第3课时 三角函数的图象 要点·疑点·考点 课 前 热 身   能力·思维·方法   延伸·拓展 误 解 分 析.

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1 第3课时 三角函数的图象 要点·疑点·考点 课 前 热 身   能力·思维·方法   延伸·拓展 误 解 分 析

2 要点·疑点·考点 1.三角函数线 右面四个图中，规定了方向的MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线，余弦线，正切线.

3 2.三角函数的图象 (1)y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=cotx的图象(略) (2)y=Asin(ωx+φ)的图象及作法 (3)三角函数的图象变换 ①振幅变换：y=sinx→y=Asinx 将y=sinx的图象上各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)； ②相位变换：y=Asinx→y=Asin(x+φ) 将y=Asinx的图象上所有点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位； ③周期变换：y=Asin(x+φ)→y=Asin(ωx+φ) 将y=Asin(x+φ)图象上各点的横坐标变为原来的 1/ω 倍(纵坐标不变).

4 3.图象的对称性 函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0)的图象具有轴对称和中心对称.具体如下： (1)函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线x=xk(其中ωxk+φ=kπ+π/2，k∈Z)成轴对称图形. (2)函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(xj ,0)(其中ωxj+φ=kπ,k∈Z)成中心对称图形. 返回

5 课 前 热 身 1.给出四个函数: (A)y=cos(2x+π/6) (B)y=sin(2x+π/6)
(C)y=sin(x/2+π/6) (D)y=tan(x+π/6) 则同时具有以下两个性质的函数是( ) ①最小正周期是π ②图象关于点(π/6，0)对称. 2.已知f(x)=sin(x+π/2)，g(x)=cos(x-π/2)，则下列结论中正确的是( ) (A)函数y=f(x)·g(x)的周期为2π (B)函数y=f(x)·g(x)的最大值为1 (C)将f(x)的图象向左平移π/2单位后得g(x)的图象 (D)将f(x)的图象向右平移π/2单位后得g(x)的图象 A D

6 3.将函数y=f(x)sinx的图象向右平移π/4个单位后再作关于x轴对称的曲线，得到函数y=1-2sin2x，则f(x)是( )
(A)cosx (B)2cosx (C)sinx (D)2sinx B

7 4.函数y=|tgx|·cosx(0≤x＜3π/2，且x≠π/2)

8 5.关于函数f(x)=２sin(3x-3π/4），有下列命题：
①其最小正周期是2π/3； ②其图象可由y=2sin3x向左平移π/4个单位得到； ③其表达式可改写为y=2cos(3x-π/4)； ④在x∈[π/12，5π/12]上为增函数. 其中正确的命题的序号是_________ ①④ 返回

9 能力·思维·方法 1.先将函数y=f(x)的图象右移π/8个单位，然后再把图象上每一点的横坐标扩大为原来的两倍，所得的图象恰好与函数y=3sin(x+π/6)的图象相同.求f(x)的解析式 【解题回顾】此题为逆向求解对函数y=Asin(ωx+ φ)的图象作变换时应该注意：横坐标的扩大与压缩只与ω有关，与其他参量无关；图象的左右平移应先把ω提到括号外，然后根据加减号向相应方向移动

10 2.设函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-π/6对称，求a的值
【解题回顾】此二种方法都应用了三角函数图象的知识解一，抓住的是正弦曲线在与对称轴交点处取得函数最大或最小值的特点解二，充分应用了图形对称以及待定系数法的数学方法，显示了数形结合的灵活性.

11 3.已知函数 (1)当y取得最大值时，求自变量x的集合； (2)该函数图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 【解题回顾】当A＞0，ω＞0时，函数y=Asin(ωx+ φ)的图象可用“五点法”作出，也可用下列图象变换方法作出，先把y=sinx的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|的单位，再把各点横坐标缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的1/ω倍(纵坐标不变)，再把各点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍(横坐标不变)；而函数y=Acos(ωx+φ)和y=Atan(ωx+φ)的图象均可仿上变换由y=cosx和y=tanx作出.

12 4.如下图，函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0)的图像上相邻的最高点与最低点的坐标分别为(5π/12，3)和(11π/12，-3)．求该函数
的解析式 【解题回顾】这类问题的求解难点是φ的确定，除以上方法外，常用移轴方法：做平移，移轴公式为x=x′+π/6，y=y′，则易知函数在新坐标系中的方程是y′=3sin2x′，而x′=x-π/6，故所求函数y=3sin[2(x-π/6)] 返回

13 延伸·拓展 5.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M(3π/4，0)对称，且在区间[0，π/2]上是单调函数.求φ和ω的值. 返回

14 误解分析 1.在能力·思维·方法4中，由于φ没有给出范围，所以极易求出不合题意的φ值，解题时要结合“零点”观察
2.由y=sinx作y=sin(2x+π/3)图象，如果先把横坐标缩短为原来的1/2倍，得y=sin2x后再平移，应向左平移π/6，切勿左移π/3. 返回