第四节 控制系统性能的频域分析 第四章 控制系统的频率特性 第一节 频率特性的基本概念 第二节 典型环节的Bode图

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1 第四节 控制系统性能的频域分析 第四章 控制系统的频率特性 第一节 频率特性的基本概念 第二节 典型环节的Bode图
第四章 控制系统的频率特性 第一节 频率特性的基本概念 第二节 典型环节的Bode图 第三节 控制系统的开环Bode图的绘制 第四节 控制系统性能的频域分析

2 第一节 频率特性的基本概念 一、频率特性的定义 系统 采用正弦信号作为输入信号，当系统稳定后，其输出称频率响应。 输入
第一节 频率特性的基本概念 一、频率特性的定义 采用正弦信号作为输入信号，当系统稳定后，其输出称频率响应。 系统 输入 r(t)=ArSin（t＋ r） 输出（稳定后） c(t)=AcSin（t+c） 系统对不同频率的正弦输入的响应特性称为频率特性。 系统（或环节）输出量与输入量幅值之比为幅值频率特性，简称幅频特性，它随角频率ω变化，常用M(ω)表示。 输出量与输入量的相位差为相位频率特性，简称相频特性，它也随角频率ω变化，常用φ(ω)表示，

3 幅频特性和相频特性统称为频率特性，用G(jω)表示
图4－1 Ar不变，改变角频率ω 幅频特性和相频特性统称为频率特性，用G(jω)表示

4 二、频率特性与传递函数的关系 传递函数 频率特性 G(s) G(jω) 三、频率特性的表示方法 （指数坐标表示法） 1、数学式表示法
图4-2 1、数学式表示法 （直角坐标表示法） （极坐标表示法） （指数坐标表示法）

5 例4-1 写出惯性环节的幅频特性、相频特性和频率特性。
解：惯性环节的传递函数为 其频率特性为 幅频特性为 相频特性为

6 定义： L(ω)=20lgM(ω)—— 对数幅频特性 φ(ω)= ∠G(ω)—— 对数相频特性
2、图形表示法 1）极坐标图（又称奈奎斯特图） 当ω从0→∞变化时，根据频率特性的极坐标式G(jω)=M(ω)∠φ(ω)，可以算出每一个ω值所对应的幅值M(ω)和φ(ω)，将它们画在极坐标平面图上，就得到了频率特性的极坐标图。 2）对数频率特性（Bode图） 定义： L(ω)=20lgM(ω)—— 对数幅频特性 φ(ω)= ∠G(ω)—— 对数相频特性 对数幅频特性曲线（半对数坐标图） 对数相频特性曲线 见图4-3

7 图4-3

8 第二节 典型环节的Bode图 一 、 比例环节 传递函数 ： 频率特性 ： 对数频率特性 ： Bode图 ：
图4-4 传递函数 ： 频率特性 ： 对数频率特性 ： Bode图 ： 对数幅频特性L(ω)为水平直线，其高度为20lgK。 对数相频特性φ(ω)为与横轴重合的水平直线。 如图4-4所示。 比例环节放大倍数K变化，系统的L(ω)上下平移，但φ(ω)不变。

9 对数幅频特性L(ω)过点（1，20lgK）、斜率为-20dB/dec的一条直线 。 对数相频特性φ(ω)为一条-90o 的水平直线 。
图4-5 二 、 积分环节 传递函数 ： 频率特性 ： 对数频率特性 ： Bode图 ： 对数幅频特性L(ω)过点（1，20lgK）、斜率为-20dB/dec的一条直线 。 对数相频特性φ(ω)为一条-90o 的水平直线 。 如图4-5所示。

10 对数幅频特性L(ω)为过点（1，20lgτ）、斜率为20dB/dec的一条直线。 对数相频特性φ(ω) φ(ω)为一条90o 的水平直线。
三、 理想微分环节 图4-6 传递函数 ： 频率特性 ： 对数频率特性 ： Bode图 ： 对数幅频特性L(ω)为过点（1，20lgτ）、斜率为20dB/dec的一条直线。 对数相频特性φ(ω) φ(ω)为一条90o 的水平直线。 如图4-6所示。

11 四、惯性环节 传递函数 ： 频率特性 ： 对数频率特性 ： Bode图 ： 对数幅频特性L(ω) 两条线交于 处 折线近似方法 低频渐近线：
高频渐近线： 两条线交于 处

12 修正量：最大误差发生在交接频率ω=1/ T处，该处的实际值为
对数相频特性L(ω) 低频渐近线：当ω→0时，φ(ω)→0。 高频渐近线：当ω→∞时，φ(ω) →-90o。 交接频率处的相位：当ω=1/ T时，φ(ω)=-arctan1=-45o。 图4-7

13 因为其对数幅频特性和对数相频特性与惯性环节只相差一个符号，所以只要把惯性环节的Bode图向上翻转一下即可。 如图4－8
五、 比例微分环节 图4－8 传递函数 ： 频率特性 ： 对数频率特性 ： Bode图 ： 因为其对数幅频特性和对数相频特性与惯性环节只相差一个符号，所以只要把惯性环节的Bode图向上翻转一下即可。 如图4－8

14 六、振荡环节 传递函数 ： 频率特性 ： 对数频率特性 ：

15 对数幅频特性L(ω) 为一条0dB的水平线。 低频渐近线：当ω《ωn时 为过点（ωn，0）、斜率为-40dB/dec的一条直线。 高频渐近线：当ω》ωn时 交接频率：振荡环节的交接频率为ω=ωn。 修正量：当ω=ωn时，该处的实际值为 误差不仅与ω有关，还与ξ有关。误差计算结果见表4-2。

16 低频渐近线：当ω→0时，φ(ω)→0。因此，低频渐近线为一条φ(ω)→0的水平线。
计算表明，在ω=ωn处，当0.4＜ξ＜0.7时，误差小于3dB，可以不对渐近线进行修正；但当ξ＜0.4或ξ＞0.7时，误差较大，必须对渐近线进行修正。 对数相频特性φ(ω) 低频渐近线：当ω→0时，φ(ω)→0。因此，低频渐近线为一条φ(ω)→0的水平线。 高频渐近线：当ω→∞时，φ(ω) →-180o。因此，高频渐近线为一条φ(ω)→-180o的水平线。 交接频率处的相位：当ω=ωn时，φ(ω)=-90o。

17 第三节 控制系统的开环Bode图的绘制 一、系统开环Bode图的简便画法 若系统的开环传递函数G(s)为
G(s)=G1(s)G2(s)G3(s) 其对应的开环频率特性为 G(jω)=G1(jω)G2(jω)G3(jω) 其对应的开环幅频特性为 L(ω)=20lg〔M1(ω) M2(ω) M3(ω)〕 =20lg M1(ω)+20lg M2(ω)+20lg M3(ω) = L1(ω)+ L2(ω)+ L3(ω) 其对应的开环相频特性为 φ(ω)= φ1(ω)+ φ2(ω)+ φ3(ω) 由此可见，串联环节总的对数幅频特性等于各环节对数幅频特性的和，其总的对数相频特性等于各环节对数相频特性的和。

18 解：1）分析系统是由哪些典型环节串联组成，并将这 些典型环节的传递函数都化成标准形式。
例4-2 已知系统的开环传递函数 ， 试求取系统的开环对数频率特性曲线。 解：1）分析系统是由哪些典型环节串联组成，并将这 些典型环节的传递函数都化成标准形式。 2）由小到大书写转折频率。 3) 选定坐标轴的比例尺及频率范围（即取坐标）。一般取最低频率为系统最低转折频率的1/10左右，而最高频率为系统最高转折频率的10倍左右。

19 4）计算20lgK,找到横坐标为ω=1、纵坐标为L(ω)=20lgK=20 lg10=20dB的点，过该点作斜率为-20vdB/dec=-20dB/dec的直线至ωc1点，其中v为积分环节的个数。本例中v=1。 5）每过转折频率ωc，斜率按下列原则变： 若过惯性环节的转折频率，斜率增加〔-20〕； 若过比例微分环节的转折频率，斜率增加〔+20〕； 若过振荡环节的转折频率，斜率增加〔-40〕。 6）如果需要，可对渐进线进行修正，以获得较为精确的对数幅频特性曲线。 最后得到开环对数幅频特性曲线如图4-10所示。

20 画出各典型环节的对数相频特性曲线，把它们按频率逐点相加，即可得到系统的对数相频特性曲线。R如图4-10所示。
对数相频特性曲线φ(ω)的绘制步骤： 画出各典型环节的对数相频特性曲线，把它们按频率逐点相加，即可得到系统的对数相频特性曲线。R如图4-10所示。 图4-10

21 二、最小相位系统 若传递函数的极点和零点均在s复平面的左侧的系统称为最小相位系统。 　　若传递函数的极点和(或)零点有在s复平面右侧的系统称为非最小相位系统。 三、由对数频率特性求相应的传递函数 例4-3 求如图4-11所示环节的传递函数。 解：1）由图4-11a低频段的斜率为-20dB/dec，可推知该系统含一个积分环节，其传递函数为 G(s)=K/s 由于ω=1时，L(ω)=20lgK。又由图可知：ω=ω1时，L(ω)=0dB ，所以 由此可得 K=ω1

22 图4-11

23 2）图4-11b可见，其低频段为一水平直线，所以它不含积分环节（即v=0）；又由于低频段的高度为L1(ω)，即20lgK=0，可求得K=1。
由过点ω1斜率增加20dB/dec知，含一比例微分环节（T1s+1）,式中T1=1/ω1。 由过点ω2斜率增加-20dB/dec知，含一惯性环节1/（T2s+1）,式中T2=1/ω2。 综上所述，可得此环节的传递函数为 3）由图4-11c可知，其低频段为一水平直线，所以它不含积分环节（即v=0）；又由于低频段的高度为L1(ω)，即20lgK=L1(ω)，可求得K。 由过点ω1斜率增加-20dB/dec知，含一惯性环节1/（T1s+1）,式中T1=1/ω1。

24 由过点ω2斜率增加20dB/dec知，含一比例微分环节（T2s+1）,式中T2=1/ω2。
综上所述，可得此环节的传递函数为 由上例可归纳出由Bode图求取传递函数的一般规则： ①由低频段的斜率为（-20dB/dec）v，可推知所含积分环节的个数v， 由低频段在ω=1处的高度L(ω)=20lgK[或由低频段斜线（或其延长线）与零分贝线交点]来求得增益K. ②由低频→高频，斜率每增加一个+20dB/dec，即含一个比例微分环节；斜率每增加一个-20dB/dec，即含一个惯性环节；斜率每增加一个-40dB/dec，即含一个振荡环节，再由峰值偏离渐进线的偏差求得阻尼比ζ。

25 第四节 控制系统性能的频域分析 一、系统稳定性的频域判据 1．对数频率稳定判据 1）对数频率稳定判据的内容：
第四节 控制系统性能的频域分析 一、系统稳定性的频域判据 1．对数频率稳定判据 1）对数频率稳定判据的内容： 若系统开环是稳定的，则闭环系统稳定的充要条件是： 当L(ω)线过0dB线时，对应的φ(ω)在-180o线的上方； 或当φ(ω)=-180o时，对应的L(ω)在0dB线下方。 2）稳定裕量 ①相位裕量γ：当L(ω)=0dB时，对应的φ(ω)高于-180o线多少。其中，L(ω)线穿0dB线时的频率，叫幅值穿越频率，用ωgc表示。 定义： 显然，γ>0，稳定，γ越大，系统相对稳定性越好 γ=0，系统临界稳定 γ<0，系统不稳定

26 ②增益裕量 GM：当φ(ω)=-180o时，对应的L(ω)低于0dB线多少。其中，φ(ω)=-180o时的频率，叫相位穿越频率，用ωpc表示。
定义： 显然，GM＞0，系统稳定，GM越大，系统相对稳定性越好 GM =0，系统临界稳定 GM <0，系统不稳定 二、动态性能的频域分析 Bode图中的中频段:指L(ω)的渐进线穿0dB线附近频率的一段区段，也就是幅值穿越频率ωgc附近的一段区段。 1．相位裕量γ——反映系统的相对稳定性 γ越大，σ%越小，相对稳定性越好。 2． 幅值穿越频率ωgc——反映系统动态过程的响应速度和 变化的快慢 ωgc越大，ts越小，系统的响应越快。

27 三、稳态性能的频域分析 稳态性能的频域分析主要是根据系统开环Bode图中的低频段分析系统的稳态误差。Bode图中的低频段是指L(ω)的渐进线在第一个转折频率以前的区段，也就是最左边的区段。 L(ω)低频段（渐进线）的斜率代表着系统的型别： 若L(ω) 低频段（渐进线）的斜率为0dB/dec（水平线），则v=0，为0型系统。 若L(ω) 低频段（渐进线）的斜率为-20dB/dec，则v=1，为I型系统。 若L(ω) 低频段（渐进线）的斜率为-40dB/dec，则v=2，为II型系统。 L(ω)在ω=1的高度为20lgK代表系统的增益K。 综上所述，系统开环对数幅频特性L(ω)低频段曲线的斜率愈陡，L(ω)在ω=1的高度愈高，则系统的稳态误差将愈小，系统的稳态精度愈好。