3.1.1平均变化率.

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1 3.1.1平均变化率

2 微积分主要与四类问题的处理相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

3 一、问题情境1 现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载. 时间 3月18日 4月18日 4月20日 日最高气温 3.5℃ 18.6℃
33.4℃ 观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度 变化，用曲线图表示为： t(d) 20 30 34 2 10 A (1, 3.5) B (32, 18.6) C (34, 33.4) T (℃) （注： 3月18日为第一天）

4 问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义 是什么？（形与数两方面）
t(d) 20 30 34 2 10 A (1, 3.5) B (32, 18.6) C (34, 33.4) T (℃) 问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义 是什么？（形与数两方面） 问题2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？

5 t(d) 20 30 34 2 10 A (1, 3.5) B (32, 18.6) C (34, 33.4) T (℃) （1 ）曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度。 （2）由点B上升到C点，必须考察yC—yB的大小，但仅仅注意 yC—yB的大小能否精确量化BC段陡峭程度，为什么？ 在考察yC—yB的同时必须考察xC—xB，函数的本质在于一个 量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变。

6 (3)我们用比值 近似地量化B、C这一段曲线的陡峭程度，并称该比值为【32，34】上的平均变化率
t(d) 20 30 34 2 10 A (1, 3.5) B (32, 18.6) C (34, 33.4) T (℃) (3)我们用比值 近似地量化B、C这一段曲线的陡峭程度，并称该比值为【32，34】上的平均变化率 (4)分别计算气温在区间【1，32】 【32，34】的平均变化率 现在回答问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的 数学意义是什么？（形与数两方面）

7 气球平均膨胀率： 吹气球时,会发现:随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢,能从数学的角度解释这一现象吗? 即：r(V)=
问题情境2 吹气球时,会发现:随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢,能从数学的角度解释这一现象吗? 即：r(V)= 解:可知:V(r)= πr3 当空气容量Ｖ从０增加１Ｌ时，半径增加了 r(1)－r(0)= 0.62 气球平均膨胀率：

8 气球平均膨胀率： 当空气容量Ｖ从１加２Ｌ时，半径增加了 r(２)－r(１)= 0.１６ 可以看出，随着气球体积变大，它的平均 膨胀率变小．
问题情境2 当空气容量Ｖ从１加２Ｌ时，半径增加了 r(２)－r(１)= 0.１６ 气球平均膨胀率： 可以看出，随着气球体积变大，它的平均 膨胀率变小． 思考：当空气容量从V1增加到V2 时,气球的平均膨胀率是多少呢? 你还能举出其它的与平均变化率有关的例子吗？

9 二、建构数学 一般地,函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为： 平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙 不精确的”，但应注意当x2—x1很小时，这种量化便 有“粗糙”逼近“精确”。

10 T(月) W(kg) 6 3 9 12 3.5 6.5 8.6 11 例1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，
试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月 该婴儿体重的平均变化率。 T(月) W(kg) 6 3 9 12 3.5 6.5 8.6 11

11 例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积 （单位： ）
后容器甲中水的体积 （单位： ） 计算第一个10s内V的平均变化率。 甲 乙

12 例3、已知函数 ，分别计算 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]。