第三章 统计热力学基础 一、统计体系的分类 按统计单位（粒子）是否可以分辨，可分为： 定位体系：粒子可以分辨，如晶体；

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1 第三章 统计热力学基础 一、统计体系的分类 按统计单位（粒子）是否可以分辨，可分为： 定位体系：粒子可以分辨，如晶体；
第三章 统计热力学基础 一、统计体系的分类 按统计单位（粒子）是否可以分辨，可分为： 定位体系：粒子可以分辨，如晶体； 非定位体系：粒子不可分辨，如气体。 按统计单位（粒子）之间是否有作用力，可分为： 独立子体系：如理想气体； 非独立子体系：如实际气体、液体等。

2 二、微观状态和宏观状态 体系的宏观状态由其宏观性质 ( T、P、V 等) 来描述； 体系的微观状态是指体系在某一瞬间的状态；
在经典力学中体系的微观状态用相空间来描述； 在量子力学中体系的微观状态用波函数来描述； 相应于某一宏观状态的微观状态数（）是个很大的数，若知体系的  值，则由玻尔兹曼公式： 可计算体系的熵。

3 三、分布（构型、布居） 一种分布: 指 N 个粒子在许可能级上的一种分配； 每一种分布的微观状态数（ti）可用下列公式计算： 定位体系：
非定位体系：

4 四、最概然分布 微观状态数（ti）最多的分布称最概然分布；
可以证明：当粒子数 N 很大时，最概然分布的微观状态数（tmax）几乎等于体系总的微观状态数（ ）。

5 五、热力学概率和数学概率 且有：0  P  1 热力学概率：体系的微观状态数（）又称热力学概率，它可以是一个很大的数；

6 六、统计热力学的基本假定 在 U、V、N 一定的体系中，每一种微观状态出现的概率相等（等概率原理）。
体系的宏观量是相应微观量的统计平均值，如用Ā 表示某一宏观量，则 Pi 是体系第 i 个微态出现的概率；Ai 是相应物理量在第 i 个微态中的取值。

7 七、玻尔兹曼分布 玻尔兹曼分布是自然界最重要的规律之一，其数学表达为： （定位或非定位）
玻尔兹曼分布是微观状态数最多（由求 ti 极大值得到）的一种分布；根据等概率原理，玻尔兹曼分布为最概然分布；

8 通过摘取最大相原理可证明：在粒子数 N 很大（N  1024）时，玻尔兹曼分布的微观状态数 (tmax)几乎可以代表体系的全部微观状态数 ()；
故玻尔兹曼分布即为宏观平衡分布。 在 A、B 两个能级上粒子数之比：

9 玻色-爱因斯坦统计*；（如空腔辐射的频率分布）
费米-狄拉克统计*（金属半导体中的电子分布） 由 gi >> Ni  e  i 1 >> 1  e  i 1  e  i 当温度不太高或压力不太高时，上述条件容易满足。 此时玻色-爱因斯坦及费米-狄拉克统计可还原为玻尔兹曼统计。

10 八、分子配分函数 q 的定义  i 为能级 i 的能量； gi 为能级 i 的简并度  i 量子态 i 的能量

11 配分函数 q 是无量纲量，是对体系中一个粒子的所有可能状态的玻尔兹曼因子求和。

12 九、分子配分函数 q 的表达式 1. 平动：当所有的平动能级几乎都可被分子达到时： 一维： 二维： 三维：

13 2. 振动： 双原子分子 线型多原子 非线多原子型

14 3. 转动： 线型 对称数 ：同核双原子为 2；异核双原子为 1。 非线型

15 4. 电子（基态）运动 ： （ j 为量子数） 5. 原子核（基态）运动 ： （ Sn 为核自旋量子数）

16 十、能级能量计算公式： 平动： 振动： 转动：

17 q = q n q e q t q v q r 十一、配分函数 q 的分离： 十二、利用配分函数 q 直接计算体系的宏观性质
这是配分函数的重要性质。 十二、利用配分函数 q 直接计算体系的宏观性质 热力学函数表达式：

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20 从这些公式可以看出，由热力学第一定律引出的函数 U、H、Cv 在定位和非定位体系中表达式一致；
而由热力学第二定律引出的函数 S、F、G 在定位和非定位体系中表达式不一致，但两者仅相差一些常数项。

21 例1： 双原子分子 Cl2的振动特征温度v = K，用统计热力学方法求算 1 mol 氯气在50℃时的CV,m 值。（电子处在基态）

22 (lnq/T)V = (lnqt/T) V + (lnqr/T)V + (lnqv/T)V
[答] q = qt.qr.qv U = RT2(lnq/T)V (lnq/T)V = (lnqt/T) V + (lnqr/T)V + (lnqv/T)V = [(3/2T) + (1/T) + (1/2)h/(kT2)+ h/(kT2)] / [exp(h/kT)-1] 所以 U = (5/2)RT + (1/2)Lh + Lh/[exp(h/kT)-1] CV = (U/T)V = J·K-1·mol-1

23 例2. O2的 v = 2239 K, I2的 v = 307 K，问什么温度时两者有相同的热容? (不考虑电子的贡献) [答]
若平动和转动能经典处理，不考虑O2的电子激发态,这样两者CV的不同只是振动引起，选振动基态为能量零点时， UV,m = Lh/[exp(r/T)-1] CV,m(ｖ)=(UV,m/T)V,N =R(v/T)2exp(v/T) / [exp(v/T)-1]2 由于两者v不同，故不可能在某一个 T 有相同的CV,m(ｖ)。但当 T , exp(v/T) 1 +v/ T 时，CV,m(ｖ)  R，即温度很高时两者有相同的 CV,m(ｖ)。