的自感

65 通过螺环一匝线圈的磁通量是 则穿过整个螺线管的磁链是 该环形螺线管的外自感是

66 二、互感 由一个回路中电流变化而在另一个回路中产生感应电动势的现象，叫做互感现象 这种感应电动势叫做互感电动势

67 二、互感 由一个回路中电流变化而在另一个回路中产生感应电动势的现象，叫做互感现象 这种感应电动势叫做互感电动势

68 回路 1 对回路 2 的互感 (或称互感系数) 第 2 回路对第 1 回路的 互感应为

69 回路 1 对回路 2 的互感 (或称互感系数) 第 2 回路对第 1 回路的 互感应为 图 4-28 两回路间的互感

70 根据定义, 计算互感系数M21可首先计算回路电流I1与第2回路相交链的磁链
则 同样可求得回路 2 对回路 1 的互感系数

71 ［解］ 根据式(4-83), 假设细长直导线中通有电流I(A) 。先计算穿过三角形导线框中的磁通, 已由安培环路定律求得
例4.15 设一根无限长细直导线与一个直角三角形的导线框在同一平面内, 一边相互平行, 如图4-29 所示。 试计算直导线与三角形导线间的互感。 ［解］ 根据式(4-83), 假设细长直导线中通有电流I(A) 。先计算穿过三角形导线框中的磁通, 已由安培环路定律求得 则穿过三角形框的磁通是 式中 图 4-29 互感的计算

72 故细直导线与三角形导线间的互感是

73 §4.8 恒定磁场的能量和力 一、恒定磁场的能量 各外电源所作的功应等于恒定磁场的能量 能量守恒定律
§4.8 恒定磁场的能量和力 一、恒定磁场的能量 t=0时刻，两回路中均没有电流，随时间的增加，外电源做功 和 逐渐增加到最后的恒定电流值 和 ，同时，空间中的磁场也由零逐渐增加到最后的恒定值。 图 4-30 i2=0, 使i1→I1时, 外电源作的功 各外电源所作的功应等于恒定磁场的能量 能量守恒定律

74 分析：假设恒定磁场储能过程分两步完成： 首先保持 ，使 从零增加到 让 保持不变，使 从零增加到 1、首先保持 ，使 从零增加到 由
首先保持 ，使 从零增加到 让 保持不变，使 从零增加到 1、首先保持 ，使 从零增加到 使 从零增加到 ，外电源作的功： 由 ，外加电压不作功

75 2、让 保持不变，使 从零增加到 图 4-31 I1恒定, 使i2→I2时外电源作的功 让 保持不变，使 从零增加到 外电源所作的功为:

76 结论：磁场储能为 (4-91)

77 如果空间有N个电流回路, 则系统的磁场能量可由式(4-91)推广得到
二、能量密度

78 在各向同性、 线性媒质中为

79 三、磁场力, 霍尔效应 1、霍尔效应 运动的电荷（或电流） 在磁场中会受到作用力
1879年 霍尔发现在一个通有电流的导体板上，若垂直于板面施加一磁场，则板面两侧会出现微弱电势差(霍尔效应)

80 三、磁场力, 霍尔效应 1、霍尔效应 运动的电荷（或电流） 在磁场中会受到作用力
1879年 霍尔发现在一个通有电流的导体板上，若垂直于板面施加一磁场，则板面两侧会出现微弱电势差(霍尔效应)

81 实验结果: d 受力分析: b 洛伦兹力: – I l a + 横向电场力: 当达到动态平衡时：
(方向向下) a + 横向电场力: (方向向上) 当达到动态平衡时： 根据霍尔效应制成的器件可以测量磁场强度，测量两个物体之间的距离等

82 由n个载流回路组成的系统，假定坐标x发生虚位移dx。
2、虚位移法计算磁场力： 虚位移法 由n个载流回路组成的系统，假定坐标x发生虚位移dx。 原理：外力做功=磁场力做功+磁场能量的变化 电源提供的能量 磁场力所作的功 磁场能量的增量 磁通量保持不变, 即电源不供给产生磁场系统的能量 当磁链不变时，各个回路中的感应电势为零，所以 磁场不作功。磁场力作的功必来自磁场能量的减少。

83 上式表明磁场力所做的功等于磁场能量的减少。
作用在载流导体上的磁场力在x方向的分量表示式是 上式表明磁场力所做的功等于磁场能量的减少。 (2)电流保持不变, 即电源供给系统能量 当各个回路的电流不变时，各回路的磁链要发生变化，在各回路中会产生感应电势，电源要作功。 这时, 磁场力所做的功等于磁场能量的增加, 而该二者都是由电源提供的。

84 例 4.17 两根半径为a, 距离为d的无限长平行细导线, a<<d, 通有大小相等、方向相反的电流I, 如图4-34所示。试求二导线的相互作用力。
［解］ 穿过单位长度双导线构成平面的磁通量: 两导线间磁场作用力是 图 4-34 双导线的作用力

85 例 4.19 设一无限长直细导线与一矩形回路共面, 其尺寸及电流方向如图4-36所示, 其中电流单位为A, D、b、a单位均为m。 试计算直导线和矩形回路之间的力。
2 1 3 所以磁场对矩形回路的作用力是 此力为x向, 即使矩形回路离开 长直导线的方向上。 4

86 本节小结 自感： 互感： 磁场储能： 能量密度： 霍尔效应 虚位移法