實驗9：簡諧運動 Simple Harmonic Motion (SHM)

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1 實驗9：簡諧運動 Simple Harmonic Motion (SHM)
實驗目的：研究滑車在空氣軌上摩擦力很小的情況下，因彈簧的恢復力而做的簡諧運動 測量彈簧的靜態彈性係數 ks 和動態彈性係數kd SHM之週期T與運動物體質量m的關係 SHM之週期與彈性係數 k 的關係 Object: Observe the simple harmonic motion of the object applied by the restoring force of a spring and measure Both static and dynamic spring constants of the spring, ks & kd Relation of the SHM period T and mass of the motional object Relation of the SHM period T and the spring constant k

2 Hook’s Law & Harmonic Oscillating System
An undamped spring-mass system undergoes simple harmonic motion.

3 原 理 如彈簧伸展量(x)不大, 則彈簧遵守虎克定律(Hook’s law)
原 理 如彈簧伸展量(x)不大, 則彈簧遵守虎克定律(Hook’s law) 恢復力：Fr = -kx = -kxx (k: 彈性係數(spring constant), x  x/x) 恢復位能： U = kx2/2 設彈簧的質量可忽略： ms ~ 0 (ms << 滑車質量m) 滑車的運動方程式為二階微分方程式： 解微分方程式: x(t) = Asin[(k/m)1/2t - φ] = Asin[t - φ] + B A：SHM振幅(amplitude) ：角頻率(angular frequency)   2f = (k/m)1/2 (unit: rad/s) T = 1/f ：週期(period) φ：相位(phase) Note:若彈簧質量不可忽略, ms  0   = [k/(m + ms/3)]1/2 m k(ms)

4 原 理 k = m ω2 ,ω2 = k/m ， ω = (k/m)1/2 mg-k x=ma=md2x/dt2
原 理 mg-k x=ma=md2x/dt2 x=A Sin(ωt-φ) + B mg-k(A Sin(ωt-φ) +B)=ma=md2x/dt2 = m(- ω2 A Sin(ωt-φ)) B=mg/k(ωt-φ=nπ時, x= 最大伸長量 =B) k = m ω2 ,ω2 = k/m ， ω = (k/m)1/2

5 原 理 ω2 = k / (1/3 ms+m) (自己推導一遍） 彈簧質量不可忽略時： mgsinθ=kx0
原 理 ms m 彈簧質量不可忽略時： mgsinθ=kx0 ½ kA2 = ½ kx 2 + ½ mv2　＋　∫0L½ (x/L . v) 2 (ms dx/L) 積分後,對時間微分得： (1/3 ms+m) a + kx=0 ω2 = k / (1/3 ms+m) (自己推導一遍） T = 2π/ω

6 原 理 θ ω2 = k / (1/3 ms+m) , (自己推導一遍） 空氣軌不平, 彈簧質量不可忽略時： mgsinθ=kx0
原 理 空氣軌不平, 彈簧質量不可忽略時： mgsinθ=kx0 ½ kA2 = ½ k ( x+x0 )2 –mg(x+x0)sinθ+ 　＋　∫0L+Xo½ (x/L +x0 . v) 2 (ms dx/L+x0) + ½ mv2 積分後,對時間微分得： (1/3 ms+m) a + kx=0 ω2 = k / (1/3 ms+m) , (自己推導一遍） T = 2π/ω θ

7 不要過份伸張彈簧，以避免彈簧造成彈性疲乏。
實驗步驟 不要過份伸張彈簧，以避免彈簧造成彈性疲乏。 觀察質量為m的滑車受彈簧的彈性恢復力作用，在無摩擦力的空氣軌上做簡諧運動的情形。 1. 先測量彈簧的彈性係數 k (a) 靜態彈性係數(static spring constant) ks 測量: 彈簧加砝碼(m1)垂直懸掛,平衡時, 伸長值 y1 總力 F = F1 + Fr = m1g - ky1 = 0 ks = m1g/y1 (測量質量及平衡位移) (b) 動態(dynamic)彈性係數kd 測量: 彈簧加砝碼(m1)垂直懸掛, 伸長y2作簡諧振盪(振幅 A = y2 - y1) 週期 T = 2(m1/k)  kd = 42m1/T2  測量質量及週期 求 kd y1 2A

8 耦合振盪(coupled oscillation)
滑車(m)左右各繫一根彈簧(k1, ms1), (k2, ms2)耦合振盪 二彈簧恢復力永遠與位移方向相反, 為負值(一壓縮, 另一伸長) md2x/dt2 = - k1x - k2x = -(k1 + k2)x 耦合彈性係數: k = k1 + k2 耦合彈簧位能: U = (k1 + k2)x2/2 改變滑車質量(加砝碼) m 求 T vs m 之變化 (b) 換彈簧/改變彈性係數 k:  求 T vs k 之變化 (c) 改變振幅 A:  求T vs A 之變化 k1 k2 m x 滑車和彈簧的振盪振幅不能太大