高斯定律 Gauss’s Law.

高斯定律 Gauss’s Law

電力線在空間中數目守恆！能不能把這守恆性質寫成一個有關電場 E 的定律？首先必須找到辦法，將電力線數目以電場來計算：先嘗試計算通過一個無限小的平面的電力線數目

由電力線的定義，此事並不難！ 2. 電場強度與當地電力線的密度成正比！當小平面與電場垂直：通過此平面的電力線數目
通過當地一個垂直面的單位面積電力線數目。 2. 電場強度與當地電力線的密度成正比！當小平面與電場垂直：通過此平面的電力線數目 Electric Flux電通量

若表面與電場不垂直：將平面投影於電場的垂直方向：通過 A 的電力線必通過此投影平面通過此投影平面的電力線數目可以算：也是通過 A 的電力線數目。

定義面積向量大小就是面積，方向是垂直平面的方向。電場通量是順著的方向通過平面的電力線數

這樣的定義下，電力線數目有可能是負的！若電力線是逆著的方向，則通量為負！

一般曲面的電通量對一個一般曲面，可將曲面視為由許多無限小的平面組成。通過它的電力線數，可以構成此曲面的小平面的電通量的和來算：當小平面趨近無限小，和就變為一個積分！面積分

封閉曲面的電通量如果是封閉曲面（稱高斯面），空間會被分成內外兩部分，可以定義 dA 的方向一律是由內指向外：如此為正時，電力線為離開曲面為負時，電力線為進入曲面

總通量就有一個很簡單的物理意義；電力線數目守恆

任一曲面，若其內沒有電荷：

若曲面內有電荷：電力線不能中斷，只能由正電荷發出，由負電荷吸收！包圍一個電荷的高斯面的電通量不為零而且，因總電力線數不變，故電通量與高斯面大小無關

由一個點電荷發出的電力線總數，可以選一個封閉球面來算電通量：
由一個點電荷發出的電力線總數與球半徑無關

因為電力線守恆，通過任何包圍 q 的高斯面的電通量與通過球高斯面的電通量相等：

反過來說，一個電荷對電通量的貢獻，只和它是否位於曲面內有關，而與它的具體位置無關
位於曲面外的電荷，對曲面處的電場有貢獻，但對該曲面的電場通量沒有影響

負電荷周圍電力線是入射的，電通量為負正電荷發出的電力線可以消失於負電荷曲面內的負電荷會減少電通量！

高斯定律一個封閉曲面的電場通量，正比於曲面所包圍的總電量

電通量的計算電場垂直於表面，通量為電場乘上面積電場平行於表面，通量為零！

電通量等於垂直於平面的電場分量乘上面積以右方的平面為例：左方的平面

帶電平面板電場垂直於平面選擇一個上下對稱圓柱高斯面電場是均勻的

兩片等電荷密度之平行帶電板兩片電板間的電場是均勻電場電板外電場為零

均勻的帶電棒（軸對稱）：

均勻的帶電球（球對稱）：電荷分布以外電場如同所有電荷集中在球心的點電荷平方反比是三度空間的性質電荷分布以內

電場越來越有個性，本身越來越像就是物理實體

高斯定律就是下述性質的數學表示：電力線是不間斷的，只能在正電荷產生，在負電荷消失。高斯定律描述的電場形狀:放射狀這與庫倫定律是一致的。

高斯定律可以取代庫倫定律嗎？放射狀的電力線想像電力線是一條一條的封閉曲線（不一定是圓）我們把它們稱為漩渦狀的電力線這樣的漩渦狀電力線，它的電場通量永遠為零！高斯定律無法捕捉到這樣的電場！

+ + = 如果只有高斯定律：我就可以在放射狀的電場上疊加一個漩渦狀的電場結果依舊滿足高斯定律。但這卻是庫倫定律不容許的。
高斯定律可以取代庫倫定律嗎？答案是不能。 + = 高斯定律一個可以禁止漩渦狀電場的定律庫倫定律

考慮一個無限小的立方體高斯面 xxx xx+Δx 先計算垂直於 x 軸左右兩個面的通量電通量等於垂直於平面的電場分量乘上面積總通量為散度，一個純量，由向量場計算出的一個純量場

將積分形式的高斯定律適用於此小方塊：高斯定律的微分形式，對任一個點成立

此式對任何一個向量場都成立：此式從立方體內的空間的性質來算立方體表面的通量這個結果可以推廣到任一曲面：任一曲面內的空間可以切割為無限多個無限小立方體加總所有立方體的通量：加總通量時，相鄰立方體相接面的通量會互相抵消，只留下最外圍曲面本身的通量對任何向量場都對數學上的高斯定律

將微分形式的高斯定律代入上述數學的高斯定律：可得積分形式的高斯定律可見積分形式的高斯定律與微分形式的高斯定律是等價的。

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