节目录 第五章 随机变量的数字特征 5.1 数学期望 5.2 方差 5.3 协方差与相关系数 5.4 原点矩与中心矩 5.1 数学期望.

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1 节目录 第五章 随机变量的数字特征 5.1 数学期望 5.2 方差 5.3 协方差与相关系数 5.4 原点矩与中心矩 5.1 数学期望

2 在实际问题中, 我们常对随机变量的某些特征更为关注
在实际问题中, 我们常对随机变量的某些特征更为关注. 例如, 在检查一批灯泡的质量时, 既需要注意灯泡的平均寿命, 又需要注意这批灯泡的稳定性(即相对于平均寿命的偏离程度), 平均寿命越长、偏离程度越小, 质量就越好. 可见, 与随机变量有关的某些数字虽然不能完整地描述随机变量, 但能描述随机变量在某些方面的重要特征. 我们将介绍随机变量的几个常用的数字特征. 这一章

3 5.1 数学期望 例1 在检查一批灯泡的质量时, 从中抽取了10个灯泡, 测得各灯泡的寿命(单位: 小时)分别为
5.1 数学期望 例1 在检查一批灯泡的质量时, 从中抽取了10个灯泡, 测得各灯泡的寿命(单位: 小时)分别为 700, 750, 750, 800, 800, 800, 850, 850, 900, 900 试求这些灯泡的平均寿命. 解 显然, 这些灯泡的平均寿命为 出现频率 加权平均

4 定义1 对于离散型随机变量X, 设其分布律为 对于连续型随机变量X, 设其分布密度为f (x) ,

5 甲、乙两人进行打靶, 所得分数分别记为X,Y.设它们的分布律分别为 例2
试评定甲、乙两人成绩的好坏. 解 故乙的成绩不如甲. 5.1 数学期望

6 数学期望EX是一个实数, 而非变量,它是一种加权平均, 与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正平均值.
说明： 例3 求泊松分布X～P(λ)的数学期望EX. 解 泊松分布的分布律为 故

7 例4 求正态分布 的数学期望EX. 解 故

8 定理1 设 Y=g(X)是随机变量X的连续函数, 那么 (1) 若X的分布律为 则函数Y=g(X)的数学期望为 （级数绝对收敛时） (2) 若X的分布密度为 f (x), 则Y=g(X)的期望为 （积分绝对收敛时） 定理1的重要意义：当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布而只需知道X的分布就可以了.

9 设Z=g(X,Y)是二维随机变量(X,Y)的连续函数, 那么 定理2
（级数绝对收敛时） (2) 若(X,Y)的密度为 f (x,y), 则Z=g(X,Y)的期望为 （积分绝对收敛时）

10 例5 设二维随机变量(X,Y )的分布密度为 试求XY 的数学期望. 解

11 某人有现金10万元, 想投资于某项目, 欲估成功的机会为30%, 可获利 8万元 , 失败的机会为70%, 将损失 2万元
某人有现金10万元, 想投资于某项目, 欲估成功的机会为30%, 可获利 8万元 , 失败的机会为70%, 将损失 2万元. 若存入银行, 同期间的利率为5% , 问是否作此项投资? 例6 解 设 X 为投资利润, 则 其利润的期望值为： 存入银行的利息为: 故应选择投资。 5.1 数学期望

12 例7 设 (X ,Y) 的分布律为 Y X -1 1 0.2 0.1 2 3 0.3 解 Y -1 1 pk 0.3 0.4 5.1 数学期望

13 重排分布律可得 对应数据相乘，可得 0.2 0.1 0.3 (X,Y ) (1,-1) (1,0) (1,1) (2,-1) (2,1)
概率 0.2 0.1 0.3 (X,Y ) (1,-1) (1,0) (1,1) (2,-1) (2,1) (3,0) (3,1) X 1 2 3 Y/X -1 -1/2 1/2 1/3 (X-Y)2 4 9 对应数据相乘，可得 5.1 数学期望

14 数学期望的性质 证明 设下面所遇随机变量的期望存在，那么有 上述性质可推广到多个随机变量的情形. 如：

15 例8 解 5.1 数学期望