第三章 矩 阵的秩和线性方程组的相容性定理 第一讲 矩阵的秩；初等矩阵 第二讲 矩阵的秩的求法和矩阵的标准形 第三讲 线性方程组的相容性定理.

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1 第三章 矩 阵的秩和线性方程组的相容性定理 第一讲 矩阵的秩；初等矩阵 第二讲 矩阵的秩的求法和矩阵的标准形 第三讲 线性方程组的相容性定理

2 第一讲 矩阵的秩；初等矩阵 一、引例 二、矩阵的秩 三、初等方阵

3 一.引例 对齐次线性方程组 (3.1) 由于其系数矩阵 是奇异方阵而不能直接用克莱姆法则:

4 把上述删去多余方程求得保留方程组的过程用矩阵表示就是：
应用高斯消元法删去多余方程，得 （3.2) (3.2)称为(3.1)的保留方程组。 把上述删去多余方程求得保留方程组的过程用矩阵表示就是：

5 对一般齐次线性方程组 (3.3) 得到保留方程组

6 问题： 如何判定方程组(3.3)是否有多余方程？ 如何求(3.3)的保留方程组？

7 二、矩阵的秩 定义3.1 矩阵A中最大非奇异子方阵的阶数称为矩阵A的秩，记为R(A)

8 例3.2求下列矩阵的秩 解 由于A的第2行是第1行的2倍，所以A的任一个三阶子方阵都是奇异的，因此有R(A)<3,但因A有一个二阶子方阵的行列式 所以R(A)=2

9 关于矩阵秩的结论: 定理3.1 若矩阵A有一个r阶子方阵非奇异，且所有r+1阶的子方阵都是奇异的，则R(A)=r

10 三、 初等方阵 回忆： 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 同理可定义矩阵的初等列变换 (把“r”换成“c”)．
三、 初等方阵 回忆： 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 同理可定义矩阵的初等列变换 (把“r”换成“c”)． 矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.

11 定义3：由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方
阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵.

12 (1) 对调两行或两列，得初等对换矩阵。

13 (2) 以数 乘某行或某列，得初等倍乘矩阵。

14 (3) 以数 乘某行（列）加到另一行（列）上， 得初等倍加矩阵。

15 初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。

16 初等变换 初等矩阵 初等逆变换 初等逆矩阵 例1：计算

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18 定理： 证明： 具体验证即可

19 另两种情形同理可证

20 一般记法：

21 例2： (1) 设初等矩阵

22 解：

23

24 解：

25 小结： 矩阵的秩 初等方阵 定理3.5方阵可逆的充要条件是它可以表示成有限个初等方阵的乘积。 定理3.6 维矩阵A~B的充要条件是存在
m阶可逆方阵P和n阶可逆方阵Q，使PAQ=B

26 第二讲 矩阵的秩的求法和 矩阵的标准形 一、等价矩阵具有相同的秩 二、矩阵秩的求法. 三、矩阵秩的性质 四、矩阵的秩与行列式的关系

27 一、等价矩阵具有相同的秩 定理3.7 若A~B，则R(A)=R(B)，即初等变换不改变矩阵的秩。

28 二、 矩阵秩的求法. 行阶梯形矩阵： 特点： 例如： (1)可划出一条阶梯线，线的下方全为零；
二、 矩阵秩的求法. 行阶梯形矩阵： 例如： 特点： (1)可划出一条阶梯线，线的下方全为零； (2)每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．

29 行最简形矩阵： 在行阶梯形矩阵的基础上，还要求非零行的第一个非零元 为数1，且这些1所在的列的其他元素全都为零。 例如：
注：对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变 为 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。

30 例1 ：对矩阵 作行初等变换,使成为行阶梯矩阵. 解:

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32 例2：求上三角矩阵的秩 解：看行秩

33 看 的线性相关性： 线性无关， 维数增加后得到的 依然线性无关， 而 与 都线性无关， 所以矩阵的秩＝行向量组的秩＝3＝非零行的行数

34 结论：行阶梯形矩阵的秩＝非零行的行数 证明：只要证明在行阶梯形矩阵中那些非零的行 是线性无关就行了。 设A是一阶梯形矩阵，不为零的行数是r。
因为初等列变换不改变矩阵的秩，所以适当地 变换列的顺序，不妨设

35 求矩阵秩的方法： 其中 显然，左上角的r个r维行向量线性无关，当分量增加为 n维时依然无关，所以矩阵A的非零行的向量是线性无关的。
加上任一零行即相关，所以 矩阵A的秩＝矩阵A的行向量组的秩＝非零行的行数 求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形 矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。 例3: 求A的秩。

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39 由阶梯形矩阵有三个非零行可知

40 三、 矩阵秩的性质 (1) 等价的矩阵，秩相同。 (2) 任意矩阵 有 (3) 任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。 可逆， 有 (4)
三、 矩阵秩的性质 (1) 等价的矩阵，秩相同。 (2) 任意矩阵 有 (3) 任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。 可逆， 有 (4) 当AB=0时，有 （证明在习题课讲）

41 矩阵A中，任取k行k列，交叉处的元素保持原来 的相对位置不变而组成的一个k阶子式，称为矩 阵A的k阶子式。
四、 矩阵的秩与行列式的关系 定理: n阶方阵A， A的n个行（列）向量线性无关 即A为可逆矩阵（也称为满秩矩阵） A的n个行（列）向量线性相关 定义3： 矩阵A中，任取k行k列，交叉处的元素保持原来 的相对位置不变而组成的一个k阶子式，称为矩 阵A的k阶子式。

42 例： 问题：1) 可研究它的几阶子式? 2) 各阶子式分别有几个? 矩阵的秩的另一种定义： 定义4：设在矩阵A中有一个r阶子式不为零，而所有 的r＋1阶子式（如果有的话）都为零，则r(A)=r. 注： 阶矩阵A的秩r是A中不等于零的子式的 最高阶数。零矩阵的秩为零。

43 例6: 解：

44 例7： 解：

45 第三讲 线性方程组的相容性定理 一、高斯消元法 二、齐次线性方程组 三、非齐次线性方程组

46 一. 高斯消元法 设一般线性方程组为 则称矩阵 为方程组(1)的系数矩阵。

47 称矩阵 为方程组(1)的增广矩阵。 当 时,齐次线性方程组 称为方程组（1）的导出组， 或称为（1）对应的齐次线性方程组。

48 可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换， 所得到的新的线性方程组与原方程组同解.
定义：线性方程组的初等变换 （1） 用一非零的数乘某一方程 （2） 把一个方程的倍数加到另一个方程 （3） 互换两个方程的位置 可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换， 所得到的新的线性方程组与原方程组同解. 对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增广矩阵 做初等行变换. 初等行变换

49 化为行阶 梯形矩阵

50 则以矩阵（3）为增广矩阵的方程组与方程组（1）同解。
化为行最 简形矩阵 则以矩阵（3）为增广矩阵的方程组与方程组（1）同解。

51 由矩阵（3）可讨论方程组（1）的解的情况 1) 若 ，则方程组无解。 2) 若 则方程组有解， 当 有唯一解。 有无穷多解。 特别地，方程组(1)的导出组，即对应的齐次线性方程组 一定有解。 当 有唯一的零解。 有无穷多解，即有非零解。

52 举例说明消元法具体步骤： 例1：解线性方程组 解： 最后一行有 可知方程组无解。

53 例2：解线性方程组 解：

54 对应的方程组为 即 所以一般解为 （k为任意常数）

55 二. 齐次线性方程组 1. 齐次线性方程组（2）有解的条件 定理1：齐次线性方程组 有非零解 定理2：齐次线性方程组 只有零解
解的性质 基础解系 解的结构 二. 齐次线性方程组 1. 齐次线性方程组（2）有解的条件 定理1：齐次线性方程组 有非零解 定理2：齐次线性方程组 只有零解 推论：齐次线性方程组 只有零解 即 即系数矩阵A可逆。

56 例3 : 求下列齐次方程组的通解。 解： 初等行变换

57 行最简形矩阵对应的方程组为 即 是自由 未知量。 先求通解，再求基础解系. 令 则 即 为任意常数。

58 初等行变换 解： 所以只有零解。

59 三. 非齐次性线性方程组 1. 有解的条件 定理3：非齐次线性方程组 有解 并且，当 时，有唯一解； 当 时，有无穷多解。

60 例4 : 求解非齐次方程组 解：

61 令 则 为任意常数）

62 k取何值时有唯一解, 无穷多解或无解， 有无穷多解时求出通解. 例5： 解：

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64 法2：利用Cramer法则 当 时，即 且 时，方程组有唯一解。 当 时， 即 有无穷多解，

65 所以方程组无解。

66 小结: 齐次线形方程组的相容性定理. 非齐次线形方程组的相容性定理.