新竹縣中小學 資訊融入數學領域數位補助教材

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1 新竹縣中小學 資訊融入數學領域數位補助教材
康軒版七年級下學期 第三章第二節 連比例 本著作係依據創用 CC 姓名標示-非商業性-相同方式分享 2.5 台灣 授權條款進行授權。如欲瀏覽本授權條款之副本， 請造訪 ，或寄信至 Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California, 94105, USA或

2 連比的意義 如果現在按照食譜來製作12個粽子，需要沙拉油、鹽與醬油（單位：公克）按 的比例調製而成，像這樣三個數或三個以上的數連續的比便稱為 ，其中15、3、6稱為 。 15：3：6 連比 連比的項 因此，如果a、b、c皆不為0，那麼在數學上稱「 a比b比c 」為a、b、c 的 ，記為 ，其中a、b、c稱為 。 連比 a：b：c 連比的項 ＜重點＞ 如果要製作4個相同口味的粽子，則調味料便只需食譜量的 即可；要製作24個相同口味粽子，則調味料便需食譜量的 即可。因此我們可以得到下列的結論： 三分之ㄧ 兩倍 若a、b、c、m皆不為0 a：b：c＝ （a×m）：（b×m）：（c×m） a：b：c＝ （a÷m）：（b÷m）：（c÷m）

3 連比的意義 ＜例1＞若甲、乙是兩個大小不同的長方體，它們長、寬、高的 連比皆為3：2：7，已知甲的長是1公分，乙的高是6公
分，請求出其餘的長度？ 長 寬 高 甲 1 乙 6 2/3 7/3 甲 18/ /7 長：寬：高＝ 3：2：7 長 ＝ 1 所以將連比同除以3，即可求出。 乙 長：寬：高＝ 3：2：7 高 ＝ 所以將連比同乘以（6/7），即可求出。

4 連比例式的意義 ＜例2＞公園裡的昆蟲，蜻蜓與蝴蝶隻數比2：3，蝴蝶與蜜蜂隻 數比3：5，請寫出蜻蜓、蝴蝶與蜜蜂隻數連比。 蜻：蝶：蜂
如果現在根據食譜，想要再包若干個粽子，需要用a公克沙拉油、b公克鹽與c公克醬油，為了維持相同的口味，則沙拉油、鹽、醬油依序便必須按15、3、6的比例加入粽子的配料中，則可寫成 ，這稱為 。 a：b：c＝ 15：3：6 連比例式 ＜例2＞公園裡的昆蟲，蜻蜓與蝴蝶隻數比2：3，蝴蝶與蜜蜂隻 數比3：5，請寫出蜻蜓、蝴蝶與蜜蜂隻數連比。 蜻：蝶：蜂 蜻：蝶：蜂 . 2：3：5 .2： 3 .1.將兩個比依序 寫在連比下方！ . . → . → ….3 ：5 . ↑ 2.發掘出現在兩個比的共同項，利用最小公倍數來做調整與連結，以製造連比。

5 連比的求法 ＜重點＞ a、b、c皆不為0 知道a：b、b：c與a：c的其中兩個比，就可以推得 a：b：c 。
＜例3＞公園裡的昆蟲，蜻蜓與蝴蝶隻數比5：6，蝴蝶與蜜蜂隻 數比4：7，請寫出蜻蜓、蝴蝶與蜜蜂隻數連比。 蜻：蝶：蜂 蜻：蝶：蜂 蜻：蝶：蜂 . ×2 .1.將兩個比依序 寫在連比下方！ .5：6 10：12 . 10：12：21 . → . → . → ..4：7 .12：21 . ×3 . ↑ 2.發掘出現在兩個比的共同項，利用最小公倍數來做調整與連結，以製造連比。

6 連比的求法 ＜重點＞ a、b、c皆不為0 知道a：b、b：c與a：c的其中兩個比，就可以推得 a：b：c 。
＜例4＞ 若a：b＝4：7，b：c＝2：5，求 a：b：c 。 a：b：c a：b：c a：b：c . ×2 .4：7 .8：14 . 8：14：35 .1.將兩個比依序 寫在連比下方！ . → . → . → ..2：5 .14：35 . ×7 . ↑ 2.發掘出現在兩個比的共同項，利用最小公倍數來做調整與連結，以製造連比。

7 連比的求法 連比的求法 ＜隨堂練習＞ （1）若a：b ＝4：5，b：c＝4：3，求 a：b：c 。 a：b：c a：b：c a：b：c
. ×4 .1.將兩個比依序 寫在連比下方！ .4：5 .16：20 . 16：20：15 . → . → . → ：3 20：15 . ×5 . ↑ 2.發掘出現在兩個比的共同項，利用最小公倍數來做調整與連結，以製造連比。

8 連比的求法 連比的求法 ＜隨堂練習＞ （2）若a：b ＝3：7，b：c＝3：2，求 a：b：c 。 a：b：c a：b：c a：b：c
. ×3 .1.將兩個比依序 寫在連比下方！ .3：7 .9：21 . 9：21：14 . → . → . → ：2 21：14 . ×7 . ↑ 2.發掘出現在兩個比的共同項，利用最小公倍數來做調整與連結，以製造連比。

9 連比的求法 連比的求法 ＜例5＞（1）若a：b ＝4：5，a：c＝6：7，求 a：b：c 。 a：b：c a：b：c a：b：c .4 ：5
. ×3 .1.將兩個比依序 寫在連比下方！ .4 ：5 .12：15 . 12：15：14 . → . → . → .6 ：7 ：14 . ×2 . ↑ 2.發掘出現在兩個比的共同項，利用最小公倍數來做調整與連結，以製造連比。

10 連比的求法 ＜例5＞（2）若a：c ＝1：3，b：c＝2：1，求 a：b：c 。 a：b：c a：b：c a：b：c .1 ：3
.1.將兩個比依序 寫在連比下方！ .1 ：3 ：3 . 1：6：3 . → . → . → ：.1 6：3 . ×3 . ↑ 2.發掘出現在兩個比的共同項，利用最小公倍數來做調整與連結，以製造連比。

11 連比的求法 連比的求法 ＜隨堂練習＞ （1）若a：b ＝3：4，a：c＝2：7，求 a：b：c 。 a：b：c a：b：c a：b：c
. ×2 .1.將兩個比依序 寫在連比下方！ .3 ：4 . 6：8 . 6：8：21 . → . → . → .2 ：7 ：21 . ×3 . ↑ 2.發掘出現在兩個比的共同項，利用最小公倍數來做調整與連結，以製造連比。

12 連比的求法 ＜隨堂練習＞ （2）若a：c ＝2：3，b：c＝3：5，求 a：b：c 。 a：b：c a：b：c a：b：c .2 ：3
.1.將兩個比依序 寫在連比下方！ .2 ：3 ：15 . . ×5 10：9：15 . → . → . → ：.5 9：15 . ×3 . ↑ 2.發掘出現在兩個比的共同項，利用最小公倍數來做調整與連結，以製造連比。

13 連比例式的性質 ＜重點＞ 設a、b、c皆不為0，且x：y：z ＝ a：b：c 我們可得到以下結果 x＝ak （一） （二） y＝bk
z＝ck （三）x：a＝y：b＝z：c

14 連比例式某一項值的求法 ＜例6＞若3：x：y＝ 2：3：5 ，請算出x和y的值。 3 ：x：y 因為3：x：y＝ 2：3：5 2 ：3：5
.解法1 3 ：x：y .解法2 因為3：x：y＝ 2：3：5 . 2 ：3：5 所以 3 ＝ x ＝ y ↘ 2乘以（1.5）＝3 ↓ x ＝ 4.5 ↓ 3乘以（1.5）＝4.5＝x ↓ y ＝ 7.5 ↓ 5乘以（1.5）＝7.5 ＝y

15 連比例式某一項值的求法 ＜隨堂練習1＞若a：b：c＝ 1：2：4 ， （1）若c＝6，則a＝？ （2）若c＝14，則b＝？ 1 ：2：4
. （1） 1 ：2：4 . （2） 因為a：b：c＝ 1：2：4 . 6 所以 a ＝ b ＝ 14 ↘ 4乘以（1.5）＝6 ↓ b ＝ 7 ↓ 1乘以（1.5）＝1.5＝a

16 連比例式某一項值的求法 ＜隨堂練習2＞ 若4：x：y＝ 1/2：1/3：1/4 ， 請算出x：y的值。
↓ 1/2乘以（8）＝4 所以x：y的值 ＝ （8/3）÷2 ＝ 4/3 ↗ ↓ 1/3乘以（8）＝8/3＝x ↓ 1/4乘以（8）＝2 ＝y

17 連比例式的實例練習 ＜例7＞若a：b＝ 5：4，b：c ＝ 6：7求下列連比（化成最簡整數比） 利用前面的概念我們可以先求a：b：c
（1） 2a：3b：4c （2）（a－b）：（b－c）：（c－a） 利用前面的概念我們可以先求a：b：c ＝ 15：12：14 我們可以假設 a＝15k k不為0 → （1） 2a：3b：4c ＝ 2（15k）：3（12k）：4（14k） b＝12k ＝ 30k：36k：56k c＝14k .＝ 15：18：28 （2）（a－b）：（b－c）：（c－a） ＝ （15k－12k）：（12k－14k）：（14k－ 15k ） ＝ 3k：－2k：－1k ＝ 3：－2：－1

18 連比例式的實例練習 ＜隨堂練習＞ 若a：b＝ 3：2，b：c ＝ 3：4求下列連比（化成最簡整數比） 利用前面的概念我們可以先求a：b：c
（1） a：5b：9c （2）（a＋b）：（b＋c）：（c＋a） 利用前面的概念我們可以先求a：b：c ＝ 9：6：8 我們可以假設 a＝9k k不為0 → （1） a：5b：9c ＝ （9k）：5（6k）：9（8k） b＝6k ＝ 9k：30k：72k c＝8k ＝ 3：10：24 （2）（a＋b）：（b＋c）：（c＋a） ＝ （9k ＋ 6k）：（6k ＋ 8k）：（8k ＋ 9k ） ＝ 15k：14k：17k ＝ 15：14：17

19 ＝ （ 3（1k） ＋ 2（3k） ＋5k ）：（2（1k） ＋ 3k ＋ 5k）
連比例式的實例練習 ＜例8＞若a：b：c ＝ 1：3：5，求 （1） （3a＋2b＋c）：（2a＋b＋c） 的比值。 （2） 若a＋b＋c＝180，求出a、b、c的值。 我們可以假設 a＝1k k不為0 b＝3k c＝5k （1）（3a＋2b＋c）：（2a ＋ b ＋ c） ＝ （ 3（1k） ＋ 2（3k） ＋5k ）：（2（1k） ＋ 3k ＋ 5k） ＝ 14k：10k ＝ 7：5 所以比值為7/5。

20 連比例式的實例練習 ＜例8＞若a：b：c ＝ 1：3：5，求 我們可以假設 a＝1k k不為0 b＝3k c＝5k
（1） （3a＋2b＋c）：（2a＋b＋c） 的比值。 （2） 若a＋b＋c＝180，求出a、b、c的值。 我們可以假設 a＝1k k不為0 b＝3k c＝5k （2）若a＋b＋c＝180 則 1k＋3k＋5k＝180 則 9k＝180 → a＝20 則 k＝20 → b＝60 → c＝100

21 連比例式的實例練習 ＜隨堂練習＞若a、b、c 三數皆不為0，且b是a的兩倍， c是b的三倍，求a：b：c （化成最簡整數比） 因為2a＝b
＝ 1：2 因為3b＝c 可得知 b：c ＝ 1：3 利用前面的概念我們可以先求a：b：c ＝ 1：2：6 ＜隨堂練習＞承上題，若三數和270，求a、b、c 。 1：2：6 → 和＝9 9乘以（30）＝270 → 1乘以（30）＝30＝a ↓ 2乘以（30）＝60＝b → 6乘以（30）＝180＝c

22 連比例式的實例練習 ＜例9＞若每個三角形的內角和為180度， 而△ABC的三個內角的度數連比為1：2：3 ， 請求出三個內角的度數。
我們可以假設 三個內角的度數為1k、2k、3k， k不為0 若三個內角和＝180 則 1k＋2k＋3k＝180 則 6k＝180 → 角a＝30度 則 k＝30 → 角b＝60度 → 角c＝90度

23 連比例式的實例練習 ＜隨堂練習＞若三數和6900， a：b：c＝9：6：8，求a、b、c 。 9：6：8 → 和＝23
23乘以（300）＝6900 → 9乘以（300）＝2700＝a ↓ 6乘以（300）＝1800＝b ↓ 8乘以（300）＝2400＝c

24 連比例式的實例練習 ＜隨堂練習＞若有甲乙兩條繩子，甲繩的3/8與乙繩的1/3 疊合後，全長238公分，請回答下列問題：
（1）甲繩未疊合部分：疊合部分＝ 5：3 （2）乙繩未疊合部分：疊合部分＝ 2：1 （3）甲繩未疊合部分：疊合部分：乙繩未疊合部分＝ 5：3：6 （4）甲繩長＝ 238 × （5＋3）/14 ＝ 136公分 乙繩長＝ 238 × （3＋6）/14 ＝ 153公分

25 ＜例10＞若a、b、c 三數皆不為0，且2a＝3b＝5c，
連比例式的實例練習 ＜例10＞若a、b、c 三數皆不為0，且2a＝3b＝5c， 求a：b：c （化成最簡整數比） .解法1 因為2a ＝ 3b → a：b ＝3：2 因為3b ＝ 5c → b：c ＝5：3 a：b：c a：b：c a：b：c . ×5 .1.將兩個比依序 寫在連比下方！ .3：2 .15：10 . 15：10：6 . → . → . → ..5：3 .10 ：6 . ×2 . ↑ 2.發掘出現在兩個比的共同項，利用最小公倍數來做調整與連結，以製造連比。

26 ＜例10＞若a、b、c 三數皆不為0，且2a＝3b＝5c，
連比例式的實例練習 ＜例10＞若a、b、c 三數皆不為0，且2a＝3b＝5c， 求a：b：c （化成最簡整數比） .解法2 因為2a ＝ 5c → a＝（5/2）c 因為3b ＝ 5c → b＝（5/3）c 可得知 a：b：c ＝ （5/2）c ：（5/3）c ：c ＝ （5/2）：（5/3）：1 ＝ 15：10：6

27 ＜例10＞若a、b、c 三數皆不為0，且2a＝3b＝5c，
連比例式的實例練習 ＜例10＞若a、b、c 三數皆不為0，且2a＝3b＝5c， 求a：b：c （化成最簡整數比） 因為2a ＝ 3b ＝ 5c .解法3 所以只要把a、b、c旁的係數去掉時， 便可留下我們要的a、b、c。 2a ＝ 3b ＝ 5c 同除以【2，3，5】＝30 → a ＝ b ＝ c 可得知 a：b：c ＝ 15：10：6

28 連比的重點整理 本節概念 1.連比：設x 、y 、z 是不為零的三個數量，
則三個量的比可寫成x : y : z ，稱為x 、y 、z 的連比。 2.連比例式：形如x : y : z ＝ a : b : c （其中a 、b 、c 都不為零），稱為連比例式。 它的意義是x : y = a : b ， y : z = b : c ， z : x = c : a 。  可設x = ar ， y = br ， z = cr ，且r ‡ 0 。 而且x : a = y : b = z : c 。 3.若已知「x : y = a：b ， y : z = b : c ， z : x = c : a 」中的任 意兩個，則可求出連比例式x : y : z ＝ a : b : c 而且a：b：c＝ （a÷m）：（b÷m）：（c÷m） a：b：c＝ （a×m）：（b×m）：（c×m）

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