§5.6 平面向量的数量积及运算律 南海中学数学组　周福隽.

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1 §5.6 平面向量的数量积及运算律 南海中学数学组　周福隽

2 引入 向量的数量积 或内积 [问题]如图，一辆车在力F的作用下产生位移S，那么力所做的功可用下式计算： W= F S COSθ
向量的数量积　　　　　　或内积

3 阅读提示： 一　平面向量数量积的定义 二　向量的夹角 三　平面向量数量积的几何定义 四　平面向量数量积重要性质

4 . . 一 平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做a与b的数量积（或内积），记作a . b，即
一　平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量　　　　 叫做a与b的数量积（或内积），记作a . b，即 a b cosθ a b cos θ a . b= 例１已知 a ＝５,b ＝４,a与b的夹角θ＝１２００，求　 , a2 a b . 解： = cosθ a b a b . =5 x 4 x cos １２００ =5 x 4 x (-1/2) =-10

5 . 一 平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做a与b的数量积（或内积），记作a . b，即
一　平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量　　　　 叫做a与b的数量积（或内积），记作a . b，即 a b cos θ a b cos θ a . b= 例１已知 a ＝５,b ＝４,a与b的夹角θ＝１２００，求　 , a2 a b . 解： a2 =a . a = a a cos α a2= a 2 = a a cos 0 = a 2 a = a2 =52=25

6 一 平面向量数量积的定义 即0 . a = 0 注意： 实数．
一　平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量　　　　 叫做a与b的数量积（或内积），记作a . b，即 a b cos θ a b cos θ a . b= 并且规定，零向量与任一向量的数量积为0， 即0 . a = 0 注意： 实数． 1 结果是一个 2 符号中的“.”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．

7 例２已知在△ABC中，BC=５，CA=８，∠C=６００，求BC . CA
a b cos θ a . b=

8 请判断，在下列各图中 AOB是否为给出向量的夹角
二　向量的夹角(θ) 请判断，在下列各图中 AOB是否为给出向量的夹角 (2) o A B (1) o A B (3) o A B (4) o A B

9 请判断，在下列各图中 AOB是否为给出向量的夹角 1.在两向量的夹角的定义中，两向量必须是同起点．
二　向量的夹角(θ) 注意： 请判断，在下列各图中 AOB是否为给出向量的夹角 1.在两向量的夹角的定义中，两向量必须是同起点． 2.且θ∈[０, π] (1) o A B (4) o A B

10 1.在两向量的夹角的定义中，两向量必须是同起点．
二　向量的夹角(θ) 注意： 1.在两向量的夹角的定义中，两向量必须是同起点． 2.且θ∈[０, π] 3.当θ＝０时，a与b同向 a b cos θ a . b= 4.当θ＝π时，a与b反向 5.当θ＝π／2时，a与b垂直，记作a b 6.当θ∈［０,π/2)时, a . b＞０， 当θ∈(π/２,π］时, a . b＜０， 当θ=π/2, a . b=0

11 例２已知在△ABC中，BC=５，CA=８，∠C=６００，求BC . CA
解： ∵∠C=６００ ∴向量BC与CA所成的角为１２００ D ∴ BC . CA= BC CA COS１２００ =5×8 x (-1/2) = - 20

12 三 平面向量数量积的几何定义 o o o 则，把 b cosθ叫做向量b在a方向上的投影 a b cos θ a . b=
三　平面向量数量积的几何定义 OB1= b cosθ B B B b b b a θ θ θ o o a o a B1 B1 A (B1) A (1) A (2) (3) 则，把 b cosθ叫做向量b在a方向上的投影 a b cos θ a . b= 因此，得到a . b的 几何意义： 数量积a . b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影 b cosθ的乘积．

13 四 平面向量数量积重要性质 设a,b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与b的夹角，则 (1) e . a= a . e
四　平面向量数量积重要性质 设a,b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与b的夹角，则 (1) e . a= a . e = a e cosθ = a cosθ (2) a b a . b=０ (3) 当a与b同向时, a . b 已知 a =4，则a2= = a b = a b cos０ 16 当a与b反向时, a . b= a b cosπ=- a b 特别地，a . a = a 2或 a = a . a a . b a b (4) a . b= a b cos θ cos θ= (5) a . b ≤ a b

14 × × × × × × × × 例４判断正误，并说明理由． (2) 0.a=0 (1) a.0=0 (4) a . b = a b
(3) 0-AB=BA × (5) 若a≠0,则对任一非零向量b有a . b≠０ × (6) 若a . b=0,则a与b中至少有一个为０． (7) a与b是两个单位向量，则a2=b2 (8) a , b 是两个非零向量,a . b= a b 是a , b共线的充要条件． × × (9) 若a≠0,a . b=a . c,则 b=c × (10) 若a . b=a . c,则b ≠c当且仅当a=0时成立

15 小结： １两种定义 ２五个性质 作业： 出　Ｐ１５３　三．７，８，９

16 解： 例３已知 a =12，b =9,a.b=- 54 2,求a和b的夹角θ 且 θ∈[０, π] a . b ∵ cos θ= a b =
×9 = - 2 且　θ∈[０, π] θ = π 4 3 ∴