3.3 n元向量的线性关系.

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1 3.3 n元向量的线性关系

2 一.线性组合和等价向量组 定义3.1 n 个数组成的有序数 称为n 元向量，其中 称为这n 元向量的第i个分量，常用 或 表示n 元向量。

3 定义3.2 两个n 元向量： 当他们各个分量对应相等时，即 则称 与 相等，记做 定义3.2 设n 元向量 与 ，k为数，则n 元向量 称为 与 的和， k与 的数量乘积。 通常将向量的加法、数乘运算称为向量的线性运算。

4 则称 是向量组 的线性组合，或称 可以由向量组 线性表示。
定义3.3 设一组向量 ，若存在一组数 ，使 则称 是向量组 的线性组合，或称 可以由向量组 线性表示。 (1).零向量 可以经任意向量组线性表示。 (2).任一n 元向量 可以经由n 元向量组 线性表示式： 向量 是矩阵A各列向量 的线性组合的两个充要条件： 线性方程组 相容。 矩阵 的秩与矩阵 相同。且线性表示式中系数可以由线性方程组的解给出。

5 例1 已知向量 试问 可否经向 量组 线性表示。 解 记 记

6 可以看出， 根据充要条件(2) ，可以得出 可以经由 线性表示。 进一步求解线性表示式： 的解：

7 定义 若向量组 中每一个向量 都可以经由向量组 线 性表示，则称向量组 可以经 线性表示。两个可以互相线性表示的向量组等价。 等价的向量组有以下性质： (1). 自反性：每个向量组都与它自身等价； (2). 对称性：若向量组Ⅰ与向量组 Ⅱ等价，则 向量组Ⅱ也与向量组Ⅰ等价； (3). 传递性：若向量组Ⅰ与向量组 Ⅱ等价，且向 量组Ⅱ与向量组Ⅲ等价,则向量组Ⅰ与向量组Ⅲ 等价。

8 二.线性相关与线性无关 定义3.5 对于向量组 ，若存在全不为零的数 ，使 成立，称向量组 线性相关；当且仅当
定义 对于向量组 ，若存在全不为零的数 ，使 成立，称向量组 线性相关；当且仅当 时，上面等式才成立，则称向量组线性无关或者线性独立。 由于当 时，等式必成立，因此，只要当 ，必有 ，就可以得向量组线性无关。

9 例2 设 分别讨论向量组 及向量组 是线性 相关还是线性无关。 解 设 即 解得 故 线性无关。 设 即

10 解得 令 得 有 所以， 线性相关。 几个重要结论： (1). 任意一个包含零向量的向量组必线性相关。 (2). 如果一个向量组中有一部分向量线性相关，则 整个向量组线性相关。 (3). 如果一个向量组线性无关，则它的任意一部分 向量组必线性无关。 (4). 当向量组仅含有一个向量时，若该向量是零向量， 称向量组线性相关；若该向量是非零向量，称它 线性无关。

11 定理3.3 向量组 线性相关的充要条件是矩阵 的秩小于向量的个数 向量组 线性无关的充要条件是
定理3.3 向量组 线性相关的充要条件是矩阵 的秩小于向量的个数 向量组 线性无关的充要条件是

12 特别，当 时，A为n阶方阵，所以n元向量组线性相关的充要条件是 线性无关的充要条件是
特别，当 时，A为n阶方阵，所以n元向量组线性相关的充要条件是 线性无关的充要条件是

13 例3 设 分别讨论向量组 及向量 组 的线性相关性。 解 记： 变换 向量个数，故 线性无关。 ，故 线性相关。

14 例4 证明s个(s>n)n元向量必线性相关。
证明 设 构成矩阵 A是 矩阵，则有 即A的秩小于向量个数，得 线性相关 特别，n+1个n元向量必线性相关。 证毕。

15 三.几个重要定理 定理3.4 向量组 线性相关的充要条件是其中至少有一个向量时其余向量的线性组合。

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17 定理3.5 设向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则 必是 的线性组合，且线性表达式唯一。
定理3.5 设向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则 必是 的线性组合，且线性表达式唯一。

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19 定理3.6 设向量组 可经向量组 线性表示，若 ，则向量组 线性相关。
定理3.6 设向量组 可经向量组 线性表示，若 ，则向量组 线性相关。

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21 推论1 设向量组 可经向量组 线性表示，若向量组 线性无关，则 。
推论1 设向量组 可经向量组 线性表示，若向量组 线性无关，则 。 （定理3.6的逆否命题） 推论2 任意两个等价的线性无关向量组，他们所含向量个数相等。 证明（可由等价的定义以及推论1证明。）

22 四.极大线性无关组和向量组的秩 定义3.6 设向量组 中的一部分向量组 ，若它满足条件： (1). 线性无关
定义 设向量组 中的一部分向量组 ，若它满足条件： (1). 线性无关 (2). 再加入原向量组中的任意其他一个向量（如果 有的话）所形成的新的部分向量组都线性相关。 则称向量组 是向量组 的极 大线性无关组。 一个线性无关向量组的极大线性无关组就是它本身。 向量组中的任意向量都可以经该向量组的极大线性无关组表示，易得向量组与它的极大线性无关组等价。

23 例4 求向量组 的极大线性无关组。 解 记： 的秩等于向量个数， 线性无关。 的秩为2(小于向量个数) ,线性无关。 故向量组 是向量组 的一个极大线性 无关组（不唯一）。

24 定理3.7 一个向量组的任意两个极大线性无关组必等价，且所含的向量个数相等。
证明。 由于向量组与其极大线性无关组等价，且等价关系具有传递性，所以一个向量组的任意两个极大线性无关等价。 根据定理3.6的推论2知，任两个等价线性无关向量组所含向量个数相等，所以向量组的任意两个极大线性无关组所含向量个数相等。 证毕。 定义 向量组的极大线性无关组所含的向量个数称为该向量组的秩。

25 定理3.8 矩阵的秩与矩阵各列（行）向量构成的向量组的秩相等。
定理3.8 矩阵的秩与矩阵各列（行）向量构成的向量组的秩相等。

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27 例5 设A,B分别为 矩阵，求证： 证明：设 将 按列分块 设 由 得： 故

28 得向量组 可经向量组 线性表示。 极大线性无关组可经向量组 线性表示。 可经它的极大线性无关组线性表示。 的极大线性无关组可以经 的极大线性无关组表示。 根据定理3.6推论1，得 的极大线性无关组所含的向量个数小于、等于向量组 的极大线性无关组所含的向量个数。 再根据定理3.8得， 再根据定理3.8得， 证毕。 证毕。