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非线性物理——混沌 黎泳涵 翁大雁
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混沌与非线性简介 混沌状态：相空间内运动局限于有限区域内 且轨道永不重复（无穷大周期） 混沌的特征：
1.内随机性，一定条件下系统的某状态可能出现也可能不出现（三体系统）， 局部不稳定和整体稳定，初值敏感 2.分维性质，相空间轨道结构的自相似性（奇异吸引子） 3.高级有序，标度不变性（与空间、时间周期相对） 非线性是达到混沌状态的一个途径
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混沌现象在电路中的实现：蔡氏电路 三个以上变量的自治方程能够出现混沌 （微分方程解的唯一性要求） 电路产生混沌的三个条件：
1.含一个非线性元件 2.一个耗散性电阻 3.三个储能元件 蔡氏电路： 1.非线性负阻Nr 2.可调电阻R 3.电容C1、C2，电感L
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混沌现象在电路中的实现：蔡氏电路 电路状态方程 g为非线性负阻I-V特性函数 边界上的不连续性造成混沌
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调节电阻R出现的各种相图 电阻大 电阻小
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倍周期与周期3 通往混沌的道路 倍周期：随数学结构改变，周期点不断分岔的现象 若有周期3，则该情况一定满足Li-Yorke对混沌的定义
1.存在可数无穷多个稳定的周期轨道 2.存在不可数无穷多个稳定的非周期轨道 3.存在至少一个不稳定的非周期轨道
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测量非线性负阻I-V特性 内置信号扫描方法
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测量非线性负阻I-V特性 外置信号扫描方法 30Hz，300Hz，3.3kHz
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电路元件参数测量 1. 万用电表测量 C1=105.3nF C2=10.27nF 2. LCR电路谐振测量
C1=105.5nF C2=10.31nF L=25.6mH 作为为计算机模拟的参数
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4阶Runge-Kutta方法 已知x’=p(t, x)，x(t[0])=x[0]. 4阶R-K: k[0]= h * p(t[i], x[i]); k[1] = h * p(t[i] + h/2, x[i] + k[0]/2); k[2] = h * p(t[i] + h/2, x[i] + k[1]/2); k[3] = h * p(t[i] + h, x[i] + k[2]); x[i+1] = x[i] + (k[0] + 2*k[1] + 2*k[2] + k[3])/6; t[i+1] = t[i] + h; h取10^-6量级.
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蔡氏电路方程组 U1’= ((U2-U1)/R-g(U1))/C1; U2’= ((U1-U2)/R+I)/C2; I’= -U2/L. 之前的测量结果： C1=10.3nF; C2=105nF; L=25.6mH.
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非线性负阻Nr的I-V特性 g(x)=Gb*U+(Gb-Ga)*(|E+U|-|E-U|)/2;
Gb= A/V; Ga= A/V; E=1.6V.
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单周期相图 R=2.05-2.10kΩ R=2130Ω 迭代1E7次，取最后1E5个点作图.
初值U1(0)= U2(0)=0.1V， I(0)=0.1mA
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双周期相图 R=2122Ω R= kΩ
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四周期相图 R=2119Ω R=2.04kΩ
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单吸引子相图 R=2102Ω R= kΩ
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双吸引子相图 R= Ω R= kΩ
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“叶片”相图 R<1.8kΩ
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“叶片”相图 R=1820Ω 迭代4000次.
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非线性负阻Nr的I-V特性 g(U)=Gb*U+(Gb-Ga)*(|E+U|-|E-U|)/2;
Gb = A/V; Ga = A/V; E = 1.6V.
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非线性负阻Nr的I-V特性 g(U)=Gb*U+(Gb-Ga)*(|E+U|-|E-U|)/2;
Gb = A/V; Ga = A/V; E = 1.6V. |U| < 10V
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非线性负阻Nr的I-V特性 g(U)=Gb*U+(Gb-Ga)*(|E+U|-|E-U|)/2 |U| < 10V
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“叶片”相图 R=1820Ω
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“叶片”相图 R=1820Ω 取前10E5个点
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U1限制下的单周期相图 R=2130Ω
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U1限制下的双周期相图 R=2122Ω
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蔡氏电路方程组 U1’= ((U2-U1)/R-g(U1))/C1; U2’= ((U1-U2)/R+I)/C2; I’= -U2/L. 不动点： U1’=0; U2’= 0; I’= 0.
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不动点 U1’/R=-g(U1); U2= 0; -I/C2=U1/R. R=2102 Ω
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不动点
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总结 调节电阻观察了各混沌相图。 分别用内置和外置信号扫描法测量了非线性负阻的IV曲线。 其中内置法的结果为Gb = A/V, Ga = A/V, E = 1.6V. 测量了电路各元件参数。其中用万用电表测量结果为 C1=105.3nF, C2=10.27nF; 用RLC串联谐振法得到的测量结果为 C1=105.5nF, C2=10.31nF, L=25.6mH.
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总结 使用Runge-Kutta方法数值求解蔡氏电路的电学方程，从而通 过计算机模拟了各混沌相图。
通过对U1加以限制得到了“叶片”状相图。并得出：“叶片” 状相图并不是方程组本身的解而是U1被限定在一定范围内的 结果。如果U1不被限定，则相图为短暂的双吸引子而后向外 发散。 对U1被限制时计算机模拟不能得到单周期、双周期、四周期 等相图，而是得到类似单吸引子、双吸引子等相图。原因是 原本的像轨迹被U1的边界所截断，周期性被打破。但实验中 仍可得到单周期、双周期等相图。有待进一步探究。 单吸引子、双吸引子等相图中类似“中心点” 正是不动点。 未严格推导，有待进一步探究。
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