高年級整數教材教法分析 ~公因數、公倍數~ 林玉鴦

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1 高年級整數教材教法分析 ~公因數、公倍數~ 林玉鴦

2 簡報大綱 壹、小學各年級因數與倍數、(最大) 公因數與 (最小)公倍數的教材脈絡 貳、因數與公因數的教學策略 參、倍數與公倍數的教學策略
肆、質數、合數與質因數分解的教學策略 伍、最大公因數與最小公倍數的教學策略 陸、結語

3 壹、小學各年級因數與倍數、(最大)公因數 與(最小)公倍數的教材脈絡
壹、小學各年級因數與倍數、(最大)公因數 與(最小)公倍數的教材脈絡 2-a-03能在具體情境中，認識乘法交換律。 3-n-03熟練三位數乘以一位數的直式計算，並解決二位數乘以二位數的乘法問題 3-n-05能熟練三位數除以一位數的直式計算。 4-n-02能熟練整數加、減、乘、除的直式計算。 3-a-02能在具體情境中，認識乘除互逆。 4-a-03能理解乘除互逆，並運用於驗算與解題 學生 的 先備知識 五年級的教材 5-n-03能理解因數、倍數、公因數與公倍數。 6-n-01能認識質數、合數，並作質因數的分解 （質數＜20，質因數＜10，被分解數＜100）。 6-n-02能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義， 理解最大公因數、最小公倍數的計算方式， 並能將分數約成最簡分數。。 六年級的教材

4 貳、因數與公因數的教學策略 一、因數 ★因數的意義： ★教因數、倍數前，要先教孩子了解整除的意義。
※被除數、除數和商都是整數，餘數是0，叫做整除。 「例」 甲÷乙＝丙……0 10 ÷5＝2……0 我們說甲(10)能被乙(5)整除，甲(10)也能被丙(2)整除。 也可以說乙(5)能整除甲(10) ，丙(2)也能整除甲(10) 。 「例」24能被哪些數整除？ ★因數的意義： 甲、乙兩數都是整數，而且甲數能被乙數整除時， 則乙數和商都是甲數的因數。 「例」 甲÷乙＝丙……0，那麼乙和丙都是甲的因數。 10 ÷5＝2……0 ，那麼5和2都是10的因數。

5 貳、因數與公因數的教學策略 一、因數 ★因數的找法： （1）用除法找： （2）用乘法找：
要找一個數的因數，只要從1開始，按照順序去除這個數，可以整除的 就可以得到一組因數（除數與商），不能整除的，就不是該數的因數。 「例1」「15」的因數有哪些？ 「例2」「51」的因數有哪些？ 「例3」40÷5＝8…… ÷6＝6……4 上面這兩個式子，哪些數是40的因數？ （2）用乘法找： 甲數＝乙數×丙數，則乙數和丙數都是甲數的因數。 「例」24＝4× ＝3×8 上面這兩個式子，哪些數是24的因數？ ★任何數除以1，都是等於任何數本身，所以一個數最小的因數都是1， 最大的因數是自己。 ★因數是有限個。不一定數字越大，因數就越多個。 「例」100的因數最小的是1，最大的是100 （3）用心算一組一組寫

6 貳、因數與公因數的教學策略 一、因數 ★因數的應用題類型： 「例1」王阿姨有16顆糖果，想平分給小朋友，而且要把糖果全部 分完，有幾種分法？
「例2」五年一班有27人，上自然課要分組，每組人數要一樣多， 可以平分成幾組？把可能的答案全部寫出來。 「例3」有48個蘋果要分裝在袋子裡，全部要裝完，沒有剩下， 一共有幾種裝法？把可能的答案全部寫出來。 ★請孩子仔細讀題，注意題目要問什麼，答案務必要寫清楚。 ★允許也鼓勵孩子用不同的方法解題。 ★這些題目有哪些不同的解題方法。 ★可以讓孩子找2、3、 5、7 、11、 13、 17、19、 23、29、 31、 37、41、 43、47、53、 59、 51、57、 91……等所有的因數， 讓孩子說說看，他發現了什麼？

7 貳、因數與公因數的教學策略 二、公因數 2.公因數的找法： 要如何列式說明？
1.公因數的意義： (1)一個整數是幾個整數的共同因數，這個數就是這幾個數的公因數。 (2)甲數是乙數的因數，甲數也是丙數的因數， 則甲數就是乙數和丙數的 公因數。 3是6的因數，3也是12的因數，所以3是6和12的公因數。 「例1」5是不是10和12的公因數？ 「例2」8是不是24和40的公因數？ 2.公因數的找法： (1)要找幾個數的公因數，就要分別找出這些數的因數，再一一找出它們 共同的因數有哪些？ 「例」16和24的公因數有哪些？16和24的最小公因數是多少？ 「解」16的因數有：1、2、4、8、16。 24的因數有：1、2、3、4、6、8、12、24。 答：(1)16和24的公因數有1、2、4、8。 (2)16和24的最小公因數是1。 要如何列式說明？

8 貳、因數與公因數的教學策略 二、公因數 2.公因數的找法： ★ 1是任何整數最小的因數， 因此，1也一定是幾個整數中的公因數。
(2)幾個數的公因數一定不會比這幾個數中最小的還要大，因此， 只要找出這幾個數中最小的數的因數，再看看這些因數中是否也是其他數的因數，如果是，這個數就是這幾個數的公因數。 「例」20和48的公因數有哪些？ 「解」20的因數有：1、2、4、5、10 、20 其中1、2、4也是48的因數。 所以20和48的公因數有1、2、4 答： 20和48的公因數有1、2、4 ★ 1是任何整數最小的因數， 因此，1也一定是幾個整數中的公因數。

9 想想看，解題方法有何不同？學生哪裡會會看不懂？要怎麼說明？
貳、因數與公因數的教學策略 二、公因數 ※公因數的應用題類型： 部編課本第40頁 翰林課本第14頁 想想看，解題方法有何不同？學生哪裡會會看不懂？要怎麼說明？

10 貳、因數與公因數的教學策略 二、公因數 ※公因數的應用題類型： 部編 習作 第14頁 部編 習作 第32頁
想想看，這些題目要怎麼教，孩子才能理解

11 貳、因數與公因數的教學策略 二、公因數 ※公因數的應用題類型： 翰林 習作 第18頁 翰林 習作 第19頁
想想看，這些題目要怎麼教，孩子才能理解

12 叁、倍數與公倍數的教學策略 一、倍數 4.一個數的倍數有無限多個，最小的是自己，最大的是無限大。
1.倍數的意義：甲數能被乙數整除（甲÷乙＝丙……0）， 那麼甲數就是乙數的倍數，甲數也是丙的倍數。 「例」10÷2＝5…….0，我們說10是2的倍數，10也是5的倍數。 2.倍數的找法： （1）由乘法找倍數：乘法中的積，一定是被乘數和乘數的倍數。 「例」6×3＝18 ，在這個式子中，18(積)是6(被乘數)的倍數， 18(積)也是3(乘數)的倍數。 （2）由除法找倍數：整除中的被除數，一定是除數和商的倍數。 「例」40÷8＝5……0 ，在這個式子中， 40 (被除數)是8 (除數)的倍數。 40 (被除數)也是5(商)的倍數。 3.倍數與因數的關係： （1）甲數是乙數的倍數，則乙數就是甲數的因數。 （2）甲數是乙數的因數，則乙數就是甲數的倍數。 「例1」40是8的倍數，則8就是40的因數。 「例2」甲×乙＝丙，則甲是丙的( )數，丙是甲的( )數。 「例3」甲÷乙＝丙，則甲是丙的( )數，丙是甲的( )數。 4.一個數的倍數有無限多個，最小的是自己，最大的是無限大。 「例」100的倍數中最小的是 ( )，最大的是 ( )。

13 叁、倍數與公倍數的教學策略 一、倍數 ★2、3、5倍數的識別法。 ※2的倍數：一個整數的個位數字是0、2、4、6、8時，
這個數就是2的倍數。 「例」10、42、54、76、48…，都是2的倍數。 ※3的倍數：一個整數的每個數字的和能被3整除時， 這個數就是3的倍數。 「例」456是不是3的倍數？ 「解」 4＋5＋6＝15 15÷3＝5 答： 15能被3整除，所以456是3的倍數。 ※5的倍數：一個整數的個位數字是0或5時，這個數就是5的倍數。 「例」40、75、120、555…，都是5的倍數。

14 叁、倍數與公倍數的教學策略 一、倍數 ★ 4、9倍數的識別法。 ※4的倍數：一個整數的最後兩個數字是00或是4的倍 數時，該數就是4的倍數。
「例」500、420、156、1732……，都是4的倍數。 ※9的倍數：一個整數的每個數字的和能被9整除時， 該數就是9的倍數。 「例」4455 是否是9的倍數？ 「解」 4＋ 4＋ 5＋5＝18 18÷9＝2 答： 18能被9整除，所以4455是9的倍數。

15 叁、倍數與公倍數的教學策略 一、倍數 ★ 10、11倍數的識別法。 ※10的倍數：一個整數的最後一個數字是0，該數就是10的倍數。
「例」500、400、1000、1230……，都是10的倍數。 ※11的倍數：一個整數，其奇數位各數字的和與偶數位各數字的和， 相差0或是11的倍數時，這個數就是11的倍數。 「例」「9856」、「25938」兩個數都是11的倍數嗎？ 「解」 14-14＝ ＝ ÷11＝2 答：9856和90816都是11的倍數

16 叁、倍數與公倍數的教學策略 一、倍數 ※倍數的延伸題 1.下面□裡要填入多少才能被3整除？
(1) 93□ (2)87□ (3)□0451 2.下面□裡要填入多少才能被11整除？ (1) 93□ (2)87□ (3) 4□612 3.下面□裡要填入多少才能被5整除？ (1) 93□ (2)87□ (3) □ 4615 4.下面□裡要填入多少才能被2整除？ (1) 93□ (2)87□ (3) □ 4612

17 想想看，要怎麼說明孩子才會懂？要怎麼列式？答案要怎麼寫才完整？
叁、倍數與公倍數的教學策略 一、倍數 ★倍數的應用題類型： 「例1」從12的3倍起，依序寫出4個12的倍數。 「例2」30到50的整數中，8的倍數總共有幾個？把它一一寫出來。 「例3」7的倍數中，最接近80又比80小的數是多少？ 「例4」7的倍數中，最接近80又比80大的數是多少？ 「例5」在200~300之間，18的倍數中最小和最大的數各是多少？ 「例6」一箱柳丁，在310~350個之間，每15個裝一袋，剛好可以裝 完沒有剩下，這一箱柳丁可能有多少個？把可能的答案都寫 出來。 「例7」一包花片，最接近1000片又比1000片少，每80片裝一包， 剛好可以裝完沒有剩下，這一包花片有多少片？ 想想看，要怎麼說明孩子才會懂？要怎麼列式？答案要怎麼寫才完整？

18 叁、倍數與公倍數的教學策略 二、公倍數 1.公倍數的意義： 2.公倍數的找法：
(1)一個整數是幾個整數的共同倍數，這個數就是這幾個數的公倍數。 (2)甲數是乙數的倍數，甲數也是丙數的倍數， 則甲數就是乙數和丙數的 公倍數。 「例」10是2的倍數，10也是5的倍數，所以10是2和5的公倍數。 2.公倍數的找法： (1)要找幾個數的公倍數，就要分別找出這些數的倍數， 再一一找出它們共同的倍數有哪些。 「例」8和12的公倍數有哪些？寫出3個。 「解」8的倍數有：8、16、24、32、40、48、56、64、72、80………。 12的倍數有：12、 24 、36、 48 、60、 72 、84………。 答： 8和12的公倍數有24、48、72。

19 叁、倍數與公倍數的教學策略 二、公倍數 (2)幾個數的公倍數一定不會比這幾個數中最大的還要小，因此， 2.公倍數的找法：
只要找出這幾個數中最大的數的倍數，再看看這些倍數中是否 也是其他數 的倍數，如果是，這個數就是這幾個數的公倍數。 「例」12和20的公倍數有哪些？寫出2個。 「解」20的倍數有：20、40、60、80、100 、120、140 、160 …… 其中60、120也是12的倍數。 答： 12和20的2個公倍數是60、120 3.幾個整數的最小公倍數的倍數，都是這幾個整數的公倍數。 (建議舉一些例子，引導孩子自己發現此原理，當孩子真正理解後， 就知道要求幾個數的公倍數，只要用心算找出最小的，就可以推算出 其他的公倍數) 4.幾個數的公倍數有無限多個。

20 叁、倍數與公倍數的教學策略 二、公倍數 ※公倍數的應用題類型： 翰林 習作 第6頁 翰林 習作 第7頁 要孩子掌握題目中哪些重要的訊息？

21 叁、倍數與公倍數的教學策略 二、公倍數 ※公倍數的應用題類型： 翰林 習作 第7頁 部編 習作 第28頁

22 肆、質數、合數與質因數分解的教學策略 一、質數與合數的指導
1.質數：一個大於1的整數，除了1和本身以外，沒有別的因數， 這個數就叫做質數。 ◎質數除了2是偶數以外，其餘的質數都是奇數。 2.合數：一個大於1的整數，除了1和本身以外，還有別的因數， 這個數就叫做合數。 ◎偶數除了2以外，其餘的偶數都是合數。 ◎1不是合數，也不是質數。 ◎整數中（除了1以外）不是質數，就是合數。 3.互質：兩個或兩個以上的整數，除了1以外，沒有別的公因數， 這兩個整數就稱為互質。 「例」 4和9互質；10和11也是互質；2和9也是互質。 ◎兩個互質的整數不一定都是質數，但是兩個質數一定是互質。

23 肆、質數、合數與質因數分解的教學策略 一、質數與合數的指導
◆用百數表找100以內的質數： 1.100以內的質數有哪些？ 請全部寫出來： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 2.最接近100的質數是多少？ 3.一位數中最小的質數是多少？ 最大的質數是多少？ 4.二位數中最小的質數是多少？ 最大的質數是多少？ 5.二位數中最小的合數是多少？ 最大的合數是多少？ 建議老師們要求孩子把100以內的質數背熟

24 肆、質數、合數與質因數分解的教學策略 二、質因數分解
1.質因數：一個數本身是質數又是因數，這個數就是質因數。 「例」18的質因數有哪些？ 「解」18的因數有：1、2、3、6、9、18， 其中2和3是質數(1不是質因數)。 答：18的質因數有2和3。 2.質因數分解：將某數改寫成兩個或兩個以上質數的相乘積， 就叫做質因數分解。 「例」51可以分解成哪兩個質因數的相乘積？ 「解」 51＝3×17 答： 51可以分解成3和17的相乘積

25 肆、質數、合數與質因數分解的教學策略 二、質因數分解
3.質因數分解的算法： (1)先將該數分解成兩個數相乘，如果這兩個數有合數，再將該合數反覆 分解，直到所有相乘的積每個數都是質數為止。 「例」把40分解成質因數的相乘積。 「解」40＝2 × 20（2是質數，20是合數，因此再把20分解） ＝2 × 4 × 5（2和5是質數，4是合數，因此再把4分解） ＝2 × 2 × 2× 5 （2和5是質數） 答：40＝2×2×2×5 (2)短除法：除數的每一個數一定都要用質數 「例」把40和102用短除法分解成質因數的相乘積。 答： 40＝2×2×2×5 102 ＝2×3×17

26 伍、最大公因數與最小公倍數的教學策略 一、最大公因數
1.最大公因數的意義： 幾個整數的公因數中最大的一個，這個數就是這幾 個整數的最大公因數。 2.二個互質的整數，其最大公因數是1。 【例】 5和9的最大公因數是1。 10和27的最大公因數是1 。 3.甲數是乙數的因數， 那麼甲數就是甲、乙兩數的最大公因數。 (可以舉一些例子讓孩子自己發現此原理) 【例】 8和 和 和30…………

27 伍、最大公因數與最小公倍數的教學策略 一、最大公因數
◆最大公因數的算法： 1.列舉法 →先找各數的因數。 →再從中尋找各組數的公因數。 →最後由各組數的公因數尋找各組數的最大公因數。 「例」16和36的公因數及最大公因數各是多少？ 「解」16的因數有( 1、2、4、8、16 ) 36的因數有( 1、2、3、4、6、9、12、18、36) 答：16和36的公因數是1、2、4，最大公因數是4 。 2.只要找出兩數中比較小的那ㄧ個數的因數，再從中找出兩數的最大公因數。 「例」要找16和36的最大公因數。 (1)先找出16的因數有( 1、2、4、8、16 )， (2)再由這些因數中最大的數字開始，找出哪一個也是36的因數。 因為16和8都不是36的因數，而4是36的因數，所以4是16和36的最大公因數。 3.短除法。 4.質因數分解。 5.心算〈兩數互質、兩數互為因數與倍數關係………) 6.輾轉相除法

28 伍、最大公因數與最小公倍數的教學策略 一、最大公因數
◆最大公因數應用題的類型： 【例1】把一張長36公分、寬24公分的長方形圖畫紙，裁成大小相同 且邊長都是整數公分的正方形，裁成的正方形邊長最大的是 多少公分？最少可以裁成幾張正方形？ 【例2】把40本書、16個橡皮擦、32枝鉛筆平分給小朋友，每人得到 的書、橡皮擦和鉛筆都要一樣多，最多可以分給幾人？每人 各分到幾本書、幾個橡皮擦和幾枝鉛筆？ 【例3】某數除90和60都能整除，某數最大的是多少？ 【例4】某數除36剩下2 、除50不夠1，某數最大的是多少？ 想想看，某數是被除數或是除數 想想看，這幾個不同的題型都有哪些共同的特徵？要如何帶孩子讀題、解題

29 伍、最大公因數與最小公倍數的教學策略 二、最小公倍數
1.最小公倍數的意義： 幾個整數的公倍數中最小的一個，就是這幾個整數的最小公倍數。 2.如果兩個整數是互質，則這兩個整數的相乘積就是這兩個整數的最小公 數。(可以舉一些例子讓孩子自己發現此原理，例子的數字勿太大) 「例」2和3、4和5、6和7、2和9的最小公倍數各是多少？ 3.如果乙數是甲數的因數，那麼甲數就是乙數的倍數， 甲乙 兩數的最小公倍數就是甲數。 (可以舉一些例子讓孩子自己發現此原理，例子的數字勿太大) 「例」 6和2 、 8和4 、15和5、9和3的最小公倍數各是多少？ 4.幾個數的最小公倍數一定大於或等於這幾個數中最大的那一個數。 「例」12和6的最小公倍數是12 。 8和12的最小公倍數是24。 5和7的最小公倍數是35 。 和15的最小公倍數是30。

30 伍、最大公因數與最小公倍數的教學策略 二、最小公倍數
◆最小公倍數的算法： 1.列舉法， →先找各數的倍數。 →再從中尋找各組數的公倍數。 →最後由各組數的公倍數尋找各組數的最小公倍數。 「例」6和8的最小公倍數是多少？ 6的倍數有( 6、12、18、24、30、36、42、48… ) 8的倍數有( 8、16、24、32、40、48、56、64…) 6和8的公倍數是24、48…， 答： 6和8的最小公倍數是24 。 2.短除法。 3.質因數分解。 4.心算〈兩數互質、兩數互為因數與倍數關係、只要從兩數中最大的數的1倍開 始……〉 。

31 伍、最大公因數與最小公倍數的教學策略 二、最小公倍數
◆最小公倍數應用題的類型： 【例1】能同時被10和75整除的數中，最小的是多少？ 【例2】1號公車每15分鐘開一班，2號公車每25分鐘開一班，上午8點， 兩班公車同時開出，下一次兩班同時開出是什麼時候？ 【例3】一個整數用3、12、36去除都餘1，這個整數最小的是多少？ 【例4】有一疊5元的硬幣，10個數、15個一數、20個一數，都剛好 可以數完，這疊硬幣最少有多少元？ 【例5】李伯伯買了一箱柳丁，吃掉了10個後，每9個裝一袋、12個裝一袋、 18個裝一袋，都剛好可以裝完，那麼這箱柳丁原來最少有幾個？ 【例6】把長6公分、寬4公分的長方形紙片排成一個正方形，最少需要用到 幾張長方紙片才能排成一個正方形？所排成正方形邊長是幾公分？ 【例7】一包糖果比200顆多，比300顆少，8顆一數、10顆一數，都剛好可以 數完，這包糖果有幾顆？把可能的答案都寫出來。 想想看，這幾個不同的題型要如何帶孩子讀題、解題

32 陸、結語 ◈因數、倍數、公因數、公倍數是五年級的課程，希望老師無論花多少時間都必須讓孩子確實理解、非常的熟練，否則未來孩子在學習約分、擴分、通分及分數的大小比較、分數的加、減、乘、除都會有問題。 ◈希望老師能利用百數表，指導孩子找出一百以內的質數， 並要求孩子至少把50以內的質數背熟，對於未來的約分、 最簡分數或質因數分解的學習幫助非常大。 ◈希望老師能花些時間培養孩子的數感〈熟練九九乘法表、乘除心算、善用交換律、結合律、乘法對加減法的分配律…做簡便計算、熟悉各數的平方倍……〉，讓孩子對數有感覺，數感好的孩子學習此單元會比較輕鬆，能很快找到某數的因數與倍數。

33 恭請賜教 祝大家教學愉快