计算机问题求解 – 论题4-3 - 群同态基本定理 2019年3月20日.

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1 计算机问题求解 – 论题 群同态基本定理 2019年3月20日

2 问题1：我们为什么定义“同构”函数 ？ iso-morphology 同构其实可在任何代数结构(系统)上讨论 保持结构的双射 图的同构；
格的同构；

3 问题2：从这个定理中，你能解释我们为什么研究“同构”吗？
1，两个同构的代数系统，其元素及运算（对象及操作）会有“雷同”：个数、特性等；其结构会有“雷同”：某个结构上成立的命题，在另一个结构上也会存在； 2，深入研究某个系统，意味着掌握了与其同构的所有系统；

4 如何判断两个系统的同构？ 观察 构造 证明

5 如何判断两个系统不同构？

6 问题3.1：这个定理给我们什么感觉？ 群亦可群分 证明同构关系是等价关系：自反、对称、传递 如何去证明这个定理？

7 几个有趣的同构结论 素数阶群一定是循环群；

8 Carley定理的证明 从任意一个群G出发，构造一个置换群G’： 构造群G到置换群G’的同构函数 由置换函数组成的群
证明这个函数的双射 证明这个函数是G到G’的同构

9 请问，这里涉及到几个证明？ (ga,gb,gc,…,gg,…,….) (ha,hb,hc,…,hg,…,….)
函数是置换 各置换构成群 请问，这里涉及到几个证明？ 如果 是置换，是否所有这样的置换在某个运算上构成群？

10 两个群，同构吗？ G g ？ h 如何证明这个函数是同构函数？

11 两个群的外直积

12 问题4：为什么下面的结论不叫“定理”？ 后会有期 问题5.1：这个符号是什么意思？ 问题5.2：这个操作从何而来？
Well defined，结论的成立，取决于G*H集合上的运算 为什么我们对长度为n的01位串构成的群，采用这个符号来表述？用01群的外积来解读这个群的操作？ 操作来自于Z2的操作：00,11得0，其余得1：Z2加法群 后会有期 问题5.1：这个符号是什么意思？ 问题5.2：这个操作从何而来？

13 不难理解的几个定理： 直积群中元素的阶就是各个元素分量的阶的乘积 问题6：如果诸ri互素，会有什么结论？

14 以下几个结论，余味袅袅 一个数总是可以分解为若干素因子的乘积；大数的素因子分解是非常困难的。将互质的两个大素数乘积得到的大数作为公钥的部分发布，将素因子作为私钥信息保密。

15 两个群的内直积

16 如果一个群能够表示成两个子群的内直积 第一感觉上，这个定理证明的思路是什么？
Well define：g唯一确定hk，才能保证fi函数的良定义

17 问题7：为什么我们在正规子群概念下讨论商群？
子群会导致一个群的划分，但我们不能保证在划分下的所有陪集形成一个群； 如果是正规子群，我们完全可以由群操作定义陪集上的操作，进而建立一个陪集集合上的群：单位元就是该子群，aH的逆就是a(-1)H.

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19 问题8：为什么有了同构概念，我们还需要研究同态？
通常情况下，我们对满同态更有兴趣！ 同构的性质要求太强了。 其实我们可以将群内元素进行分类，研究商群，将商群和某个群进行同构研究。进而从某个群的性质中，得到“代表性元素群”的性质

20 问题9：同态映射是否也保持了两个系统的结构“相似性”？
看逆像和像的结构相似性；

21 正规子群的同态保持证明

22 以下定理奠定了群基本同态定理的基础 nZ ？

23 问题10：下图中的kernel和f-1(a’)之间有什么结论？
群G 群G’ 同态f e’ a’ kernel e f-1(a’) a Kernel和任意的G’中非单位元元素的逆像不相交 Kernel和任意的G’中非单位元元素的逆像同势 任意的G’中元素的逆像不相交且同势 任意的G’中元素的逆像必定是kernel的某个陪集

24 问题11：下图中的G和商群会有什么关系？ 同态f ? 群G 群H 商群G/K kernel e’ e a [e] [a]
同态关系，同态映射就是aK 商群G/K a ? [e] [a]

25 问题12：下图中的群G、f同态群H和K商群会有什么关系？
e’ kernel e ？ 同构关系：由同态映射f导出的同构关系： Φ(aKernel(f)) =f(a) 商群G/K a 同态 [e] [a]

26 群同态第一定理 一般的正规子群尚不能让我们“看穿”同态映射 给我们带来的清晰结构 Psai，eta，

27 为什么？ 良定义：代表元素非特定 K的g1陪集

28 H/H∩N 和HN/N到底是什么样子的群？
两个商群同构 H∩N 是正规子群？ H/H∩N 和HN/N到底是什么样子的群？

29 Open Topics: 证明群同构第二定理 证明问题10中得到的猜想 S24的一个子群

30 子群

31 正规子群

32 同构