第四节 向量的乘积 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积.

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1 第四节 向量的乘积 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积

2 一、向量的数量积（点积，内积） 则所作的功为 ， 1、定义：数量积为数，大小为 其中 为 的夹角， ，记
其中 为 的夹角， ，记 2、物理意义：一个物体受力 的作用，产生位移 ， 则所作的功为 ， 功就是数量积。 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3 3、与投影的关系： 向量 在数轴 上的投影记为 显然，若 投影是数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

4 4、性质与运算规律： ⑴ ⑵交换律： ⑶分配律： ⑷数乘结合律： ⑸ 数量积对消去律不成立。 如 ,推不出 。
如 ,推不出 。 因为当 时 ，只能说明 且 。 机动 目录 上页 下页 返回 结束

5 5、数量积的坐标表达式： 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束

6 两向量的夹角θ满足 若 ，则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

7 已知三点 M (1, 1, 1), A(2, 2, 1)和B(2, 1, 2), 求AMB. 例 AMB即为向量MA与MB的夹角. 由
解: MA= (1, 1, 0), MB = (1, 0, 1) cosAMB= 得: 所以 机动 目录 上页 下页 返回 结束

8 二、向量的向量积（叉积，外积） 1、定义： 与 的向量积为一向量， 长度： 即以 与 为边的平行四边形面积，
1、定义： 与 的向量积为一向量， 长度： 即以 与 为边的平行四边形面积， 方向：垂直 所在平面，构成右手系。 记 为向量 的单位向量。 机动 目录 上页 下页 返回 结束

9 2、性质与运算规律： ⑴对任意两个非零向量 和 ，若 ，则 ⑵对于 ⑶反交换律： ⑷分配律： ⑸数乘结合律：
⑴对任意两个非零向量 和 ，若 ，则 ⑵对于 ⑶反交换律： ⑷分配律： ⑸数乘结合律： 机动 目录 上页 下页 返回 结束

10 3、向量积的坐标表达式： 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束

11 例1：已知 计算 解： 机动 目录 上页 下页 返回 结束

12 例2：已知 求与 均垂直的单位向量 。 解： 机动 目录 上页 下页 返回 结束