大綱: 定義 點的坐標表示法 象限的觀念 點到坐標軸的距離 蘇德宙 台灣數位學習科技股份有限公司

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1 大綱: 定義 點的坐標表示法 象限的觀念 點到坐標軸的距離 蘇德宙 台灣數位學習科技股份有限公司
直角坐標 大綱: 定義 點的坐標表示法 象限的觀念 點到坐標軸的距離 蘇德宙 台灣數位學習科技股份有限公司

2 直角坐標平面 y 軸 (縱軸) ( 3 , 2 ) x 軸 (橫軸) O (原點) ( -2 , -1 ) 往 右 走 3 個巷口
往 上 走 2 個巷口 3 ( 3 , 2 ) 2 x 坐標 1 x 軸 (橫軸) 我家 O (原點) ( -2 , -1 ) 點的坐標表示法 平面上一點 P 的位置可用數對 (m, n) 來表示，稱為 P 的坐標，記成 P(m, n) 坐標，簡單來說，就是用來描述一個點的位置 例如，在地圖上，如果這是你家，你會怎樣描述這個 7 的位置? 我們會說，從家裡出發，先往右走 1, 2, 3 個巷口以後，再往上走 2 個巷口就到了 這樣先往右走 3 個巷口，再往上走 2 個巷口的位置描述 在數學上就會用坐標 (3, 2) 來表示這個點的位置 接著，我們來解釋坐標的基本觀念 首先，在這個平面上，這條水平的線叫做 x 軸，又稱為橫軸 這條垂直的線叫做 y 軸，又稱為縱軸 兩條線交叉的地方稱為原點 (常用 O 來表示) 在 x 軸或 y 軸上的刻度則代表與原點的距離 例如，2 這個點與原點距離就是兩個單位長度 有了這兩條線與刻度當參考基準後 7 的位置就是 從原點先沿著 x 軸走 3 個單位，就是這個 3，我們稱為 x 坐標 而這個 2，就是再沿著 y 軸走 2 個單位，稱為 y 座標 這樣透過 數對 來表示點的位置，稱為 點 的坐標表示法 看完 7 以後，接著我們來看 OK 這個位置 因為在原點的左邊 根據數線的觀念，原點的右邊是正的，左邊是負的 所以沿著 x 往左走兩個單位，就是 -2 同樣的，沿著 y 軸往下走一個單位就是 -1 所以 ok 的座標就是 (-2, -1) 因為這裡的 x 軸，y 軸是垂直的，我們就稱這樣的平面叫做直角座標平面，簡稱坐標平面 往 左 走 2 個巷口 往 下 走 1 個巷口 蘇德宙 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

3 點的坐標 寫出坐標平面上 A、B、C、D 點的坐標 y x 重點筆記 給任何一點 P，它的坐標為
直角坐標 寫出坐標平面上 A、B、C、D 點的坐標 重點筆記 給任何一點 P，它的坐標為 1. 過 P 點畫垂直線交 x 軸於 a 點 2. 過 P 點畫水平線交 y 軸於 b 點 P 的坐標就是 (a, b) y A (0, 4) (-4, 0) (0, -2) x O (3, 0) C 坐標為 (m, 0) 的點都會在 x 軸上 B 寫出座標平面上 A、B、C 、D 點的坐標 首先我們在 A 點作一條垂直線， 和 x 軸交於 (3, 0) 這個點 這代表從原點出發，沿著 x 軸走到 3 的位置 所以這條線上的 x 坐標都是 3，所以 A 點的 x 坐標就 = 3 接著過 A 點作一條水平線， 和 y 軸交於 (0, 4) 水平線上的 y 坐標都是 4，所以 A 點的 y 坐標就是 4 也就是沿著 y 的方向走 4 個單位 所以 A 的坐標就是 (3, 4) 同樣的，過 B 點做垂直、水平線分別交 x 軸於 -4, 0 和 0, -2 B 點的坐標就是 (-4, -2) C 點的垂直線相交的位置是 5，因為在 x 軸上，水平線交 y 軸於 0 C 點的坐標就是 5, 0 因為在 x 軸上任何點的 y 坐標都會 = 0 所以坐標為 (m, 0) 的點都會在 x 軸上 D 的坐標就是 (0, -4.5) ，因為垂線和 x 軸交於 0，水平線則和 y 軸交於 -4.5 這個點 同樣的，y 軸上任意一點的坐標可以用 (0, n) 表示，因為它的垂直線和 x 軸相交於 0 這個點 重點整理 -4.5 D y 軸上任意一點的坐標可以用 (0, n) 表示 蘇德宙 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

4 點坐標在平面上的位置 在坐標平面上標出 A(-4, 3)、B(3, -4)、C(4.5, 0) 的點 y x 重點筆記 P (a, b)
直角坐標 在坐標平面上標出 A(-4, 3)、B(3, -4)、C(4.5, 0) 的點 y 重點筆記 給任何一點 P (a, b)，都可以 在坐標平面上標出它的位置 P (a, b) (0, b) (0, 3) (-4, 3) x (-4, 0) O (a, 0) (4.5, 0) 在坐標平面上標出這些點的位置 首先我們來看 A (-4, 3) 這個點 這邊的 -4，因為是負的，就是從原點沿著 x 軸往左走 1, 2, 3, 4 個單位 而這邊的 3，因為是正的，就是往上走 3 個單位 就得到 (-4, 3) 這個點的位置 其實，我們也可以在 -4, 0 這個點作一條垂直的線，線上的每一個點的 x 坐標都會 = -4 在 0, 3 這個點上作一條水平線，線上的每一個點的 y 坐標都會 = 3 因此，兩條線交叉的點 的 x 坐標會等於 -4，y 坐標會等於 3，就是 (-4, 3) 這個點的位置 接著來看 B 點 (3 跟 -4) 就是沿著 x 往 <右> 走 3 個單位，再往 <下> 走 4 個單位，就是這個位置 從 (-4, 3) 和 (3, -4) 這兩個點的位置，我們知道 如果 a != b，(a, b) 和 (b, a) 的位置就不一樣 前面 A, B 都是整數的坐標 那小數的呢? 做法是一樣的 我們來看 C 這個點 4.5 就是在 4 和 5 的中間, 0 就是在 x 軸上，所以這個點就是在這裡 重點筆記 在這節裡面，我們學會給任何一點 P (a, b)，都可以在坐標平面上標出它的位置 以 a, b 都是正的為例，步驟就是先沿著 x 軸上找到一點 (a, 0) 接著再往上走 b 個單位就是 P 的位置 當然我們也可以先在 (a, 0) 上畫出這條垂直線，線上每一個點的 x 坐標都 = a 在 (0, b) 上畫出這條水平線，線上每一個點的 y 坐標都 = b 兩條線交叉的點就是 P 的位置 (3, -4) 蘇德宙 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

5 例題 (點的相對位置) 在坐標平面中，四邊形 ABCD 為長方形，且 A 的坐標為 (-2, 3)，則 C 點的坐標為何? y x 8
直角坐標 在坐標平面中，四邊形 ABCD 為長方形，且 A 的坐標為 (-2, 3)，則 C 點的坐標為何? y 點的坐標 C 點的坐標 1. 過 C 點畫垂直線交 x 軸於 (a, 0) 2. 過 C 點畫水平線交 y 軸於 (0, b) 則坐標就是 (a, b) 8 (-2, 3) A B 4 (a, 0) x O D (0, b) C (6, -1) C 點的坐標就是過 c 點作垂線交於 x 軸於 a, 0 作水平線交於 y 軸的 0, b C 的坐標就是 (a, b) a 就是這段的長度，它會等於總共長度 8 減掉 這段的長度 因為 A 點的 x 坐標是 -2，這段長度就 = 2，a 就會等於 6 同樣的 b 的長度就是 4 - 這段長度， 這段就是這裡的 y 坐標 3 所以 b 的長度是 1 因此，C 的坐標就 = (6, -1) ，因為它是在原點往下的方向 蘇德宙 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

6 認識象限 在坐標平面上 x 軸、 y 軸將空間分成 4 個區域 (象限) y x 隨堂練習 下列各點在哪一個象限?
直角坐標 在坐標平面上 x 軸、 y 軸將空間分成 4 個區域 (象限) y 隨堂練習 下列各點在哪一個象限? A(1, 1), B(-2, 1), C(-1, -1), D(1, -1), E(3, 0) 第二象限 第一象限 x 第三象限 第四象限 x 軸和 y 軸很明顯的將這個空間切割成 1, 2, 3, 4 個區域 在數學上我們就稱為第一象限、第二象限、第三象限與第四象限 有時候，會透過逆時針的方式來幫助我們記憶 1, 2, 3, 4 的位置 接著我們來觀察在不同象限內點的坐標性質 在第一象限這個範圍內的點，它的 x 坐標都是正的，y 坐標也都是正的 所以這個項線內任何一點坐標就是 +, + 的關係 那第二象限的點呢? 很明顯的，在原點的左邊，所以 x 坐標是負的，y 的值呢? 因為在 x 軸的上面，所以是 + 的 第三象限的點因為 x 是負的, y 是負的，所以是 -, - 第四象限則是 x 方向 +, y 方向是 – 的 我們來看這個隨堂練習 A 這個點在這裡，所以很明顯在第一象限，當然我們可以用 +, + 來判斷 B 點 -2, 1 在這裡，在第二象限，我們也可以從 -, + 來得知它在第二個象限 C 點因為是 -, -，在第三象限 D 點是 +, -，所以在第四象限 E 點 3, 0 在這個位置，剛好在 x 軸上，它到底屬於第一象限還是第四象限呢? 同樣的情形也發生在 0, 0 或 y 軸上任何一點 所以我們很清楚的知道，掉在 x, y 軸上的點不會屬於任何一個象限 x, y 軸上的點不屬於任何一個象限 蘇德宙 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

7 例題 (象限) 假設 P(a, b) 在第二象限，則 Q(b, a), R(-b, a), S(a, -b) 分別在第幾象限? y x
直角坐標 假設 P(a, b) 在第二象限，則 Q(b, a), R(-b, a), S(a, -b) 分別在第幾象限? x y 隨堂練習 已知點 P(a, b) 在第二象限內 則 Q(a2, b2) 在第幾象限? 假設 P(a, b) 在第二象限 我們馬上將象限畫出來，因為在第二象限，所以 a 是負的，b 是正的 則 Q 這點 b 是 +，a 是 – 的，所以在第四象限 R 這個點呢，因為 b 是 + 的，-b 就是負的，a 是 – 的，-, - 就在第三象限 S 的 a 是負的， b 是 + 的，-b 就是負的，也是在第三象限 隨堂練習 已知點 P(a, b) 在第二象限內，則 Q(a2, b2) 在第幾象限? 因為在第二象限內，所以 a, b 都不等於 0 所以他們的平方都是正的，所以 Q 點在第一象限 蘇德宙 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

8 點到坐標軸的距離 坐標平面上一點 P(a, b) 到 x 軸與 y 軸的距離該如何計算? y x 點到坐標軸的距離
直角坐標 坐標平面上一點 P(a, b) 到 x 軸與 y 軸的距離該如何計算? y P(a, b) 到 x 軸的距離是 |b| 到 y 軸的距離是 |a| 點到坐標軸的距離 P (a, b) (0, b) P (a, b) C (-2, 0) (-4, 0) (0, -2) x O (a, 0) A (-4, -2) B (5, -4) 這節我們來探討點到坐標軸的距離 我們來看平面上這個點 P 到 x 軸與 y 軸的距離 他到 x 軸的距離就是這段長度，就是水平線上與 y 軸相交的位置，就是 P 點的 y 坐標 b 與 y 軸的距離就是垂直線上與 x軸相交的位置，就是 P 點的 x 坐標 a 如果 P 點在其他象限，例如在第二象限 與 x 軸的距離就是 b，與 y 軸的距離就是 –a 因此，從坐標的性質，我們就可以知道 P(a, b) 到 x 軸的距離是 y 坐標的絕對值 |b| 到 x 軸的距離是 x 坐標的絕對值 |a|，這裡的絕對值是因為距離必須要大於 0 我們來看看幾個距離的例子 A 點與 x 軸的距離就是 y 坐標的絕對值，2 與 y 軸的距離就是 x 坐標的絕對值，4 萬一同學忘記這樣的關係，我們也可以標出 -4, -2 以後回到坐標的觀念得到同樣的結果 B 點的部分就讓同學自己練習 C 點與 x 軸的距離是 0，因為 y 坐標 = 0，掉在 x 軸上 與 y 軸的距離就是 -2 的絕對值，2 最後要提醒同學，雖然我們可以用坐標的觀念得到與 x, y 軸的距離 但還是建議要把這個性質記起來，做題目的時候會比較快 隨堂練習 求點 A(-4, -2), B(5, -4), C(-2, 0) 到坐標軸的距離 蘇德宙 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

9 例題 (點到坐標軸的距離) 1. 若第四象限的一點 P(2, b) 到 x 軸的距離，等於到 y 軸的距離，求 b?
直角坐標 1. 若第四象限的一點 P(2, b) 到 x 軸的距離，等於到 y 軸的距離，求 b? 2. 已知 A 點在第二象限 且和 x 軸的距離為 4，和 y 軸的距離為 3 求 A 的坐標 y 點到坐標軸的距離 P(a, b) 到 x 軸的距離是 |b| 到 y 軸的距離是 |a| x 點到坐標軸距離的例題練習 若第四象限的一點 P(2, b) 到 x 軸的距離，等於到 y 軸的距離，求 b 因為到 x 軸的距離，等於到 y 軸的距離 所以 |b| = 2，因為在第四象限 因為這個象限上點的y 坐標是負的，所以 b = -2 已知 A 點在第二象限，坐標是 (a, b) 和 x 軸的距離為 4，所以 |b| = 4，因為是第二象限，y 坐標是正的，所以 b = 4 和 y 軸的距離為 3，所以 |a| = 3，而這個象限的 x 坐標是負的，所以 a = -3 當然，我們也可以回到坐標的關念來求 A 的坐標 例如，和 x 軸的距離為 4，在第二象限，就是往上有 1, 2, 3, 4，在這條水平線上 和 y 軸的距離為 3，就是往左走 1, 2, 3，在這條垂直線上 所以交點就是 -3, 4 這個坐標 O 蘇德宙 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

10 重點整理 直角坐標平面 y 象限 點到坐標軸的距離 x 互相垂直的 x 軸與 y 軸所組成 點的坐標表示法
任一點 P 的位置可用數對 P(m, n) 來表示，稱為 P 的坐標 象限 將坐標平面分成四個區域 (象限) 坐標軸上的點不屬於任何象限 點到坐標軸的距離 P(a, b) 到 x 軸的距離是 |b| 到 y 軸的距離是 |a| y P (a, b) (0, b) x O (a, 0) 蘇德宙 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

11 圖片來源: http://qzone.qq.com/blog/622007944-1218514992【中國新文周刊-阿東漫画】
中文問路，英文指路 圖片來源:

12 點在坐標平面上的位置 在座標平面上標出 A(-4, 3)、B(3, -4)、C(4.5, 0) 的點 y x 重點筆記 P (a, b)
直角坐標 在座標平面上標出 A(-4, 3)、B(3, -4)、C(4.5, 0) 的點 y 重點筆記 給任何一點 P (a, b)，都可以 在坐標平面上標出它的位置 P (a, b) (0, b) (0, 3) (-4, 3) x (-4, 0) O (a, 0) (4.5, 0) 坐標為 ( m, 0 ) 的點都會在 x 軸上 在坐標平面上標出這些點的位置 首先我們來看 A (-4, 3) 這個點 這邊的 -4，因為是負的，就是從原點沿著 x 軸往左走 1, 2, 3, 4 個單位 而這邊的 3，因為是正的，就是往上走 3 個單位 就得到 (-4, 3) 這個點的位置 其實，我們也可以在 -4, 0 這個點作一條垂直的線，線上的每一個點的 x 坐標都會 = -4 在 0, 3 這個點上作一條水平線，線上的每一個點的 y 坐標都會 = 3 因此，兩條線交叉的點 的 x 坐標會等於 -4，y 坐標會等於 3，就是 (-4, 3) 這個點的位置 接著來看 B 點 (3 跟 -4) 就是沿著 x 往 <右> 走 3 個單位，再往 <下> 走 4 個單位，就是這個位置 從 (-4, 3) 和 (3, -4) 這兩個點的位置，我們知道 如果 a != b，(a, b) 和 (b, a) 的位置就不一樣 前面 A, B 都是整數的坐標 那小數的呢? 做法是一樣的 我們來看 C 這個點 4.5 就是在 4 和 5 的中間, 0 就是在 x 軸上，所以這個點就是在這裡 從這個 0，我們可以觀察到在 x 軸上的點它的 y 坐標都會 = 0 所以，坐標為 ( m, 0 ) ，m 是任何數，的點都會在 x 軸上 同樣的， y 軸上任意一點的坐標可以用 ( 0, n ) 表示 因為他的 x 坐標會等於 0 例如，(0, 5) 的點就在 y 軸上 重點筆記 在這節裡面，我們學會給任何一點 P (a, b)，都可以在坐標平面上標出它的位置 以 a, b 都是正的為例，步驟就是先沿著 x 軸上找到一點 (a, 0) 接著再往上走 b 個單位就是 P 的位置 當然我們也可以先在 (a, 0) 上畫出這條垂直線，線上每一個點的 x 坐標都 = a 在 (0, b) 上畫出這條水平線，線上每一個點的 y 坐標都 = b 兩條線交叉的點就是 P 的位置 (3, -4) (0, -5) y 軸上任意一點的坐標可以用 ( 0, n ) 表示 蘇德宙 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

13 點在坐標平面上的位置 在座標平面上標出 A(-3, 3)、B(1, 3)、C(4, 3)、D(4, 0)、E(4, -2) 的點 y x
直角坐標 在座標平面上標出 A(-3, 3)、B(1, 3)、C(4, 3)、D(4, 0)、E(4, -2) 的點 y x = 4 y = 3 (-3, 3) (1, 3) (4, 3) x 坐標為 ( m, 0 ) 的點都會在 x 軸上 (4, 0) (4, -2) 我們來練習在坐標平面上標出 A, B, C, D, E 這些點的位置 首先我們來看 A (-3, 3) 這個點 這邊的 -3 很明顯的就知道是從原點沿著 x 軸往左走 1, 2, 3 個單位 那這邊的 3 呢，就是沿著 y 往上走了 3 個點 所以我們可以得到 (-3, 3) 的點在這 那 1 跟 3 呢，就是沿著 x 往右走 1 個單位，再往上走 3 個單位，得到這個位置 4, 3 這個點呢? 就是沿著 x 往右走 4 個單位，再往上走 3 個單位，我們可以得到 4, 3 的位置在這 那 4, 0 的部分，就是這個位置，因為沿著 x 往右走 4 個單位，但 y 的位置是 0 4, -2 很明顯的就是在這個位置，因為他沿著 y 往下走 2 個單位 接著我們仔細觀察這些點的 y 坐標都是 3，也就是離 x 軸的距離都是 3 所以這條線上每一個點的 y 坐標都是 3 同樣的，觀察這裡的 x 坐標都是 4 所以這條線上的 x 坐標都會 = 4 接著，我們來看 x 軸上的點 因為 y 坐標都會 = 0，坐標為 ( m, 0 ) 的點都會在 x 軸上 同樣的， y 軸上任意一點的坐標可以用 ( 0, n ) 表示 因為他的 x 坐標都會等於 0 前面我們看到的都是 整數的坐標 那分數的坐標呢? 例如 y 軸上任意一點的坐標可以用 ( 0, n ) 表示 蘇德宙 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

14 例題 (象限) 假設 P(a, b) 在第二象限，則 Q(b, a), R(-b, a), S(a, -b) 分別在第幾象限?
直角坐標 假設 P(a, b) 在第二象限，則 Q(b, a), R(-b, a), S(a, -b) 分別在第幾象限? ( +, + ) 第一象限 ( -, + ) 第二象限 第三象限 ( -, - ) 第四象限 ( +, - ) 坐標軸上的點不屬於任何象限 象限 隨堂練習 已知點 P(a, b) 在第二象限內 則 Q(a2, b2) 在第幾象限? 假設 P(a, b) 在第二象限 我們馬上將象限畫出來，因為在第二象限，所以 a 是負的，b 是正的 則 Q 這點 b 是 +，a 是 – 的，所以在第四象限 R 這個點呢，因為 b 是 + 的，-b 就是負的，a 是 – 的，-, - 就在第三象限 S 的 a 是負的， b 是 + 的，-b 就是負的，也是在第三象限 隨堂練習 已知點 P(a, b) 在第二象限內，則 Q(a2, b2) 在第幾象限? 因為在第二象限內，所以 a, b 都不等於 0 所以他們的平方都是正的，所以 Q 點在第一象限 蘇德宙 老師 台灣數位學習科技股份有限公司