Hashing Michael Tsai 2017/4/25.

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1 Hashing Michael Tsai 2017/4/25

2 有沒有一種天方夜壇 =O(1) (key, data) Insert Search Delete 神秘的資料結構
Hint: “以空間換取時間”

3 概念 很多很多有編號的櫃子 問: “菜瓜布”的資料去哪找? (“菜瓜布”, 資料) 管理員 管理員: “菜瓜布” 對應到1028號櫃子
如果箱子夠多, 則花費在一個箱子裡面尋找的時間=O(1)

4 概念 Hash table Hash function: h(k) 很多很多有編號的櫃子 問: “菜瓜布”的資料去哪找? 管理員
管理員: “菜瓜布” 對應到1028號櫃子 key: 拿來當索引的東西 例如: “菜瓜布” T=|U|: 所有可能的key的數目 n=|K|: 所有要存入的pair的數目 1028 Key density: n/T Load density (load factor): n/sm 櫃子數目: m 每個位子可以放的資料數:s sm: 所有可以放數櫃子資料數目

5 概念: Direct-address Table
很多很多有編號的櫃子 U: 所有可能出現的各種key 裡面存資料 K: 結果真的出現在input的各種key 如果 𝐾 ≪ 𝑈 ，櫃子就浪費很多空間

6 概念: Hash Table 很多很多有編號的櫃子 U: 所有可能出現的各種key K: 結果真的出現在input的各種key

7 一些定義 h(k): hash function hash function 把key對應到一個數值(通常為櫃子編號)
(但是沒關係) 如果ℎ 𝑘 1 =ℎ 𝑘 2 , 則 𝑘 1 , 𝑘 2 are synonyms with respect to ℎ. 最簡單的hash function: k%m (k mod m) collision: 要把資料存進某櫃子的時候, 該櫃子已經有東西了 overflow:要把資料存進某櫃子的時候, 該櫃子已經滿了 if s==1, 則每次collision都會造成overflow (通常s==1)

8 為什麼是O(1) 當沒有overflow的時候: 計算hash function的時間: O(1)
進到某一個櫃子去insert, delete, search的時間都是O(1) worst case為尋找s個空間的時間: 固定 所以為O(1) 剩下的問題: (1) 當collision發生的時候怎麼處理? (2) 怎麼implement一個好的hash function?

9 Collision 處理 兩種常用處理collision的方法: 注意: 要確保能夠下次也能找到同一個地方! (2) Chaining
(1) Open addressing Full! Full! Find another empty cabinet 多出來的吊在下面

10 Open addressing – Linear probing
有好幾種方法: (1) Linear probing T[(h(k)+1)%m], T[(h(k)+2)%m], … Insert的時候順著往下找 (找的動作又叫做probe): 一直找到 有空位 填入 回到原來的位置 h(k)了, 則沒有空位可能要擴大. (load factor 永遠小於1) Search的時候, 一樣是從T[h(k)]開始往下找, 一直找到 有空位k不在table裡 找到了, k在T[(h(k)+j)%m]的位置 回到原本的位置h(k)了, k不在table裡面

11 Open addressing 好處: 利用hash table裡面沒有儲存東西的空間
不用使用記憶體來存pointer, 省下來的記憶體可以開更大的hash table 壞處: 尋找overflow出去的element需要花額外的時間(不是O(1)了) 讓在櫃子裏面的key容易集結(clustering)在一起 平均尋找時間更長

12 Open addressing – General Form
我們把hash function h變成以下的形式: h: 𝑈× 0,1,…,𝑚−1 也就是我們probe的順序為 (probing sequence) ℎ 𝑘,0 ,ℎ 𝑘,1 ,ℎ 𝑘,2 ,ℎ 𝑘,𝑚−1 以上為 0,1,2,…,𝑚−1 的排列組合 所以Linear probing的可以寫成: h(k,i)=(h’(k)+i))%m h’(k)是原本的hash function Linear probing總共只有m種probing sequence

13 Open addressing – Linear probing
Primary clustering: 某些open addressing的probing方法會產生一長串填滿的格子 Input sequence of keys: {8,16,18,5,31,15} 8 8 16 8 16 18 8 16 18 5 8 16 31 18 5 8 16 31 18 5 15 [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6]

14 Open addressing – Quadratic probing
ℎ 𝑘,𝑖 = ℎ ′ 𝑘 + 𝑐 1 𝑖+ 𝑐 2 𝑖 2 %m, c 1 , c 2 為正常數 例1: 我們可以用ℎ 𝑘,𝑖 = ℎ ′ 𝑘 + 𝑖 2 %m ℎ ′ 𝑘 %𝑚, ℎ ′ 𝑘 %𝑚, ℎ ′ 𝑘 %𝑚,…, ℎ ′ 𝑘 + 𝑚−1 2 %𝑚 例2: 如果𝑚= 2 𝑛 , 則我們可以用ℎ 𝑘,𝑖 = ℎ ′ 𝑘 + 𝑖 2 + 𝑖 %𝑚 ℎ ′ 𝑘 %𝑚, ℎ ′ 𝑘 +1 %𝑚, ℎ ′ 𝑘 +3 %𝑚, ℎ ′ 𝑘 +6 %𝑚, ℎ ′ 𝑘 +10 %𝑚,… ℎ ′ 𝑘 %𝑚, ℎ ′ 𝑘 +1 %𝑚, ℎ ′ 𝑘 +3 %𝑚, ℎ ′ 𝑘 +6 %𝑚, ℎ ′ 𝑘 +10 %𝑚,… 用這些方法可以使得clustering的現象較為減輕: Secondary Clustering 只有當一開始的hash function產生一樣的位置才會造成一樣的probing sequence ℎ 𝑘 1 ,0 ==ℎ( 𝑘 2 ,0) implies ℎ 𝑘 1 ,𝑖 ==ℎ( 𝑘 2 ,𝑖) 和linear probing一樣, 只有m種probing sequence (開始的h’(k)決定sequence)

15 Open addressing – Double hashing
ℎ 𝑘,𝑖 = ℎ 1 𝑘 +𝑖 ℎ 2 𝑘 %𝑚 為open addressing最好的方法之一 例子: ℎ 1 𝑘 =𝑘 % 𝑚, ℎ 2 𝑘 =1+ 𝑘% 𝑚−1 如果k=123456, m=701, ℎ 1 𝑘 =80, ℎ 2 𝑘 =257 一開始找T[80], 後面每隔257格找一次 關鍵: 即使 ℎ 1 𝑘 1 == ℎ 1 ( 𝑘 2 ), ℎ 2 𝑘 1 == ℎ 2 ( 𝑘 2 ) 應該不成立 因此probing sequence有 𝑚 2 種! (通常須要求m= 2 𝑛 ) Double hashing是最接近”uniform hashing”的方法 Uniform hashing: 任何probing sequence出現的機率是一樣的 也就是 0,1,2,…,𝑚−1 的任一種排列組合出現的機率是一樣的

16 來做一些分析(沒有推導) 在Uniform Hashing的假設下: Expected number of probes:
尋找一個key時平均所需要找(比較)的key個數 因為其他的operation都只需要O(1), 所以這個動作決定了search的time complexity 𝛼: load factor= n/m < 1 失敗(找到空位): 1 1−𝛼 =1+𝛼+ 𝛼 2 + 𝛼 3 +… 成功: 1 𝛼 ln 1 1−𝛼 (詳細的證明參見 Cormen p ) Worst case? 全部都連在一起, 全部都填滿了 O(n) 第一次一定要找 第二次有𝛼機率要找 第三次有 𝛼 2 機率要找

17 Chaining 之前的方法的缺點? 尋找過程中, 需多其他的資料的hash值和現在要找的key k的hash值根本就不一樣 有點冤枉
所以採取”掛勾”的方法 每個櫃子是一個linked list 搜尋的時候只會找掛在下面的 (h(k)都一樣) Not here Not here Not here 結果在這邊

18 Chaining – Worst case Worst case: 全部都塞在同一個櫃子下面的linked list
time complexity這樣是? O(n) 小小的進步: 底下可以用binary search tree (之後有balanced 版) 可以進步到𝑂 log 𝑛

19 Chaining - Expected performance
每個櫃子的chain上面平均有幾個pair? n: 總共存入的資料pair數目 m: 櫃子數目 所以假設使用simple uniform hashing的話 也就是存到每個櫃子的機率相等 平均一個chain有n/m個pair (𝛼個pair) 這也是如果找不到的話, 平均需要比較的次數 加上hash本身要花的時間, 總共為Θ 1+𝛼 如果是找得到的話, 平均需要比較的次數為1+ 𝛼 2 − 𝛼 2𝑛 加上hash本身要花的時間, 總共仍為Θ 1+𝛼 (詳細證明可見Cormen p.260) 因此總體來說, 只要𝑛=𝑂 𝑚 , 𝛼= 𝑛 𝑚 = O m m =O(1) n為m的一個比例時, 總時間可為constant time!

20 Hash function 先要知道的事情: 不可能讓所有key都map到不同的櫃子 (因為|K|遠大於櫃子數目) 目標:
(1) 希望隨便取一個key, 則平均來說它存到任何一個櫃子的機率都是1/m (m為櫃子數目) (都是一樣的) (2) 計算hash function的時間為O(1) 當(1)符合時, 此hash function稱為simple uniform hashing (hash function)

21 一些hash function的例子 複習: h(k)把k轉成另外一個數字 (櫃子編號) (1) Division: h(k)=k%D
則結果為0 ~ D-1 通常我們可以把D設為櫃子數目 (2) Mid-square: h(k)=𝑏𝑖𝑡 𝑠 𝑖,𝑖+𝑟−1 ( 𝑘 2 ) 則結果為0 ~ 2 𝑟 −1, 所以通常櫃子數目為 2 𝑟

22 一些hash function的例子 (3) shift folding 用例子解釋: k=12320324111220
每隔幾位數切一份. 例如, 三位數: (櫃子有1000個) {123, 203, 241, 112, 20} h(k)=( )%1000=699 (4)folding at the boundaries {123,302,241,211,20} h(k)=( )%1000=897

23 一些hash function的例子 (5) digit analysis 假設先知道所有的key了
則需要把5位數轉換成2位數 則我們可以每次選某一位數來分類成10組 最不平均的3個位數可以刪掉 (記得: 最好可以使得分到某櫃子的機率都相等) (6) Multiplication Method: 取 0<A<1, then h(k)= 𝑚 (𝑘𝐴 % 1) (參看 Cormen p.264)

24 Key是string怎麼辦? 轉成數字! (然後再使用hash function) 可不可以把不同字串轉成一樣數字?
答: 可以! 反正hash function一樣已經會把不同key轉成一樣的櫃子號碼了 方法: (1) 把所有字串的character(數字)加起來, 進位的通通丟掉. (類似checksum) (2)把所有字串的character (數字)分別往左位移i格, i為該character在字串中的位置, 然後通通加起來.

25 Dynamic hashing 觀察: 當n/m比較大以後, O(1)就開始崩壞 (往O(n)方向移動)
應變: 所以要隨時觀察 n/m, 當它大過某一個threshold時就把hash table變大 觀察: 把hash table變大的時候, 需要把小hash table的東西通通倒出來, 算出每一個pair在大hash table的位置 然後重新放進大hash table 有個可憐鬼做insert正好碰到應該hash table rebuild的時候, 他就會等非常非常久. T_T

26 Dynamic hashing 目標: 重建的時候, 不要一次把所以重建的事情都做完 或許, 留一些之後慢慢做?
每個operation的時間都要合理 又叫做extendible hashing

27 例子 k h(k) A0 A1 B0 B1 C1 C2 C3 C5 h(k,i)=bits 0-i of h(k) Example: h(A0,1)=0 h(A1,3)=001=1 h(B1,4)=1001=9

28 Dynamic hashing using directories
directory depth= number of bits of the index of the hash table 00 A0, B0 A1, B1 C2 C3 000 A0, B0 A1, B1 C2 C3 01 C5, overflow 001 10 010 k h(k) A0 A1 B0 B1 C1 C2 C3 C5 11 011 100 Insert C5 101 C5 h(C5, 2)=01=1 110 we increase d by 1 until not all h(k,d) of the keys in the cell are the same 111 動腦時間: 如果原本的要加入C1呢? 如果第二步驟後加入A4呢?答案: Horowitz p

29 Dynamic hashing using directories
為什麼比較快? 只需要處理overflow的櫃子 如果把directory放在記憶體, 而櫃子資料放在硬碟 則 search只需要讀一次硬碟 insert最多需要讀一次硬碟(讀資料, 發現overflow了), 寫兩次硬碟(寫兩個新的櫃子) 當要把hash table變兩倍大時, 不需要碰硬碟(只有改directory)

30 Directoryless Dynamic hashing
假設hash table很大, 但是我們不想一開始就整個開來用 (initialization會花很大) 用兩個變數來控制的hash table大小: r, q hash table開啟的地方為 0, 2 𝑟 +𝑞−1之間 q~ 2 𝑟 −1之間使用h(k,r) 0~q-1 及 2 𝑟 ~ 2 𝑟 +𝑞−1之間使用h(k,r+1) r=2, q=2

31 Directoryless Dynamic hashing
每次輸入的時候, 如果現在這個櫃子滿了 則開一個新的櫃子: 2 𝑟 +𝑞 原本q櫃子裡面的東西用 h(k,r+1)分到q和 2 𝑟 +𝑞兩櫃子裡 注意有可能還是沒有解決問題 多出來的暫時用chain掛在櫃子下面 問:再加入C1呢? (Horowitz p.415) k h(k) A0 A1 B4 B5 C1 C2 C3 C5 000 A0 A1, B5 C2 C3 B4 00 B4, A0 A1, B5 C2 C3 01 C5 01 insert C5, full 10 10 11 11 100 r=2, q=0 r=2, q=1

32 Related Reading Cormen ch 11 (11.1, 11.2, 11.3 except 11.3.3, 11.4)
Horowitz p