第 7 章 位 移 法 §7-1 位移法的基本概念 A B C P A B C P A B C θA 荷载效应包括： 内力效应：M、Q、N；

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1 第 7 章 位 移 法 §7-1 位移法的基本概念 A B C P A B C P A B C θA 荷载效应包括： 内力效应：M、Q、N；
第 7 章 位 移 法 §7-1 位移法的基本概念 A B C P θA 荷载效应包括： 内力效应：M、Q、N； 位移效应：θA A B C P 附加 刚臂 A B C θA 施加力偶使结点产生的角位移，以实现结点位移状态的一致性。 附加刚臂限制结点位移，荷载作用下附加刚臂上产生附加力矩

2 P C A B 实现位移状态可分两步完成： θA 1）在可动结点上附加约束，限制其位移，在荷载作用下，附加约束上产生附加约束力；
2）在附加约束上施加外力，使结构发生与原结构一致的结点位移。 分析： 1）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等； 2）结点位移计算方法：对比两结构可发现，附加约束上的附加内力应等于0，按此可列出基本方程。

3 B A B 1 2 3 4 5 B P 变形条件 物理条件 选择基本未知量 几何条件 平衡条件

4 位移法基本作法小结: 关于刚架的结点未知量 A B C P A B C P A （1）基本未知量是结点位移；
（2）基本方程的实质含义是静力平衡条件； （3）建立基本方程分两步——单元分析（拆分）求得单元刚度方程，整体分析（组合）建立位移法基本方程，解方程求出基本未知量; （4）由杆件的刚度方程求出杆件内力，画弯矩图。 关于刚架的结点未知量 A B C P A B C P A

5 §7-2 等截面杆件的刚度方程 1、由杆端位移求杆端弯矩 MAB E I  MBA l MAB MBA MBA MAB
§7-2 等截面杆件的刚度方程  杆端力和杆端位移的正负规定 ①杆端转角θA、θB ，弦转角 β＝Δ/l都以顺时针为正。 ②杆端弯矩对杆端以顺时针为正 对结点或支座以逆时针为正。 1、由杆端位移求杆端弯矩 MAB E I  MBA l （1）由杆端弯矩 MAB MBA 利用单位荷载法可求得 MAB MBA 1 设 同理可得 1

6 MAB E I  MBA l MAB MBA  （2）由于相对线位移引起的A和B 以上两过程的叠加
我们的任务是要由杆端位移求杆端力，变换上面的式子可得：

7 用力法求解单跨超静定梁 Δ θA θB X1 X2 Δ 1 M X1=1 1/l X2=1 1 2 M 1/l 令

8 可以将上式写成矩阵形式 1 4 2 3

9 几种不同远端支座的刚度方程 MAB A MBA  EI l MAB A  EI l 因 MAB MBA EI A l
（1）远端为固定支座 MAB A  MBA 因B = 0，代入(1)式可得 l EI （2）远端为固定铰支座  A MAB 因MBA = 0，代入(1)式可得 l EI （3）远端为定向支座 因 MAB l EI MBA 代入（2）式可得 A

10 4i 2i 3i i －i 由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。 单跨超静定梁简图 MAB MBA QAB= QBA θ=1 1 θ=1
A B 1 A B θ=1 i －i

11 2、由荷载求固端反力 mAB EI q l EI q mBA l »在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式（转角位移方程）：

12 §7-3 位移法的基本体系 1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个基本体系,然 ？ 后让基本体系在受力方面和变形方面与原
§7-3 位移法的基本体系 1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个基本体系,然 后让基本体系在受力方面和变形方面与原 结构完全一样。 力法的特点： 基本未知量——多余未知力； 基本体系——静定结构； 基本方程——位移条件 （变形协调条件） 位移法的特点： 基本未知量—— 基本体系—— 基本方程—— 独立结点位移 一组单跨超静定梁 ？ 平衡条件

13 2、基本未知量的选取 1 2  C D  1、结点角位移数： 结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。
2、结构独立线位移： 每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设： （1）忽略轴向力产生的轴向变形---变形后的曲杆与原直杆等长； （2）变形后的曲杆长度与其弦等长。 上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。 1 2  C D  A B C D

14 线位移数也可以用几何方法确定。 将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。 1 4

15 3、选择基本体系 4、建立基本方程 F11+F12+F1P=0………………(1a) F21+F22+F2P=0………………(2a) 2
8m 4m i 2i A B C D 3kN/m A B C D F2P 2 F11 F12 A B C D F21 A B C D F22 1 4、建立基本方程 F11+F12+F1P=0………………(1a) F21+F22+F2P=0………………(2a)

16 k11 k21 k12 k22 F11+F12+F1P=0………………(1a) F21+F22+F2P=0………………(2a) k111
2 =1 k11 A B C D 1 F11 F21 i 2i k21 A B C D F12 F22 k12 k22 2i 4i 3(2i) 1.5i =1 F11+F12+F1P=0………………(1a) F21+F22+F2P=0………………(2a) k11 k12 6i 4i k111 + k122 +F1P =0………..(1) 1.5i k211 + k222 +F2P =0………..(2) k21 k22 k11=10i k21= -1.5i k12= -1.5i

17 F2P MP F1P=4kN·m F2P=-6kN 5、计算结点位移 6、绘制弯矩图 F1P A B C D F2P F1P 4kN`·m
4 F2P -6 MP F1P=4kN·m F2P=-6kN 位移法方程： 5、计算结点位移 4.42 13.62 A B C D 5.69 6、绘制弯矩图 1.4 M(kN·m)

18 ki j=kj i k21=k12 k11 1+ k12 2+ · · · · · · · · · ·+ k1n n+F1P=0
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · kn1 1+ kn2 2+ · · · · · · · · · ·+ knn n+FnP=0 ki j=kj i 1=1 k11 k11×0+k21 ×1 1 2 = k12 ×1+k22 ×0 k21 2=1 k21=k12 k12 k22