第三章 離散及連續型機率分配.

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1 第三章 離散及連續型機率分配

2 機率之基本概念 1. 機率之基本概念 實驗 簡單事件 樣本空間 事件及計算事件發生機率之步驟 2. 定義 理論及實驗方式 3. 排列及組合

3 機率之基本概念 4. 五種計算機率之法則 5. 貝氏定理： (利用樹形圖計算) 6. 隨機變數：連接物理世界與數學世界之實函數
7. 機率分配： 8. 期望值：

4 機率之基本概念 9. 變異數： 10.標準差：

5 機率之定義 1. 理論 (每一種實驗結果發生之可能性均相同)： 其中： N = 實驗所有可能結果之個數 = 發生事件 A 結果之個數

6 機率之定義 2. 實驗方式 (相對次數定義)： (例) 觀察一個公正骰子投擲二次之結果， 試問發生點數和為7之機率?
其中： = 實驗進行之次數 = A 事件發生之次數 (例) 觀察一個公正骰子投擲二次之結果， 試問發生點數和為7之機率?

7 機率之定義 3. 計算事件發生機率之步驟： 1. 實驗之定義 2. 列出簡單事件 3. 指派簡單事件之機率
4.決定欲求事件(簡單事件之集合)之機率

8 五種計算機率之法則 1. 互補定律 ：A 事件不發生之機率 = 1- A事件發生之機率 2. 互斥事件之加法定律
：若A 與 B 為兩互斥事件，則 A 與 B 發生之機率為 A 與 B 個別發生之機率和 3. 非互斥事件之加法定律

9 五種計算機率之法則 4. 獨立事件之乘法定律 5. 相依事件之乘法定律
：若 A 與 B 為兩獨立事件，則 A 與 B 同時發生之機率為 A 與 B 個別發生機率之乘積 5. 相依事件之乘法定律

10 貝氏定理 若互斥事件 ， ，……， 均為B事件發生的原因，則在B條件下， 事件發生之機率為 其中
稱為事前機率（ prior probability ），為取得新資訊之機率，則稱為事後機率。

11 〈範例 4〉甲袋中有3個良品，2個不良品，乙袋中有4個良品，1個不良品，今從甲、乙二袋中之一袋取出一個產品，已知其為不良品，求此不良品取自甲袋之機率？

12 離散型機率分配 A. 二項分配(取出後放回) 考慮伯努利實驗進行 n 次之結果，則 n 次獨立實驗中 x 次成功之機率可寫成

13 〈範例 6〉已知某批量N個產品中，今有k個不良品及個良品，若吾人從中抽取n個樣本，試求n個中含有x個不良品之機率。

14 離散型機率分配 B. 超幾何分配(取出後不放回) 考慮自批量中取出樣本檢驗，檢驗後不放回，則批量中含不良品之機率

15 〈範例 7〉已知某批量20個產品中，含有4個不良品，今若吾人隨機取出5個產品，試求其中含有一個不良品之機率及不含任何不良品之機率。

16 離散型機率分配 C. 卜瓦松分配是二項分配之極限式 當n且p 很小，則x發生之機率寫成 則

17 〈範例 8〉已知某一地毯公司所生產之地毯平均每3公尺有2個缺點，試求9公尺地毯上有5個以上缺點之機率為何？

18 常態機率分配之特性 (單峰) 左右對稱 倒鐘形之連續曲線 單峰 若資料遠離製程中心，則機率將迅速趨近0

19 常態分配之信賴區間

20 〈例9〉已知金屬塊厚度是常態分配，其 ， ，試求其99.73 %，95.45 % 及 68.26 % 之信賴區間。
〈例9〉已知金屬塊厚度是常態分配，其 ， ，試求其99.73 %，95.45 % 及 % 之信賴區間。 〈解〉 金屬塊厚度之常態分配圖 68.26 %之信賴區間 95.45 %之信賴區間 99.73 %之信賴區間

21 常態分配 1. 機率密度函數： 2. 特性(I)：

22 常態分配 2. 特性(II)： 以 估計 3. 標準轉換： 以 將變數 x 轉換成 z，則 可寫成

23 常態分配 4. 應用： 已知 ，求大於或小於 x 之機率 步驟：1. 繪出常態曲線 2. 在曲線中找出x之位置 3. 計算 z 值
註：

24 例2〉已知金屬塊之厚度呈常態分配，= 3.5mm，=0.05mm，試求金屬塊厚度小於規格下限( 3.48 mm )之機率。
解〉 查表可求得Z=0(即=3.5) 與Z=-0.4(即=3.48) 間之面積為0.1554，則P(X<3.48)= =0.3446，即該產品之不良率為34.46 %。

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26 超幾何，二項，卜瓦松及常態分配間之關係