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二、代数扩域 定义15.7：当域F的扩域K中每个元素都是F的代数元时,称K为F的代数扩域。当1,…, n为域F上的代数元时,记F(1,…, n)为包含F和1,…, n的最小代数扩域,当n=1时,又称它为F的单代数扩域。
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定理15.7:已知为域F上的代数元,p(x)F[x]为在F上的极小多项式,degp(x)=n>1,则:
(1)F()≌F[x]/(p(x))。 (2)F()中的元素可唯一表示为 a0+a1+…+an-1n-1,其中aiF,0≤i≤n-1。 证明:(1)利用环同态基本定理. 构造F[x]到F()的映射:(f (x))=f () 证明是同态映射. 证明Ker=(p(x)) 域上的多项式环都是主理想环 证明(F[x])=F()
![定理15.7:已知为域F上的代数元,p(x)F[x]为在F上的极小多项式,degp(x)=n>1,则:](http://slidesplayer.com/slide/16928531/97/images/2/%E5%AE%9A%E7%90%8615.7%3A%E5%B7%B2%E7%9F%A5%EF%81%A1%E4%B8%BA%E5%9F%9FF%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%85%83%2Cp%28x%29%EF%83%8EF%5Bx%5D%E4%B8%BA%EF%81%A1%E5%9C%A8F%E4%B8%8A%E7%9A%84%E6%9E%81%E5%B0%8F%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F%2Cdegp%28x%29%3Dn%3E1%2C%E5%88%99%3A.jpg "(1)F()≌F[x]/(p(x))。 (2)F()中的元素可唯一表示为 a0+a1+…+an-1n-1,其中aiF,0≤i≤n-1。 证明:(1)利用环同态基本定理. 构造F[x]到F()的映射:(f (x))=f () 证明是同态映射. 证明Ker=(p(x)) 域上的多项式环都是主理想环. 证明(F[x])=F()")
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推论15.3：在定理15.7中当degp(x)=n时[F():F]=n。
![推论15.3：在定理15.7中当degp(x)=n时[F():F]=n。](http://slidesplayer.com/slide/16928531/97/images/3/%E6%8E%A8%E8%AE%BA15.3%EF%BC%9A%E5%9C%A8%E5%AE%9A%E7%90%8615.7%E4%B8%AD%E5%BD%93degp%28x%29%3Dn%E6%97%B6%5BF%28%EF%81%A1%29%3AF%5D%3Dn%E3%80%82.jpg "推论15.3：在定理15.7中当degp(x)=n时[F():F]=n。")
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定理15.8:F()与F()是域F上的两个单代数扩域, 与在F上具有相同的极小多项式p(x)F[x],则:F()≌F()。
证明:设degp(x)=n,由定理15.7知 F()≌F[x]/(p(x)) 由定理15.7知F[x]/(p(x))≌F() 因此F()≌F().
![定理15.8:F()与F()是域F上的两个单代数扩域, 与在F上具有相同的极小多项式p(x)F[x],则:F()≌F()。](http://slidesplayer.com/slide/16928531/97/images/4/%E5%AE%9A%E7%90%8615.8%3AF%28%EF%81%A1%29%E4%B8%8EF%28%EF%81%A2%29%E6%98%AF%E5%9F%9FF%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E5%8D%95%E4%BB%A3%E6%95%B0%E6%89%A9%E5%9F%9F%2C+%EF%81%A1%E4%B8%8E%EF%81%A2%E5%9C%A8F%E4%B8%8A%E5%85%B7%E6%9C%89%E7%9B%B8%E5%90%8C%E7%9A%84%E6%9E%81%E5%B0%8F%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8Fp%28x%29%EF%83%8EF%5Bx%5D%2C%E5%88%99%3AF%28%EF%81%A1%29%E2%89%8CF%28%EF%81%A2%29%E3%80%82.jpg "证明:设degp(x)=n,由定理15.7知. F()≌F[x]/(p(x)) 由定理15.7知F[x]/(p(x))≌F() 因此F()≌F().")
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定理15.9:域F≌F',为其同构映射,,分别为F与F'的代数元,其极小多项式分别为:
要注意定理中的要求: 如果不满足此条件,结论不一定成立.
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设F(1)…(n)表示是通过n次单扩张构成的关于F的扩域，它是否为代数扩域？
定理：设E为F上的有限扩域，则E是F上的代数扩域。 分析:关键证明E上每个元素a都是代数元. 即找根为a的多项式F[x].
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代数扩域不一定是有限扩域。 E是Q上的所有代数元全体构成的域,若[E:Q]有限,设为n. f(x)=xn+1+2x+2Q[x],不可约 设为f(x)的根,则1,,2,n线性无关, 所以[E:Q]n+1,矛盾
![代数扩域不一定是有限扩域。 E是Q上的所有代数元全体构成的域,若[E:Q]有限,设为n. f(x)=xn+1+2x+2Q[x],不可约.](http://slidesplayer.com/slide/16928531/97/images/7/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E6%89%A9%E5%9F%9F%E4%B8%8D%E4%B8%80%E5%AE%9A%E6%98%AF%E6%9C%89%E9%99%90%E6%89%A9%E5%9F%9F%E3%80%82+E%E6%98%AFQ%E4%B8%8A%E7%9A%84%E6%89%80%E6%9C%89%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%85%83%E5%85%A8%E4%BD%93%E6%9E%84%E6%88%90%E7%9A%84%E5%9F%9F%2C%E8%8B%A5%5BE%3AQ%5D%E6%9C%89%E9%99%90%2C%E8%AE%BE%E4%B8%BAn.+f%28x%29%3Dxn%2B1%2B2x%2B2%EF%83%8EQ%5Bx%5D%2C%E4%B8%8D%E5%8F%AF%E7%BA%A6..jpg "设为f(x)的根,则1,,2,n线性无关, 所以[E:Q]n+1,矛盾.")
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三、多项式根域 定义15.8:F为域,f(x)F[x],degf(x)=n1, N是为F的满足下述条件的扩域: (1)f(x)在N上可分解为n个一次因子的乘积; (2)f(x)在N的任一子域中不能分解为一次因子的乘积。 则称N为多项式f(x)在域F上的根域,或简称根域。
![三、多项式根域 定义15.8:F为域,f(x)F[x],degf(x)=n1, N是为F的满足下述条件的扩域: (1)f(x)在N上可分解为n个一次因子的乘积; (2)f(x)在N的任一子域中不能分解为一次因子的乘积。](http://slidesplayer.com/slide/16928531/97/images/8/%E4%B8%89%E3%80%81%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E6%A0%B9%E5%9F%9F+%E5%AE%9A%E4%B9%8915.8%3AF%E4%B8%BA%E5%9F%9F%2Cf%28x%29%EF%83%8EF%5Bx%5D%2Cdegf%28x%29%3Dn%EF%82%B31%2C+N%E6%98%AF%E4%B8%BAF%E7%9A%84%E6%BB%A1%E8%B6%B3%E4%B8%8B%E8%BF%B0%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E7%9A%84%E6%89%A9%E5%9F%9F%3A+%281%29f%28x%29%E5%9C%A8N%E4%B8%8A%E5%8F%AF%E5%88%86%E8%A7%A3%E4%B8%BAn%E4%B8%AA%E4%B8%80%E6%AC%A1%E5%9B%A0%E5%AD%90%E7%9A%84%E4%B9%98%E7%A7%AF%3B+%282%29f%28x%29%E5%9C%A8N%E7%9A%84%E4%BB%BB%E4%B8%80%E5%AD%90%E5%9F%9F%E4%B8%AD%E4%B8%8D%E8%83%BD%E5%88%86%E8%A7%A3%E4%B8%BA%E4%B8%80%E6%AC%A1%E5%9B%A0%E5%AD%90%E7%9A%84%E4%B9%98%E7%A7%AF%E3%80%82.jpg "则称N为多项式f(x)在域F上的根域,或简称根域。")
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例：f(x)是F上的二次多项式，f(x)=ax2+bx+c(0aF),1、2为f(x)的二个根.
N=F(1). f(x)在F上可约，N=F。
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引理15.1：设p(x)是域F上的不可约多项式, 则存在F的一个有限扩域K,p(x)在K中有根。
证明:设p(x)=a0+a1x+…+ anxn 由定理15.2知:域F[x]/(p(x))是F的n次扩张. (p(x))+x是p(x)在K中的根 定理15.10：如果f(x)是域F上的多项式, deg f(x)1,那么存在F的一个扩域K,在K中f(x)分解成一些一次因式的乘积。 证明:采用归纳法 定理14.12
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推论15.4:F为域, 对F[x]中的任一多项式f(x)一定存在F上的根域。
例：由实数域R扩充建立复数域 R[x]/(x2+1)={a+bx|a,bR} 令i=(x2+1)+0+1x i2=(x2+1)+(-1)为(x2+1)+1关于的逆元。 简记为i2=-1
![推论15.4:F为域, 对F[x]中的任一多项式f(x)一定存在F上的根域。](http://slidesplayer.com/slide/16928531/97/images/11/%E6%8E%A8%E8%AE%BA15.4%3AF%E4%B8%BA%E5%9F%9F%2C+%E5%AF%B9F%5Bx%5D%E4%B8%AD%E7%9A%84%E4%BB%BB%E4%B8%80%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8Ff%28x%29%E4%B8%80%E5%AE%9A%E5%AD%98%E5%9C%A8F%E4%B8%8A%E7%9A%84%E6%A0%B9%E5%9F%9F%E3%80%82.jpg "例：由实数域R扩充建立复数域. R[x]/(x2+1)={a+bx|a,bR} 令i=(x2+1)+0+1x. i2=(x2+1)+(-1)为(x2+1)+1关于的逆元。 简记为i2=-1.")
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§3 有限域 一、伽罗瓦(Galois)域 一个域的元素有限就是有限域,这种域又称为伽罗瓦(Galois)域。
§3 有限域 一、伽罗瓦(Galois)域 一个域的元素有限就是有限域,这种域又称为伽罗瓦(Galois)域。 定理15.12:F为有限域,则存在素数p,自然数m1,使|F|=pm。 证明:1.必存在素数p,使得charF=p 利用定理15.5：F为域,则必包含一个素子域, charF=p时, ≌Zp
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定义15.9:一个具有pm个元素的有限域称为pm阶伽罗瓦域,记为GF(pm),其中p为素数,m1为自然数。
定理15.13:设charF=p,为F的素域, |F|=pm,则F是xq-x在上的根域,其中q=pm。 设a为有限群[G;*]的元素，则a的阶整除|G|。 推论15.5:GF(pm)中任一元在其所含素域上均有一个极小多项式。
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定理15.14:任两个同阶的伽罗瓦域必同构 定理15.9:域F≌F',为其同构映射,,分别为F与F'的代数元,其极小多项式分别为:
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例:x3+x+1与x3+x2+1都是Z2上的不可约多项式,
它们的根域分别是 Z2[x]/(x3+x+1),Z2[x]/(x3+x2+1), 这两个域的阶都是23的有限域, 由定理15.14(同阶的伽罗瓦域必同构)知: Z2[x]/(x3+x+1)≌Z2[x]/(x3+x2+1)。
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二、给定素数p和正整数m,有阶pm的域 定义:设f(x)=a0+a1x++anxn是域F上的多项式,构造多项式a1+2a2x++nanxn-1,称f(x)的形式微商, 记为f'(x)。 定理:(af(x))'=af'(x), (f(x)+g(x))'= f'(x)+g'(x) (f(x)g(x))'= f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。 引理15.2:f(x)F(x),是f(x)的根,则是f(x)的重根,当且仅当在f(x)根域上(x-)|f'(x),其中f'(x)是f(x)的形式微商。
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引理15.3:Zp[x]中的多项式xq-x(这里q=pn)在其根域N上分解为q个不同的一次因式之积。
定理15.15:设p为素数,n1为自然数,q=pn,则多项式xq-x在Zp上的根域是一个阶为pn的伽罗瓦域。 由此定理可以知道,给定素数p和正整数m,必有域,其阶为pm。
![引理15.3:Zp[x]中的多项式xq-x(这里q=pn)在其根域N上分解为q个不同的一次因式之积。](http://slidesplayer.com/slide/16928531/97/images/17/%E5%BC%95%E7%90%8615.3%3AZp%5Bx%5D%E4%B8%AD%E7%9A%84%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8Fxq-x%28%E8%BF%99%E9%87%8Cq%3Dpn%29%E5%9C%A8%E5%85%B6%E6%A0%B9%E5%9F%9FN%E4%B8%8A%E5%88%86%E8%A7%A3%E4%B8%BAq%E4%B8%AA%E4%B8%8D%E5%90%8C%E7%9A%84%E4%B8%80%E6%AC%A1%E5%9B%A0%E5%BC%8F%E4%B9%8B%E7%A7%AF%E3%80%82.jpg "定理15.15:设p为素数,n1为自然数,q=pn,则多项式xq-x在Zp上的根域是一个阶为pn的伽罗瓦域。 由此定理可以知道,给定素数p和正整数m,必有域,其阶为pm。")
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推论15.6:GF(pm)中的元素恰为多项式xpm-xZp[x]的pm个根。
![推论15.6:GF(pm)中的元素恰为多项式xpm-xZp[x]的pm个根。](http://slidesplayer.com/slide/16928531/97/images/18/%E6%8E%A8%E8%AE%BA15.6%3AGF%28pm%29%E4%B8%AD%E7%9A%84%E5%85%83%E7%B4%A0%E6%81%B0%E4%B8%BA%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8Fxpm-x%EF%83%8EZp%5Bx%5D%E7%9A%84pm%E4%B8%AA%E6%A0%B9%E3%80%82.jpg "推论15.6:GF(pm)中的元素恰为多项式xpm-xZp[x]的pm个根。")
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作业：P207 13,16,18,20,22,23, 24(2)(3)
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定理14. 10:F为域,f(x),g(x)F[x],则有f(x)|g(x),且g(x)|f(x),当且仅当f(x) =ag(x),aF
![定理14. 10:F为域,f(x),g(x)F[x],则有f(x)|g(x),且g(x)|f(x),当且仅当f(x) =ag(x),aF](http://slidesplayer.com/slide/16928531/97/images/20/%E5%AE%9A%E7%90%8614.+10%3AF%E4%B8%BA%E5%9F%9F%2Cf%28x%29%2Cg%28x%29%EF%83%8EF%5Bx%5D%2C%E5%88%99%E6%9C%89f%28x%29%7Cg%28x%29%2C%E4%B8%94g%28x%29%7Cf%28x%29%2C%E5%BD%93%E4%B8%94%E4%BB%85%E5%BD%93f%28x%29+%3Dag%28x%29%2Ca%EF%83%8EF.jpg "定理14. 10:F为域,f(x),g(x)F[x],则有f(x)|g(x),且g(x)|f(x),当且仅当f(x) =ag(x),aF")
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定义15.6:是域F的一个代数元,p(x) F[x],称它为在F上的极小多项式,如果p(x)之首项系数为1,且它是F[x]中以为根的多项式中次数最低的。
![定义15.6:是域F的一个代数元,p(x) F[x],称它为在F上的极小多项式,如果p(x)之首项系数为1,且它是F[x]中以为根的多项式中次数最低的。](http://slidesplayer.com/slide/16928531/97/images/21/%E5%AE%9A%E4%B9%8915.6%3A%EF%81%A1%E6%98%AF%E5%9F%9FF%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%B8%AA%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%85%83%2Cp%28x%29%EF%83%8E+F%5Bx%5D%2C%E7%A7%B0%E5%AE%83%E4%B8%BA%EF%81%A1%E5%9C%A8F%E4%B8%8A%E7%9A%84%E6%9E%81%E5%B0%8F%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F%2C%E5%A6%82%E6%9E%9Cp%28x%29%E4%B9%8B%E9%A6%96%E9%A1%B9%E7%B3%BB%E6%95%B0%E4%B8%BA1%2C%E4%B8%94%E5%AE%83%E6%98%AFF%5Bx%5D%E4%B8%AD%E4%BB%A5%EF%81%A1%E4%B8%BA%E6%A0%B9%E7%9A%84%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E4%B8%AD%E6%AC%A1%E6%95%B0%E6%9C%80%E4%BD%8E%E7%9A%84%E3%80%82.jpg "定义15.6:是域F的一个代数元,p(x) F[x],称它为在F上的极小多项式,如果p(x)之首项系数为1,且它是F[x]中以为根的多项式中次数最低的。")
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定理15.6:为F之代数元,p(x)为其在F上的极小多项式, 则:
(2)若f(x)F[x],f()=0则p(x)|f(x)。 (3)p(x)是唯一的。
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定理15.7:已知为域F上的代数元,p(x)F[x]为在F上的极小多项式,degp(x)=n>1,则:
(1)F()≌F[x]/(p(x))。 (2)F()中的元素可唯一表示为 a0+a1+…+an-1n-1,其中aiF,0≤i≤n-1。
![定理15.7:已知为域F上的代数元,p(x)F[x]为在F上的极小多项式,degp(x)=n>1,则:](http://slidesplayer.com/slide/16928531/97/images/23/%E5%AE%9A%E7%90%8615.7%3A%E5%B7%B2%E7%9F%A5%EF%81%A1%E4%B8%BA%E5%9F%9FF%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%85%83%2Cp%28x%29%EF%83%8EF%5Bx%5D%E4%B8%BA%EF%81%A1%E5%9C%A8F%E4%B8%8A%E7%9A%84%E6%9E%81%E5%B0%8F%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F%2Cdegp%28x%29%3Dn%3E1%2C%E5%88%99%3A.jpg "(1)F()≌F[x]/(p(x))。 (2)F()中的元素可唯一表示为 a0+a1+…+an-1n-1,其中aiF,0≤i≤n-1。")
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定理15.2:已知F为域,p(x)为F[x]中不可约多项式,degp(x)=n。令K=F[x]/(p(x)),则 [K:F]=degp(x)=n
![定理15.2:已知F为域,p(x)为F[x]中不可约多项式,degp(x)=n。令K=F[x]/(p(x)),则 [K:F]=degp(x)=n](http://slidesplayer.com/slide/16928531/97/images/24/%E5%AE%9A%E7%90%8615.2%3A%E5%B7%B2%E7%9F%A5F%E4%B8%BA%E5%9F%9F%2Cp%28x%29%E4%B8%BAF%5Bx%5D%E4%B8%AD%E4%B8%8D%E5%8F%AF%E7%BA%A6%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F%2Cdegp%28x%29%3Dn%E3%80%82%E4%BB%A4K%3DF%5Bx%5D%2F%28p%28x%29%29%2C%E5%88%99+%5BK%3AF%5D%3Ddegp%28x%29%3Dn.jpg "定理15.2:已知F为域,p(x)为F[x]中不可约多项式,degp(x)=n。令K=F[x]/(p(x)),则 [K:F]=degp(x)=n")
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定理14.12(唯一因式分解定理):多项式环F[x]中任一非零元素f(x)或为F中的元素或可分解为有限个不可约多项式之积。在下述意义下,分解是唯一的:
若f(x)=p1(x)…pn(x)=q1(x)…qm(x)，则m=n, 并且在适当调整因子次序后qi(x)= aipi(x)，aiF，i=1,…,n。
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