當一樑或軸承載負荷時，經常需要限制其撓曲量，將討論如何決定樑和軸上某些特定點的撓度與斜率之各種方法。解析的方法包括積分法、不連續函數的使用及重疊法。一種稱為力矩面積法的半圖解法也將介紹。在本章最後，我們將應用這些方法來求解靜不定樑或軸的支點反作用力。

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1 　　當一樑或軸承載負荷時，經常需要限制其撓曲量，將討論如何決定樑和軸上某些特定點的撓度與斜率之各種方法。解析的方法包括積分法、不連續函數的使用及重疊法。一種稱為力矩面積法的半圖解法也將介紹。在本章最後，我們將應用這些方法來求解靜不定樑或軸的支點反作用力。

2 第12章 樑與軸的撓曲 468 12.1　彈性曲線 　　在計算樑 ( 或軸 ) 上某一點的斜率或位移之前，通常先畫出負載作用下樑的撓曲形狀會有所幫助，為求“可看出”任何計算的結果，並可局部檢驗這些結果。通過樑各個截面形心的縱向軸之撓度圖稱為“彈性曲線 (elastic curve)”。

3 如果一樑的彈性曲線似乎不易建立，建議首先繪出元件的彎矩圖。使用6.1章節中定義之樑符號，正的彎矩會使樑上凹， 如圖12-2(a)。
468 第12章 樑與軸的撓曲 如果一樑的彈性曲線似乎不易建立，建議首先繪出元件的彎矩圖。使用6.1章節中定義之樑符號，正的彎矩會使樑上凹， 如圖12-2(a)。 例如，考慮圖12-3(a) 的樑及其相關之彎矩圖，圖12-3(b)。由於為滾輪及插銷支撐，故 B 及 D 的位移必定為零。在負彎矩的區間內；圖12-3(b) 的 AC 段，彈性曲線必定向下凹，而正彎矩的區間內；即 CD 段之彈性曲線必定向上凹。因此，點 C 必為一反曲點，即曲線從上凹變成下凹的地方，因為此點的彎矩為零之故。

4 第12章 樑與軸的撓曲 468

5 469 彎矩 - 曲率關係 x 軸向右為正，即沿著樑的縱軸方向。假設軸上一積分元素未變形前的寬度為 dx，而  軸從 x 軸向上延伸為正，此量即為量度積分元素所在之截面形心的位移。稍後我們將利用此兩個座標來定義彈性曲線的方程式，且 x 以函數表示。最後，一個“局部性”座標被用來定義樑元素的位置，其方向由中性軸向上為正。 為了求得彎矩與  的關係，我們將此分析限制於最普遍之情況，即原為一直線的樑受到垂直 x 軸之負載作用而產生彈性變形，並位於樑截面對稱面 x -  平面上。 第12章 樑與軸的撓曲

6 470 當內彎矩 M 對樑之元素產生了變形後，元素的兩側截面的夾角變為 d。彈性曲線的一小段弧 dx 與每一個截面之中性軸相交。此弧的曲率半徑令為 ，即由曲率中心 O 到 dx 的距離。除了 dx 以外元素上的任何弧均為正應變，例如位於距離中性軸 y 處的弧 ds 之應變為  =(ds  ds) / ds ，然而， ds = dx =  d 以及 ds = (  y) d ，所以  = [(  y) d   d ]/  d 或者表示為 (12-1) 第12章 樑與軸的撓曲

7 第12章 樑與軸的撓曲 469

8 第12章 樑與軸的撓曲 470 如果材料為均質且在彈性限制範圍，則利用虎克定律得知  =  / E。同時，由於應用彈性公式  =  My / I，合併這些方程式並代入式 (12-1)，得 (12-2) 式中  = 彈性曲線上一特定點的曲率半徑 ( 1/ 為曲率 ) M = 樑中被求  的那一點之彎矩 E = 材料的彈性模數 I = 樑截面對中性軸的慣性矩 此式中的乘積 EI 稱為撓性剛度 (flexural rigidity)，且其值一定是正值。因此  的符號則依彎曲的方向而定。當 M 為正，  在樑上方，即在正的  方向；當 M 為負，  在樑下方，或者說是在負  方向。

9 使用撓曲公式  =  My / I，我們也可用樑中應力來表曲率，即
第12章 樑與軸的撓曲 470 　　使用撓曲公式  =  My / I，我們也可用樑中應力來表曲率，即 (12-3) 式 (12-2) 及式 (12-3) 兩者均適用於較小或較大的曲率半徑。

10 471 12.2　積分法計算斜率與位移 代入式 (12-2) 中，得 (12-4) 第12章 樑與軸的撓曲

11 將方程式兩邊對 x 微分並代入 V = dM / dx 式 (6-2)，可得
第12章 樑與軸的撓曲 471 大多數工程之設計規格為了公差或美學觀點而限制撓度，其結果大部分樑及軸的彈性撓曲形成一低淺之曲線。因此，從 d / dx 求得的彈性曲線斜率將非常小，而且其平方值與1比較則可忽略。是故前面所定義的曲率可以 1/  = d2 /dx2 來近似。由此化簡，式 (12-4) 可改寫成 (12-5) 將方程式兩邊對 x 微分並代入 V = dM / dx 式 (6-2)，可得 (12-6) 再微分一次，並令 w = dV / dx 式 (6-1)，得 (12-7)

12 將彎矩 M 表示為的函數，積分兩次並計算兩個常數會比較容易。
472 上述之結果可被重整為下列的方程組： (12-8) (12-9) (12-10) 將彎矩 M 表示為的函數，積分兩次並計算兩個常數會比較容易。 為求方便表示各彎矩函數樑，在各獨立區段可以自選其 x 座標。 第12章 樑與軸的撓曲

13 472 第12章 樑與軸的撓曲

14 需注意 M , V 和 w 的符號必須是在推導這些公式時所使用之定義。
第12章 樑與軸的撓曲 472 符號與座標　 需注意 M , V 和 w 的符號必須是在推導這些公式時所使用之定義。

15 常用於解樑 ( 或軸 ) 撓度的幾個邊界條件列於表12-1中。
第12章 樑與軸的撓曲 472 邊界與連續的條件　 　 常用於解樑 ( 或軸 ) 撓度的幾個邊界條件列於表12-1中。 如果無法以單一的 x 軸來表示樑斜率或彈性曲線，則需利用連續條件 (continuity condition) 來計算積分常數。

16 第12章 樑與軸的撓曲 473

17 彈性曲線 474 下列步驟提供一套利用積分法計算一樑 ( 或軸 ) 之斜率和撓度的方法。
第12章 樑與軸的撓曲 474 下列步驟提供一套利用積分法計算一樑 ( 或軸 ) 之斜率和撓度的方法。 彈性曲線  畫出誇張比例的樑彈性曲線，謹記固定端斜率及位移均為零，而插銷及滾輪支持點的位移等於零。  建立 x 與  座標軸， x 軸必須平行未彎曲前的樑且原點可落於樑軸上任何一點，而其正的方向可向右或向左。  如果有數個不連續之負載作用，則在不連續的各個區間建立不同之座標軸，並選擇座標原點的位置以簡化底下的幾何計算。  在所有的情況， 軸應該向上為正。

18 第12章 樑與軸的撓曲 474 負載或彎矩函數  對於每一具有 x 座標的區間，將負載 w 或彎矩 M 以 x 表示成函數。當應用力矩平衡方程式求 M = f(x) 時，通常都假設 M 作用方向為正。 斜率和彈性曲線  如果為 EI 常數，則可使用負載方程式 EId 4 / dx4 = w(x) 積分四次求得  =  (x)，或者用力矩方程式 EId 2 / dx2 = M(x) 只要積分兩次即可。每一次積分都包含一個積分常數。  而此常數以支持點的邊界條件 ( 表12-1) 與用於兩個函數接合點之斜率及位移的連續條件來估算。一旦常數計算得出並代回斜率及撓度方程式，則在彈性曲線上特定點的斜率與位移即可求出。

19  得到的數值解可從比較彈性曲線之草圖做圖形上的檢驗。注意到如果軸向右為正則斜率是逆時鐘為正，反之若 x 軸向左為正則斜率順時鐘為正。而此些情況下，正的位移方向是向上。
474 第12章 樑與軸的撓曲

20 第12章 樑與軸的撓曲 474 12-1

21 第12章 樑與軸的撓曲 474

22 第12章 樑與軸的撓曲 475

23 第12章 樑與軸的撓曲 475

24 第12章 樑與軸的撓曲 476

25 第12章 樑與軸的撓曲 476 12-2

26 第12章 樑與軸的撓曲 477

27 第12章 樑與軸的撓曲 477

28 第12章 樑與軸的撓曲 477

29 第12章 樑與軸的撓曲 478 12-3

30 第12章 樑與軸的撓曲 478

31 第12章 樑與軸的撓曲 479

32 第12章 樑與軸的撓曲 479

33 第12章 樑與軸的撓曲 479

34 第12章 樑與軸的撓曲 480

35 第12章 樑與軸的撓曲 480 12-3

36 第12章 樑與軸的撓曲 480

37 第12章 樑與軸的撓曲 481

38 第12章 樑與軸的撓曲 481