商高定理 麗山國中王綉瑗製.

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1 商高定理 麗山國中王綉瑗製

2 認識直角三角形 有一個角為直角的三角形，稱為直角三角形。 直角所對的邊，稱為斜邊，其餘的兩邊都稱為股。 斜邊 股 股

3 甲=乙+丙？ 乙的面積=a2 甲的面積=c2 丙的面積=b2 甲=乙+丙？ c2=a2+b2 商高定理

4 商高定理 大正方形的面積 =(a+b)2 =a2+2ab+b2 四個直角三角形的面積和 =(a×b÷2) ×4 =2ab 甲的面積=c2
大正方形的面積=甲的面積+四個直角三角形的面積和 a2+2ab+b2= c2+2ab a2+b2= c2 商高定理

5 商高定理 c a b 任意一個直角三角形，其兩股的平方和等於斜邊的平方，又叫做「勾股弦定理」。
西方人把它叫做畢達哥拉斯定理，簡稱畢氏定理 若直角三角形的兩股為a、b，斜邊為c，則a2+b2= c2 c a b

6 商高定理的典故 可參考http://content.edu.tw/new/junior/math/ch_yl/hist_2.htm

7 常見的畢達哥拉斯數 3、4、5的倍數 5、12、13的倍數 7、24、25的倍數 8、15、17的倍數 上列四組為常見的直角三角形邊長

8 已知直角三角形的二個邊的長度，求另一邊的長度。
3. 1. 2. 32+42=a2 9+16=a2 a2=25 a=±5(負不合) a=5 52+62=c2 25+36=c2 c2=61 c=± (負不合) c= 52+b2=122 25+b2=144 b2=119 b=± (負不合) b=

9 隨堂練習1：已知直角三角形的二個邊的長度，求另一邊的長度。
3. 1. 2. 62+82=a2 36+64=a2 a2=100 a=±10 (負不合) a=10 52+b2=72 25+b2=49 b2=24 b=± (負不合) b= 52+122=c2 25+144=c2 b2=169 b=±13 (負不合) b=13

10 隨堂練習2：已知直角三角形的二個邊的長度，求另一邊的長度。
二股為8、9 二股為2、 一股為3、斜邊為8 一股為24、斜邊為26 二邊為7、10 A： A： 4 A： A： 10 A：

11 通常我們說一台20吋的電視機，表示這台電視機螢幕的對角線長為20吋。現有一部電視螢幕的長為20吋，寬為15吋，這是幾吋的電視機？
D C 15吋 A B 20吋 A：25吋

12 如圖，直立在地面的旗竿，有一條繩子由旗竿頭垂下，繩子長17公尺，若把繩子從旗竿腳的地面往外拉了8公尺後才拉直，求旗竿的高度為多少公尺？
a公尺 A：15公尺 8公尺

13 隨堂練習3：乃瑜拿著2. 5公尺長的梯子靠在一垂直牆上。（1）已知牆腳與梯腳的距離為0
隨堂練習3：乃瑜拿著2.5公尺長的梯子靠在一垂直牆上。（1）已知牆腳與梯腳的距離為0.7公尺，則牆腳與梯頂距離多少公尺？（2）承（1），若將梯頂下滑0.9公尺，則梯腳滑移多少公尺？ A 0.9公尺 E 2.5公尺 1.5公尺 D B A：（1） 2.4公尺 （2） 1.3公尺 C ？ 0.7公尺

14 如圖，有一個長方形的盒子，其長、寬、高分別為8公分、6公分、4公分，求A、G兩點的距離為多少公分？
D 4 B C E H 6 F G 8

15 隨堂練習4：如圖，有一個長方形的盒子，已知
則 A D 25 15 B C E H 12 F G

16 隨堂練習5：如圖，有一個長方形的盒子，其長、寬、高分別為8公分、6公分、4公分，有一隻螞蟻從A沿著盒子表面爬到G，試問最短距離為多少公分？
D 4 B C E H 6 F G 8

17 藍色 黑色 A B C D F G H E 8 6 4 A D 8 4 4 4 H D 8 A A E 4 6 B F C B G C B

18 綠色 A B C D F G H E 8 6 4 4 E A 8 8 4 8 H D 8 A A E 6 B F G C B F B

19 藍色 黑色 A D 8 4 4 A 4 E H 4 D 8 A 6 B F G C B 綠色 C B

20 座標平面上兩點的距離公式 |y1-y2| |x1-x2| 設A(x1,y1),B(x2,y2),則 A(x1,y1) C(x1,y2)

21 直角座標平面上有四點A(4，3) 、B(1，-5) 、C(3，6) 、D(0，2)，求下列各小題中的線段長度。

22 隨堂練習6:直角座標平面上有四點A(-3，-1) 、B(2，5) 、C(-3，2) 、D(2，-5)，求下列各小題中的線段長度。

23 商高定理的其他證明

24 證明一 四個直角三角形的面積和+小正方形的面積=大正方形的面積
c a b b a a c b a b

25 證明二 梯形面積=甲的面積+乙的面積+丙的面積
b 甲 a c 丙 c b 乙 a

26 證明三 兩個小正方形的面積和=大正方形的面積
a c b

27 證明四 兩個小正方形的面積和=大正方形的面積

28 證明五 兩個小正方形的面積和=大正方形的面積

29 證明六 兩個小正方形的面積和=大正方形的面積

30 證明七 兩個小正方形的面積和=大正方形的面積
a b a c b c2=a2+b2