第1章 数字电路基础 本章主要内容： 本章难点： 数制与编码 逻辑代数的运算规则、公式 逻辑函数的描述 逻辑函数化简 逻辑代数的运算规则

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1 第1章 数字电路基础 本章主要内容： 本章难点： 数制与编码 逻辑代数的运算规则、公式 逻辑函数的描述 逻辑函数化简 逻辑代数的运算规则
第1章 数字电路基础 本章主要内容： 数制与编码 逻辑代数的运算规则、公式 逻辑函数的描述 逻辑函数化简 本章难点： 逻辑代数的运算规则 逻辑函数的卡诺图描述方法 逻辑函数的化简

2 1.1 数字电子技术概述 1.1.1 数字电子技术的基本概念 数字电子技术与模拟电子技术组成电子技术学科的专业基础 区别：处理信号的不同。
1.1 数字电子技术概述 数字电子技术的基本概念 数字电子技术与模拟电子技术组成电子技术学科的专业基础 区别：处理信号的不同。 模拟电子技术处理的是模拟信号 数字电子技术处理的是数字信号 模拟信号：指在时间、数值上都是连续变化的信号，如温度、速度、压力等信号。传输和处理模拟信号的电路称为模拟电路。 数字信号：指在时间和数值上都是不连续的（离散的）信号，如电子表的秒信号等。对数字信号进行传输和处理的电路称为数字电路。 数字电路分类：按电路结构分立元件电路和集成电路；按完成逻辑功能组合逻辑电路和时序逻辑电路；按制造工艺双极型（TTL型）和单极型（MOS型）。

3 1.1 数字电子技术概述 1.1.2 数字集成电路的发展趋势 数字电路的发展过程：电子管、半导体分立元件、集成电路。
1.1 数字电子技术概述 数字集成电路的发展趋势 数字电路的发展过程：电子管、半导体分立元件、集成电路。 数字集成电路的发展：20世纪70年代分立元件集成时代（集成度为数千晶体管）、20世 纪80年代功能电路及模块集成时代（集成度达到数十万晶体管）、20世纪90年代进入以片上系统SOC（System－On－Chip）为代表的包括软件、硬件许多功能全部集成在一个芯片内的系统芯片时代（单片集成度达数百万晶体管以上）。 集成电路的国际发展趋势：世界上集成电路大生产的主流技术正从2.032×102mm、0.25μm向3.048×102mm、0.18μm过渡。据预测，集成电路的技术进步还将继续遵循摩尔定律：即每18个月集成度提高一倍，而成本降低一半。 硅集成电路技术及发展趋势 集成电路的国内发展趋势：在我国，集成电路发展40多年，目前已经发展到了一定的水平，但与欧美等发达国家相比，还有很大差距。另一方面，世界前三大集成电路代加工公司却都在亚洲（我国台湾的TSMC和UNC，新加坡的CSM），美国等发达国家的公司都使用这些代加工公司的产品，成本却并不高。面对今后的发展，我国内地应把主要精力集中在集成电路的设计方面，生产加工就由这些代加工的公司来完成，这样可以取长补短，快速发展我国的集成电路产业。 集成电路技术发展趋势

4 1.2 数制与编码 记数体制 我们平时习惯上使用的是十进制数（如563），但在数字系统中特别是计算机中，多采用二进制、十六进制，有时也采用八进制的计数方式。无论何种记数体制任何一个数都是由整数和小数两部分组成的。 1．十进制数 特点：① 由10个不同的数码0、1、2、…、9和一个小数点组成。 ② 采用“逢十进一、借一当十”的运算规则。 例如：十进制数213.71，小数点左边第1位为个位，它的数值为3×100＝3 ；小数点左边第二位的1代表十位，它的数值为1×101＝10；小数点左边第三位的2代表百位，它的数值为2×102 =200；小数点右边的第一位7代表十分位，它的数值为7×10－1=0.7；小数点右边第二位代表百分位，它的数值为1×10－2 = 0.01。这里102、101、100、10－1、10－2称为权或位权，10为其计数基数， 即：(213.71)10＝2×102＋ 1×101＋3×100＋7×10－1＋1×10－2 在实际的数字电路中采用十进制十分不便，因为十进制有十个数码，要想严格的区分开必须有十个不同的电路状态与之相对应，这在技术上实现起来比较困难。因此在实际的数字电路中一般是不直接采用十进制的。

5 1.2 数制与编码 1 .2 .1记数体制 2．二进制数 (101.01)2 特点： ① 由两个不同的数码0、1和一个小数点组成。
1.2 数制与编码 记数体制 2．二进制数 (101.01)2 特点： ① 由两个不同的数码0、1和一个小数点组成。 ② 采用“逢二进一、借一当二”的运算规则。 例如：(101.01)2＝1×22＋0×21＋1×20＋0×2－1＋1×2－2 ＝(5.25)10 其中22、21、20、2－1、2－2为权，2为其计数基数。 尽管一个数用二进制表示要比用十进制表示位数多得多，但因二进制数只有0、1两个数码，适合数字电路状态的表示，（例如用二极管的开和关表示0和1、用三极管的截止和饱和表示0和1），电路实现起来比较容易。

6 1.2 数制与编码 记数体制 3．八进制 (107.4)8 特点： ① 由8个不同的数码0、1、2、3、4、5、6、7和一个小数点组成。 ② 采用“逢八进一、借一当八”的运算规则。 例如：(107.4)8＝1×82＋0×81＋7×80＋4×8－1 ＝(71.5)10 其中82、 81、 80、 8－1为权，每位的权是8的幂次方。 8为其计 数基数。 八进制较之二进制表示简单，且容易与二进制进行转换。

7 1.2 数制与编码 1 .2 .1记数体制 4．十六进制 (BA3.C)１６ 特点：
1.2 数制与编码 记数体制 4．十六进制 (BA3.C)１６ 特点： ① 由16个不同的数码0、1、2、…、9、A、B、C、D、E、F和一个小数点组成，其中A～F分别代表十进制数的10～15。 ② 采用“逢十六进一、借一当十六”的运算规则。 例如：(BA3.C)１６ ＝B×162＋A×161＋3×160＋C×16－1 ＝11×162＋10×161＋3×160＋12×16－1 ＝( )10 其中162、 161、 160、 16－1为权，每位的权是16的幂次方。 16为其计数基数。 十六进制较之二进制表示简单，且容易与二进制进行转换。

8 1.2 数制与编码 1 .2 .2 数制转换 1．二进制与十进制之间的转换 （1）二进制转换为十进制
1.2 数制与编码 数制转换 十进制数符合人们的计数习惯且表示数字的位数也较少；二进制适合计算机和数字系统表示和处理信号；八进制、十六进制表示较简单且容易与二进制转换。因此在实际工作中，经常会遇到各种计数体制之间的转换问题。 1．二进制与十进制之间的转换 （1）二进制转换为十进制 二进制转换为十进制时只要写出二进制的按权展开式，然后将各项数值按十进制相加，就可得到等值的十进制数。 例1.1 将二进制数( )2转换为十进制数 解：( )2＝1×23＋0×22＋1×21＋1×20＋0×2－1＋1×2－2 ＝8＋2＋1＋0.25 ＝(11.25)10

9 1.2 数制与编码 1 .2 .2 数制转换 1．二进制与十进制之间的转换 （2）十进制转换为二进制
1.2 数制与编码 数制转换 1．二进制与十进制之间的转换 （2）十进制转换为二进制 十进制转换为二进制分为整数部分转换和小数部分转换，转换后再合并。 例如：将十进制数(47.325)10转换成二进制数。 ① 小数部分转换——乘2取整法 基本思想：将小数部分不断的乘2取整数，直到达到一定的精确度。 将十进制的小数0.325转换为二进制的小数可表示如下： 0.325×2＝0.65 0.65×2＝1.30 0.3×2＝0.6 0.6×2＝1.2 整数 1 高位 低位 可见小数部分乘2取整的过程不一定使最后的乘积为0，这时可以按一定 的精度要求求近似值。本题中精确到小数点后四位，则(0.325)10＝(0.0101)2

10 1.2 数制与编码 1 .2 .2 数制转换 1．二进制与十进制之间的转换 （2）十进制转换为二进制 ② 整数部分转换——除2取余法
1.2 数制与编码 数制转换 1．二进制与十进制之间的转换 （2）十进制转换为二进制 ② 整数部分转换——除2取余法 基本思想：将整数部分不断的除2取余数，直到商为0。 将十进制整数47转换为二进制整数可表示如下： 余数 低位 高位 则：(47)10＝(101111)2 。最后结果为：(47.325)10＝( )2

11 1.2 数制与编码 1 .2 .2 数制转换 2．二进制与十六进制之间的转换 例1.2 将(11001.110101)2转换为十六进制数。
1.2 数制与编码 数制转换 2．二进制与十六进制之间的转换 十进制 二进制 十六进制 十进制 二进制 十六进制 A B C D E F 二进制转换成十六进制数的方法是从小数点开始，分别向左、向右将二进制数按每四位一组分组（不足四位的补0），然后写出每一组等值的十六进制数。 例1.2 将( )2转换为十六进制数。 即：(0001， ， 0100)2＝(19 . D4)16

12 1.2 数制与编码 1 .2 .2 数制转换 3．二进制与八进制之间的转换
1.2 数制与编码 数制转换 3．二进制与八进制之间的转换 十进制 二进制 八进制 十进制 二进制 八进制 二进制转换成八进制数的方法是从小数点开始，分别向左、向右将二进制数按每三位一组分组（不足三位的补0），然后写出每一组等值的八进制数。 例1.2 将( )2转换为八进制数。 即：(011 ， ， 1 01)2＝( )8 八进制与十六进制之间的转换可以通过二进制作中介。

13 作业 P20页：1.(2) 2.(2) 3.(1)、(3)

14 1.2 数制与编码 1 .2 .3 常用编码 数字系统只能识别0和1两种不同的状态，只能识别二进制数 实际传递和处理的信息很复杂
1.2 数制与编码 常用编码 数字系统只能识别0和1两种不同的状态，只能识别二进制数 实际传递和处理的信息很复杂 因此为了能使二进制数码表示更多、更复杂的信息，我们把0、1按一定的规律编制在一起表示信息，这个过程称为编码。 最常见的编码有二--十进制编码。二--十进制编码是用四位二进制数表示0～9的十个十进制数，也称BCD码。 常见的BCD码有8421码、格雷（Gray）码、余3码、5421码、2421码等编码。其中8421码、5421码和2421码为有权码，其余为无权码。 1．8421BCD码 8421BCD码是最常用的BCD码，为有权码，各位的权从左到右为8、4、2、1。在8421BCD码中利用4位二进制数的16种组合0000～1111中的前10种组合0000～1001代表十进制数的0～9，后6种组合1010～1111为无效码。 例1.3 把十进制数78表示为8421BCD码的形式。 解：(78)10＝( )8421 (78)10＝( )5421 (78)10＝( )2421

15 1.2 数制与编码 常用编码 2．格雷码（Gray） 格雷码最基本的特性是任何相邻的代码间仅有一位数码不同。在信息传输过程中，若计数电路按格雷码计数时，每次状态更新仅有一位发生变化，因此减少了出错的可能性。格雷码为无权码。 （书上P6页） 3．余3码 因余3码是将8421BCD码的每组加上0011（即十进制数3）即比它所代表的十进制数多3，因此称为余3码。余3码的另一特性是0与9、1和8等互为反码。 1.2 数制与编码

16 1.3 逻辑代数运算 1.3.1 逻辑代数的基本运算 逻辑代数也称为布尔代数。 逻辑变量用字母A、B、C或X、Y、Z表示。 逻辑变量的含义：
1.3 逻辑代数运算 逻辑代数的基本运算 逻辑代数也称为布尔代数。 逻辑变量用字母A、B、C或X、Y、Z表示。 逻辑变量的含义： 逻辑代数中的变量只有两种取值0或1。 0和1不能看作是数值，它们之间不存在数量上的大小关系，而是表示两种不同的状态，即“是”与“非”、“开”与“关”、“真”与“假”、“高”与“低”等。 逻辑代数有三种最基本的运算：“与”运算、“或”运算和“非”运算。 1．“与”运算 只有当决定某一事件的所有条件全部具备时，这一事件才会发生，这样的逻辑关系称为“与”逻辑。

17 1.3 逻辑代数运算 逻辑代数的基本运算 A B F =AB 1 “与”运算电路 真值表 图中只有开关A和B都闭合时灯F才会亮；开关A和B只要有一个不闭合灯F就不亮。所以开关A、B闭合与灯亮之间构成了“与”关系。 F=A.B或F=AB=A∩B 逻辑表达式 设开关开为0，关为1。等亮为1，灭为0。列表： 0.0=0, 0.1=0, 1.0=0, 1.1=1 运算规则

18 1.3 逻辑代数运算 1.3.1 逻辑代数的基本运算 2．“或”运算
1.3 逻辑代数运算 逻辑代数的基本运算 2．“或”运算 只有当决定某一事件的所有条件中，只有一个或一个以上条件具备时，这一事件就会发生，这样的逻辑关系称为“或”逻辑。 1 F =A+B B A 真值表 “或”运算电路 图中只要开关A或B中有一个闭合时灯F就会亮。所以开关A、B闭合与灯亮之间构成了“或”关系。 F=A+B或F=A∪B 逻辑表达式 设开关开为0，关为1。等亮为1，灭为0。列表： 运算规则 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=1

19 1.3 逻辑代数运算 1.3.1 逻辑代数的基本运算 3．“非”运算
1.3 逻辑代数运算 逻辑代数的基本运算 3．“非”运算 当决定某一事件的条件具备，这一事件不发生；当决定某一事件的条件不具备，这一事件即发生，这种逻辑关系称为“非”逻辑。 A F=/A 1 真值表 “非”运算电路 图中开关A闭合时灯F就会灭，开关A打开时灯F就会亮。所以开关A闭合与灯亮之间构成了“非”逻辑关系。 F=/A 逻辑表达式 设开关开为0，关为1。等亮为1，灭为0。列表： 运算规则 /0=1, /1=0

20 1.3 逻辑代数运算 1.3.2 逻辑代数的基本公式和运算规则
1.3 逻辑代数运算 逻辑代数的基本公式和运算规则 逻辑变量的取值只有0和1。 逻辑变量之间的基本运算只有与、或、非。 证明等式成立的最直接的方法是（1）两边函数的真值表是否相等（2）利用已证明成立的公式。 1．基本公式 （1）常量运算公式 ① 与运算：0·0＝ ·1＝ ·1＝ ·0＝0 ② 或运算：0＋0＝ ＋1＝1 1＋0＝1 1＋1＝1 ③ 非运算： /0 =1 /1=0 （2）基本定律 0－1律： ； 自等律： ； 重叠律： ； 互补律： ； 交换律： ； 结合律： ； 分配律： ； 反演律： ； 非非律：

21 1.3 逻辑代数运算 1.3.2 逻辑代数的基本公式和运算规则
1.3 逻辑代数运算 逻辑代数的基本公式和运算规则 以上9条定律可以通过真值表证明，例如证明反演律 反演率真值表 1 由真值表证明：无论A、B取何值时，反演律都是成立的。

22 1.3 逻辑代数运算 1.3.2 逻辑代数的基本公式和运算规则
1.3 逻辑代数运算 逻辑代数的基本公式和运算规则 （3）常用公式 ① ② ③ 2．运算规则 （1）代入规则：在任何一个逻辑等式中，将等号两边所有出现变量A的地方都用另一个函数F代替，则等式仍然成立，此规则称为代入规则。 A(B+C)=AB+AC中，将所有出现A的地方都用函数F=A+D来代替，则等式依然成立，即得：(A+D)(B+C)=(A+D)B+(A+D)C=AB+BD+AC+CD = + 则

23 1.3 逻辑代数运算 1.3.2 逻辑代数的基本公式和运算规则
1.3 逻辑代数运算 逻辑代数的基本公式和运算规则 （2）对偶规则：如果将一个逻辑函数F中所有的“.”符号换成“＋”、“＋”符号换成“.”；常量“0”换成“1”、“1”换成“0”，所得函数为F′，F′为F的对偶函数。这就是对偶规则。 求 已知 则 （3）反演规则：如果将一个逻辑函数F中所有的“.”符号换成“＋”、“＋”符号换成“.”；常量 “0”换成“1”、“1”换成“0”；原变量变为反变量、反变量变为原变量，所得函数为。为F的反函数。这就是反演规则。 求 已知 则 =

24 1.3 逻辑代数运算 1.3.3 复合逻辑运算与常用逻辑门 1．复合逻辑运算 （1）与非、或非运算 （2）异或、同或运算 A B F 1
1.3 逻辑代数运算 复合逻辑运算与常用逻辑门 1．复合逻辑运算 （1）与非、或非运算 （2）异或、同或运算 A B F 1 异或运算符 异或真值表 A B F 1 F=A⊙B= 同或真值表 同或运算符

25 1.3 逻辑代数运算 1.3.3 复合逻辑运算与常用逻辑门 2．常用逻辑门 国外符号 常用符号 （1）与门 （2）或门 （3）非门
1.3 逻辑代数运算 复合逻辑运算与常用逻辑门 2．常用逻辑门 （1）与门 （2）或门 （3）非门 （4）与非门 国外符号 常用符号

26 1.3 逻辑代数运算 复合逻辑运算与常用逻辑门 （5）或非门 （6）异或门 （7）同或门 F=A⊙B= 国外符号 常用符号

27 1.3 逻辑代数运算 正逻辑与负逻辑 在逻辑电路中，电路的两种不同的状态（高电平和低电平）可以用0和1表示，高、低电平和0、1之间如何对应便引出了正、负逻辑的问题。 高电平用1表示、低电平用0表示 正逻辑 高电平用0表示、低电平用1表示 负逻辑 同一逻辑电路，在不同的逻辑假定下，其逻辑功能是完全不同的。同一电路，在正逻辑时它是与门功能；而在负逻辑时，它却是或门功能。一般而言，正逻辑的与门等价于负逻辑的或门；正逻辑的或非门等价于负逻辑的与非门；正逻辑的异或门等价于负逻辑的同或门等。也就是说。 对偶式 同一电路：正逻辑表达式 负逻辑表达式 一般情况下，人们都习惯于采用正逻辑。因此，如无特殊说明，本书一律采用正逻辑。

28 作业 P20：4（2） 5（1）（2）（4） 6（3）

29 1.4 逻辑函数的描述 1.4.1 真值表描述 同一逻辑运算可以用运算电路、真值表、逻辑表达式、逻辑门表示。
1.4 逻辑函数的描述 真值表描述 同一逻辑运算可以用运算电路、真值表、逻辑表达式、逻辑门表示。 同一逻辑函数可以用真值表、代数表达式和卡诺图等来描述。 逻辑函数 1 F C B A 自变量 函数或结果 在真值表中要包含变量的所以取值组合，按二进制从小到大排列。真值表是唯一的。变量增多，行数增多，表示不方便。

30 1.4 逻辑函数的描述 1.4.2 代数表达式描述 2．最小项 1、代数表达式 代数表达式 由与、或、非运算组成
1.4 逻辑函数的描述 代数表达式描述 1、代数表达式 代数表达式 由与、或、非运算组成 （1）在一个代数表达式中，与、或、非的运算优先顺序为非、与、或。 （2）代数表达式是不惟一的。 为了使表达式唯一而引入 2．最小项 最小项是指由全部变量所组成的乘积项。 在此乘积项中，每个变量以原变量或反变量的形式出现，且只出现一次。 n个变量的最小项为2n 个。

31 原变量取1，反变量取0所组成的二进制数所对应的十进制数
一个变量A的最小项有两个： 、 A 二个变量A、B 的最小项有四个： 、 、 、 三个变量A、B、C 的最小项有八个： 、 、 、 、 、 、 、 、 用mi表示 原变量取1，反变量取0所组成的二进制数所对应的十进制数 ABC 000 001 010 011 100 101 110 111 最小项 mi m m m m m m m m7 三变量函数的最小项 最小项的性质： ① 对于某一个最小项，只有一组变量的取值使它的值为1，其余情况均为0。如最 小项只有的值为010时其值为1，的其余取值的组合都为0。 ② 对于任何两个最小项mi 和mj ，有 mi ． mj ＝0（i≠j）。因为mi和mj （i≠j） 对于变量的任何一组取值都不可能同时为1。 ③ n个变量的全部最小项之和为1。因为对于变量的任何一组取值全部最小项中总 有一个取值为1，所以全部最小项之和为1。

32 = + + + + + F （A、B、C） = m0 + m1 + m3 + m4 + m5 + m7 =
3．最小项表达式（标准与--或表达式） 逻辑函数的最小项表达式就是使函数值为1的各个最小项之和 ① 找出F＝１的行。 ② 对每个F＝１的行，取值为1的变量用原变量表示，取值为0的变量用反变量表示，然后相与，得到最小项。 ③ 将各个最小项进行逻辑加，便得到最小项表达式（标准与--或式）。 例 = F + + + + + A B C F 1 F （A、B、C） = m0 + m1 + m3 + m4 + m5 + m7 简写 = ∑m（0、1、3、4、5、7）

33 1.4 逻辑函数的描述 卡诺图描述 卡诺图是一种能直观地表示函数最小项的方块图，卡诺图根据变量的个数，画成正方形或矩形，由于n个变量有2n个最小项，所以可以画出2n个小方块。 1 AB或CD的取值顺序按格雷码00、01、11、10顺序排列 两变量逻辑函数F(A,B) 的卡诺图 三变量逻辑函数F(A,B,C)的卡诺图 四变量逻辑函数F(A,B,C,D)的卡诺图 m7的相邻最小项

34 1.4 逻辑函数的描述 1.4.3 卡诺图描述 例： 画出逻辑函数F(A,B, C)=Σm (1,2,6,7)的卡诺图。
1.4 逻辑函数的描述 卡诺图描述 例： 画出逻辑函数F(A,B, C)=Σm (1,2,6,7)的卡诺图。 解：即在三变量逻辑函数的卡诺图中的m1、m2、m6、m7处填入1，其余填入0（为 方便填0处可空白） m1、m2、m6、m7处填入1，其余填入0

35 逻辑函数的化简 公式法化简 逻辑函数越简单 ，电路越简单，器件越少，可靠性越好----逻辑函数化简。 例： 卡诺图化简法 例：用卡诺图化简法化简逻辑函数 =Σm (1,3,6,7) 解：此函数的最小项表达式为 化简结果： 卡诺圈 每一最小项的周围都是相邻项，如m1，m 、 ，两个相邻的最小项相或可以消去一个互为反变量的变量。因此卡诺图的化简即是将相邻的最小项合并，从而消去多余变量达到化简的目的。

36 卡诺圈的合并规律： ① 卡诺圈中方格数必为2n个，可以消去n个变量。 ② 卡诺圈的圈应尽量大，圈越大，消去的变量越多，结果越简单。 ③ 一个最小项可以在几个卡诺圈中，但每个卡诺圈都要有新的最小项，每个最小项至少被一个卡诺圈圈中。

37 ① 根据逻辑函数或真值表画出相应的卡诺图。 ② 根据卡诺图的化简规律，合并最小项。
例：用卡诺图化简逻辑函数 解：卡诺图 卡诺图化简逻辑函数的步骤如下： ① 根据逻辑函数或真值表画出相应的卡诺图。 ② 根据卡诺图的化简规律，合并最小项。 ③ 将合并后消去多余变量的乘积项相加即得到最简与或表达式。 带无关项的逻辑函数化简 在前面所讨论的逻辑函数中，最小项函数的取值都很确定，即0或1。但实际应用中只要求某些最小项取值是确定的，其余的取值可以是随意的，0或1都可以。或者，在逻辑函数中某些最小项的取值根本不可能出现，它的取值也可以是随意的。 无关项“d”或“X”

38 例：用卡诺图化简逻辑函数F(A,B,C,D) =∑m (6,7,12,14,15)+∑d (0,8,9,13)。
解：根据题意画出卡诺图 不利用无关项 利用无关项 带无关项的卡诺图化简原则如下： ① 无关项“×”只是用来使卡诺图更简化，只有在无关项对化简有利时才将其圈在卡诺圈中，否则不用圈起。 ② 无关项的卡诺图合并规律与基本的卡诺图的合并规律一致。