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本章大綱 7.1 Integration by Parts 分部積分

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2 本章大綱 7.1 Integration by Parts 分部積分
7.2 Trigonometric Substitution and Trigonometric Integral 三角換元法及三角函數積分 7.3 Integration by Partial Fractions 部分分式積分法 7.4 Improper Integral瑕積分

3 7.1 Integration by Parts 分部積分
7.1.1 Basic Integration Formulas 積分公式

4 作積分問題時,我們可嘗試將被積函數表示乘積分公式中的形式,
再套公式求出積分。

5 例題1. 用換元法簡化被積函數 Evaluate 。 解: 。(公式4) ,則

6 例題2. 用配方法簡化分母 Evaluate 解: 令 , ,則

7 例題3. 先將次方展開再用三角恆等式化簡 Evaluate 解: ,又 (公式1,8,10)

8 例題4. 消除根式 Evaluate 解: 因為 ,所以

9 例題5. 簡化分式 Evaluate 解: 因為 ,所以

10 例題6. Evaluate 解: ,則 因此

11 例題7. Evaluate 解: ,則

12 Integration by Parts 3.1.1導數的幾何意義

13 例題8. Find 解: 令 , ,則 ,

14 例題9. Find 令 , ,則 , 解: 有時需多次使用分部積分法或混合使用其他方法才能解決問題。

15 例題10. Evaluate 解:

16 例題11. Evaluate 解:

17 7.1.3Integration by parts formula for Definite integrals

18 例題12. Find the area of the region bounded by the curve and the from to 解:

19 7.1.4 Tabular integration 列表積分

20 例題13. Evaluate 解:

21 例題14. Evaluate 解:

22 7.2 Trigonometric Substitution and TrigonometricIntegral 三角換元法及三角函數積分
當被積函數是複雜的三角函數的組合時,我們通常需利用三角恆等式處理,使其符合積分公式的形式後才能積分。 7.2.1 關於積分 或 做變換 或 把它化為

23 例題1. Evaluate 解:

24 Form

25

26

27 例題2. Find 解:

28 例題3. Find (1) (2) 解: (1)

29 解: (2)

30 Form

31 例題4. Find (1) (2) 解: 令 ,所以 (1)

32 (2) 解: (令 )

33 例題5. Find (1) (2) (1) 解: 令 ,則 ,又 所以

34 令 則 (2) 解: 因此

35 Forms , , 我們可以用下列的積化和差三角公式―來計算

36 例題6. Find (1) (2) (1) 解: (2)

37 例題7. Calculate 因為 所以 於是 解:

38 7.2.5 Trigonometric substitutions

39 例題8. Evaluate 解:

40

41 例題9. Prove 證明:

42

43 例題10. Prove 證明:

44

45 例題11. Find the area enclosed by the ellipse 解:

46 例題12. Find 解:

47

48 Form

49

50 例題13. Find 解: 對三角函數有理式的積分都可以用變量代 但這種變量代換法不一定是最簡單的。

51 例題14. Find 解:

52 7.3 Integration by Partial Fractions 部分分式積分法

53

54 例題1. 將下列有理式表為部分分式之和 (1) (2) (3) 解: (1)

55 (2)

56 (3)

57 7.3.2 Integration by Partial Fractions
簡單的分式類型有

58

59 例題2. Find 解:

60 例題3. Find 解:

61 例題4. Find 解:

62 例題5. Find 解:

63

64 7.3.3 Form (1) (2) 型(1) 可設 並將積分函數改寫成 的函數。

65 例題6. Find 解:

66 例題7. Find 解:

67 例題8. Find 解:

68 例題9. Evaluate (a) (b) (c) (d) 解:

69 (b) 解: (b)

70 (c) 解: (c)

71 (d) 解: (d)

72 例題10. Evaluate 解:

73 例題11. Evaluate 解:

74

75 例題12. Find 解:

76

77 例題13. Evaluate (1) (2) 解:

78 解:

79 例題14. Calculate 解:

80 誤解:

81 例題15. Evaluate (1) (2) 解:

82 解:

83 例題16. 定積分公式 證明:

84

85 因此

86 其中 a 為任意常數。 [這一等式指出,週期為T的連 續函數,在任一長度為 T 的區間上的積分值都相等。 .
例題17. (1) Calculate (2) 設 是週期為 T 的連續函數,則 其中 a 為任意常數。 [這一等式指出,週期為T的連 續函數,在任一長度為 T 的區間上的積分值都相等。 .

87 解: (1)

88 解:(2)

89 7.4 Improper Integral瑕積分 在定積分時,我們總是設定積分的區間是有限的,而被積函數 ( 如果可積的話 ) 一定是有界的,但不論是理論上或實際應用上都需要去掉這兩個限制,也就是把定積分的概念擴大為: (1)無窮 ( 即:積分區間無限 ) 的積分 (2)無界函數的積分 本節將分別討論這兩個問題

90 7.4.1 Improper Integral – type 1
(infinite intervals)

91 說明:

92 我們已知:

93

94 例題1. Evaluate (1) (2) 解:

95 解:

96 定理 說明:

97 7.4.3 Improper Integral of type 2

98

99

100 例題2. Evaluate 解:

101 例題3. Evaluate 解: 注意:

102 例題4. Show that is convergent when and divergent when 。 證明:

103 例題5. Evaluate 解:

104


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