第二节 典型环节与系统频率特性 一、典型环节的频率特性 二、控制系统开环频率特性

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1 第二节 典型环节与系统频率特性 一、典型环节的频率特性 二、控制系统开环频率特性
第五章 频率特性法 第二节 典型环节与系统频率特性   频率特性法是一种图解分析法，它是通过系统的频率特性来分析系统的性能,因而可避免繁杂的求解运算。与其他方法比较,它具有一些明显的优点. 一、典型环节的频率特性 二、控制系统开环频率特性

2 一 典型环节的频率特性 1．比例环节 φ ω (1) 奈氏图 G(s)=K K )= A( ω =K ) G(j ω 0o φ ( ω )=
第二节 典型环节与系统的频率特性 一 典型环节的频率特性 1．比例环节 (1) 奈氏图 G(s)=K K )= A( ω Im =K ) G(j ω 0o φ ( ω )= K Re (2) 伯德图 对数幅频特性： dB L( ω ) L( ω )=20lgA( ) =20lgK 20lgK 1 0.1 ω 对数相频特性： ) ( ω φ )=tg-1 ( ω Q( P( ) φ =0o ω 1 0.1

3 2．积分环节 (1) 奈氏图 1 ω )= A( G(s)= 1 s 1 j )= G(j ω -90o φ ( ω )= (2) 伯德图
第二节 典型环节与系统的频率特性 2．积分环节 (1) 奈氏图 Im 1 ω )= A( G(s)= 1 s 1 j )= G(j ω Re -90o φ ( ω )= ∞ (2) 伯德图 ω=0 dB L( ω ) 对数幅频特性： 20 -20 -20dB/dec L( ω )=20lgA( ) =-20lg ω ω 1 0.1 10 ω=1 L( ω )=-20lg1 =0dB ) ( ω φ -90 ω=0.1 L( ω )=-20lg0.1 ω =20dB 1 0.1 10 对数相频特性： -90o φ ( ω )=

4 3．微分环节 (1) 奈氏图 G(s)=s ω )= A( j )= G(j ω 90o φ ( ω )= (2) 伯德图 对数幅频特性：
第二节 典型环节与系统的频率特性 3．微分环节 (1) 奈氏图 G(s)=s ω )= A( Im ∞ j )= G(j ω 90o φ ( ω )= ω=0 Re (2) 伯德图 对数幅频特性： dB L( ω ) 20 -20 20dB/dec L( ω )=20lgA( ) =20lg ω ω 1 0.1 10 L( ω )=20lg1 ω=1 =0dB ) ( ω φ ω=0.1 L( ω )=20lg0.1 =-20dB 90 ω 对数相频特性： 1 0.1 10 90o φ ( ω )=

5 4．惯性环节 T)2 1 1+( ω )= A( G(s)= 1 Ts+1 1 T+1 j )= G(j ω ω T -tg-1 φ (
第二节 典型环节与系统的频率特性 4．惯性环节 T)2 1 1+( ω )= A( G(s)= 1 Ts+1 1 T+1 j )= G(j ω ω T -tg-1 φ ( )= (1) 奈氏图 取特殊点： ω=0 可以证明： 绘制奈氏图近似方法: Im )=1 A( ω 0o φ ( ω )= 根据幅频特性和相频特性求出特殊点，然后将它们平滑连接起来。 惯性环节的奈氏图是以(1/2,jo)为圆心，以1/2为半径的半圆。 ω ∞ ω=0 1 ω= T -45 1 Re 0.707 )=0.707 A( ω -45o φ ( ω )= 1 ω= T ω=∞ -90o φ ( ω )=- )= A( ω

6 ~ ~ (2) 伯德图 对数幅频特性： T)2 1 1+( ω )=20lg L( ω 1 T 相频特性曲线： ( ω T)2
第二节 典型环节与系统的频率特性 (2) 伯德图 dB L( ω ) 对数幅频特性： 转折频率 渐近线 -20 20 T 1 10 T T)2 1 1+( ω )=20lg L( ω 精确曲线 -20dB/dec << ω 1 T 相频特性曲线： ( ω T)2 <<1 渐近线 ) ( ω φ 渐近线产生的最 大误差值为： ω>1/T频段，可用-20dB/dec渐近线近似代替 ω T -tg-1 φ ( )= 20lg1 ~ L( ω ) =0dB -45 -90 ω ω 1 T >> ω=0 0o φ ( ω )= ( ω T)2>>1 2 1 L=20lg =-3.03dB 20lg T 1 ~ L( ω ) 1 ω= T -45o φ ( ω )= =-20lg ω T ω<1/T 频段,可用0dB渐近线近似代替 精确曲线为 ω→∞ 两渐近线相交点的为转折频率ω=1/T。 -90o φ ( ω )=-

7 5．一阶微分环节 G(s)=1+Ts T)2 1+( ω )= A( T+1 j )= G(j ω ω T tg-1 φ ( )=
第二节 典型环节与系统的频率特性 5．一阶微分环节 G(s)=1+Ts T)2 1+( ω )= A( T+1 j )= G(j ω ω T tg-1 φ ( )= (1) 奈氏图 ∞ Im ω=0 1 )= A( ω 0o φ ( ω )= ω=0 ω=∞ Re 1 ∞ )= A( ω 90o φ ( ω )=

8 一阶微分环节的频率特性与惯性环节成反比 , 所以它们的伯德图对称于横轴。
第二节 典型环节与系统的频率特性 (2) 伯德图 一阶微分环节的频率特性与惯性环节成反比 , 所以它们的伯德图对称于横轴。 对数幅频特性： dB L( ω ) T)2 1+( ω )=20lg L( 20dB/dec -20 20 T 1 10 T 相频特性曲线： ω ω T tg-1 φ ( )= 渐近线 ω=0 0o φ ( ω )= ) ( ω φ 45 90 1 ω= T 45o φ ( ω )= ω→∞ 90o φ ( ω )= ω

9 6．振荡环节 G(s)= ω n ζ s2+2 s+ 2 ω n ζ 2 )= G(j - 2+j2
第二节 典型环节与系统的频率特性 6．振荡环节 G(s)= ω n ζ s2+2 s+ 2 ω n ζ 2 )= G(j - 2+j2 将特殊点平滑连接起来，可得近似幅相频率特性曲线。 )2 ( ω n ζ 2 )= A( - 2)2+(2 n = (1- ω 2 1 )2 )2+( ζ 幅相频率特性曲线因ζ值的不同而异。 ω n ζ 2 - φ ( )=-tg-1 (1) 奈氏图 Im 1 ω ∞ ω=0 Re ω=0 1 )= A( ω 0o φ ( ω )= 2 1 )= A( ω ζ ω= ω n -90o φ ( ω )= ζ=0.8 ζ=0.6 ω=∞ )= A( ω -180o φ ( ω )= ω=ωn ζ=0.4

10 精确曲线与渐近线之间存在的误差与ζ值有关，ζ较小，幅值出现了峰值。 ζ不同，相频特性曲线的形状有所不同： Mr= 1 1- ζ 2 谐振峰值
第二节 典型环节与系统的频率特性 (2) 伯德图 )2 ( ω n ζ 2 - 2)2+(2 )=20lg L( 对数幅频特性： ω n << L( ω )≈20lg1 =0dB 相频特性曲线： dB L( ω ) ζ=0.1 ω n ζ 2 - φ ( )=-tg-1 ( ω 2 L( )≈20lg ) n -20 20 -40 ζ=0.3 ω >> n ζ=0.5 ω n 10 ω ω n ω =-40lg n ζ=0.7 ω=0 0o φ ( ω )= ω d =0 ) dA( -40dB/dec ω= ω n -90o φ ( ω )= 可求得 ) ( ω φ ω=∞ -180o φ ( ω )= ω r = 1-2 ζ 2 n -90 -180 谐振频率 精确曲线 ω ζ=0.1 精确曲线与渐近线之间存在的误差与ζ值有关，ζ较小，幅值出现了峰值。 ζ不同，相频特性曲线的形状有所不同： ζ=0.３ Mr= 1 1- ζ 2 谐振峰值 ζ=0.５

11 7．时滞环节 G(s)=e- τ s 1 )= A( ω G(j ω )=e- τ ω τ φ ( )=- (1) 奈氏图 ω=0 1 )=
第二节 典型环节与系统的频率特性 7．时滞环节 Im G(s)=e- τ s 1 )= A( ω 1 ω=0 j G(j ω )=e- τ ω τ φ ( )=- Re (1) 奈氏图 ω=0 1 )= A( ω 0o φ ( ω )= dB L( ω ) 20 ω=∞ 1 )= A( ω - φ ( ω )= ∞ ω 奈氏图是一 单位圆 ) ( ω φ (2) 伯德图 -100 -200 -300 ω L( ω )=20lg1 =0dB ω τ φ ( )=-

12 8．非最小相位环节 最小相位环节: 开环传递函数中没有s右半平面上的极点和零点。 非最小相位环节:
第二节 典型环节与系统的频率特性 8．非最小相位环节 最小相位环节: 开环传递函数中没有s右半平面上的极点和零点。 非最小相位环节: 开环传递函数中含有s右半平面上的极点或零点。 最小相位环节对数幅频特性与对数相频特性之间存在着唯一的对应关系。对非最小相位环节来说，不存在这种关系。

13 以一阶不稳定环节为例说明： G(s)= 1 Ts-1 T)2 1 1+( ω )= A( 1 T-1 j )= G(j ω -1 ω T
第二节 典型环节与系统的频率特性 以一阶不稳定环节为例说明： G(s)= 1 Ts-1 T)2 1 1+( ω )= A( Im -1 ω ∞ 1 T-1 j )= G(j ω -1 ω T -tg-1 φ ( )= ω=0 Re (1) 奈氏图 dB L( ω ) -20 20 1 )= A( ω -180o φ ( ω )= ω=0 T 1 ω ω=∞ )=0 A( ω -90o φ ( ω )= -20dB/dec ) ( ω φ (2) 伯德图 -90 -180 ω T)2 1 1+( ω )=20lg L(

14 常用典型环节伯德图特征表 第二节 典型环节与系统的频率特性 τ 环节 传递函数 斜率dB/dec 特殊点 φ(ω) 比例 K L( ω
第二节 典型环节与系统的频率特性 常用典型环节伯德图特征表 环节 传递函数 斜率dB/dec 特殊点 φ(ω) 比例 K L( ω )=20lgK 0o 1 s 积分 -20 L( ω )=0 ω=1, -90o 1 s2 重积分 -40 L( ω )=0 ω=1, -180o 1 Ts+1 T 1 ω = 惯性 0, -20 转折频率 0o～-90o 1 ω = τ 比例微分 1+ τ s 转折频率 0, 20 0o～90o s2+2 ωn ζ ωns+ 2 0, -40 转折频率 ω = n 振荡 0o～-180o

15 第二节 典型环节与系统的频率特性 二、控制系统开环频率特性 频率特性法的最大特点是根据系统的开环频率特性曲线分析系统的闭环性能 , 这样可以简化分析过程。所以绘制系统的开环频率特性曲线就显得尤为重要。下面介绍开环系统的幅相频率特性曲线和对数频率特性曲线的绘制。

16 1．系统开环幅相频率特性曲线 ∑ 系统开环传递函数一般是由典型环节串联而成的： 幅频特性: G(s)= s υ (Tjs+1) KΠ( τ
第二节 典型环节与系统的频率特性 1．系统开环幅相频率特性曲线 系统开环传递函数一般是由典型环节串联而成的： 幅频特性: m G(s)= s j=1 υ (Tjs+1) n- KΠ( i=1 τ is+1) Π 开环增益 时间常数 Tj )2 1+( ω )= A( i )2 τ m j=1 υ KΠ i=1 Π n- n>m 系统的阶次 积分环节 的个数 υ υ90o+ m ∑ n- j =1 i =1 φ ( ω )=- τ tg-1 Tj i 相频特性: 近似绘制系统的奈氏图:先把特殊点找出来，然后用平滑曲线将它们连接起来。

17 υ= 0 ∑ (1) 0型系统 系统起点和终点 幅频和相频特性: Tj )2 1+( ω )= A( i )2 τ KΠ Π n φ ( ω
第二节 典型环节与系统的频率特性 (1) 0型系统 υ= 0 系统起点和终点 幅频和相频特性: Im υ=0 n-m=3 Tj )2 1+( ω )= A( i )2 τ m j=1 KΠ i=1 Π n K ω=∞ ω=0 Re n-m=2 n-m=1 m ∑ n j =1 i =1 φ ( ω )= τ tg-1 Tj i ω=0 )=K A( ω 0o φ ( ω )= 特殊点: ω=∞ )= A( ω -(n-m)90o φ ( ω )=

18 ∑ (2) Ｉ型系统 υ=1 系统起点和终点 幅频和相频特性: Tj )2 1+( ω )= A( i )2 τ KΠ Π 90o+ φ (
第二节 典型环节与系统的频率特性 (2) Ｉ型系统 υ=1 系统起点和终点 Im 幅频和相频特性: n-m=3 υ=1 Tj )2 1+( ω )= A( i )2 τ m j=1 KΠ i=1 Π n-1 ω=∞ Re n-m=2 n-m=1 90o+ m ∑ n-1 j =1 i =1 φ ( ω )=- τ tg-1 Tj i ω=0 ω=0 )=∞ A( ω -90o φ ( ω )= 特殊点: ω=∞ )= A( ω -(n-m)90o φ ( ω )=

19 ∑ (3) II型系统 υ=2 系统起点和终点 幅频和相频特性: Tj )2 1+( ω )= A( i )2 τ 2 KΠ Π 180o+
第二节 典型环节与系统的频率特性 (3) II型系统 υ=2 系统起点和终点 幅频和相频特性: Im n-m=3 υ=2 m Tj )2 1+( ω )= A( i )2 τ j=1 2 KΠ i=1 Π n- ω=0 ω=∞ Re n-m=2 n-m=1 180o+ m ∑ n-2 j =1 i =1 φ ( ω )=- τ tg-1 Tj i ω=0 )=∞ A( ω -180o φ ( ω )= 特殊点: ω=∞ )= A( ω -(n-m)90o φ ( ω )=

20 开环系统奈氏曲线起点和终点的综合情况如图:
第二节 典型环节与系统的频率特性 开环系统奈氏曲线起点和终点的综合情况如图: 奈氏曲线的起点 奈氏曲线的终点 Im Im υ=3 n-m=3 υ=2 υ=0 n-m=2 ω=∞ Re Re n-m=1 υ=1

21 G(s)= K s(Ts+1) 例 试绘制系统的奈氏图。 解： I型系统 n-m=2 系统的奈氏图 T)2 K 1+( ω )= A( ω
第二节 典型环节与系统的频率特性 G(s)= K s(Ts+1) 例 试绘制系统的奈氏图。 解： I型系统 n-m=2 系统的奈氏图 T)2 K 1+( ω )= A( Im ω T φ ( )=-90o-tg-1 ω=∞ Re 特殊点: ω=0 )=∞ A( ω -90o φ ( ω )= ω=∞ )= A( ω -180o φ ( ω )= ω=0

22 例 已知系统的开环传递函数,试画出该系 统的开环幅相特性曲线。 G(s)= K(1+ 1+Ts τ s) 解： 0型，n=m T)2 1+(
第二节 典型环节与系统的频率特性 例 已知系统的开环传递函数,试画出该系 统的开环幅相特性曲线。 G(s)= K(1+ 1+Ts τ s) 解： 0型，n=m Im T)2 1+( ω )= A( )2 τ K K T τ K T τ K ω=0 ω=∞ K ω=0 ω=∞ Re φ ( ω )= τ tg-1 T 0o φ ( ω )= ω=0 ω=0 )=K A( ω )=K A( ω 0o φ ( ω )= 1) τ>T ω>0 )>K A( ω )<K A( ω 0o φ ( ω )> 0o φ ( ω )< 1) τ<T ω>0 )= A( ω K T τ )= A( ω K T τ 0o φ ( ω )= 0o φ ( ω )= ω=∞ ω=∞

23 2．系统开环对数频率特性 系统的开环传递函数一般由典型环节串联而成： 将各环节的对数频率特性曲线相加，即为开环系统的对数频率特性曲线。
第二节 典型环节与系统的频率特性 2．系统开环对数频率特性 系统的开环传递函数一般由典型环节串联而成： 将各环节的对数频率特性曲线相加，即为开环系统的对数频率特性曲线。 =ΠGi(s) n i=1 G(s)=G1(s)·G2(s)·G3(s)…Gn(s) 开环系统的频率特性： n )=ΠGi(j i=1 G(j ω ) =ΠAi( n i=1 )e j φ i( ω ) 对数幅频特性： )=20lgΠAi( n i=1 L( ω ) =Σ20lgAi( n i=1 ω ) =ΣLi( n i=1 ω ) )=Σ φ ( ω φi( n i=1 ) 对数相频特性：

24 绘制系统开环对数频率特性曲线的一般步骤：
第二节 典型环节与系统的频率特性 绘制系统开环对数频率特性曲线的一般步骤： 1) 将开环传递函数化成典型环节的乘积。 2）画出各典型环节的对数幅频和对数相 频特性曲线； 3) 将各环节的对数幅频、相频曲线相加。

25 各环节曲线相加，即为开环系统的对数频率特性曲线。 低频段曲线的高度 L(1)=20lgK
第二节 典型环节与系统的频率特性 例 已知开环传递函数，试画出系统的 开环对数频率特性曲线。 G(s)= (s+10) s(2s+1) G(s)= 10(0.1s+1) s(2s+1) 可知： 解： 低频段幅频特性可近似表示为： dB L( ω ) 画出各环节的对数频率特性曲线 -20 20 40 -20dB\dec )≈ A( ω υ K L1 -40dB/dec L3 L2 G1(s)=10 G3(s)=0.1s+1 υ )=20lgK-20lg L( ω 0.5 1 10 ω G2(s)= 1 s G4(s)= 2s+1 1 L4 低频段曲线的斜率 ) ( ω φ -20dB/dec -180 -90 90 φ3 φ1 -20 υ dB/dec 各环节曲线相加，即为开环系统的对数频率特性曲线。 ω φ2 φ4 低频段曲线的高度 L(1)=20lgK

26 根据对数幅频特性曲线的低频段和各转折频率即可确定系统的对数频率特性曲线。
第二节 典型环节与系统的频率特性 根据对数幅频特性曲线的低频段和各转折频率即可确定系统的对数频率特性曲线。 实际的作图过程可简化为： 1) 将开环传递函数标准化； 2) 在坐标中标出各环节的转折频率； 3) 过ω=1 ，L(ω)=20lgK 这点，作斜 率为-20υdB/dec 的低频渐近线； 4) 每到某一环节的转折频率处， 根据该环节的特性改变一次渐近线的斜率。 5) 画出对数相频特性的近似曲线。

27 G(s)= 100(s+2) s(s+1)(s+20) 例 试画出系统的伯德图 G(s)= 10(0.5s+1)
第二节 典型环节与系统的频率特性 G(s)= 100(s+2) s(s+1)(s+20) 例 试画出系统的伯德图 G(s)= 10(0.5s+1) s(s+1)(0.05s+1) 解： 将式子标准化 各转折频率为： dB L( ω ) ω 1=1 ω 2=2 ω 3=20 -20 20 40 -20dB/dec 低频段曲线： -40dB/dec 1 2 20 ω 20lgK=20lg10=20dB -20dB/dec -40dB/dec 相频特性曲线： ) ( ω φ -180 -90 ω ω=0 -90o φ ( ω )= ω=∞ -180o φ ( ω )=

28 第二节 典型环节与系统的频率特性 5-2 (1)(3)(5)(7) 作业习题： 返回