Brief Summary of Chapter 1

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1 Brief Summary of Chapter 1
波粒二象性 p = h/ 能量量子化 测不准原理：xp or Et  ħ 微观粒子波动性-- 粒子运动在空间出现的几率分布呈现波的特征--几率波！ 1. 几率密度分布函数 ||2 2. 正交归一性： i*jd = ij (i=j, ij=1; ij, ij=0) 3. 本征函数/方程： Â = a 4. Schrödinger方程：Ĥ(r) = E(r) 5. 态叠加原理: = cii , Âi = Aii 求平均值: <A> = *Âd /*d = ci2Ai/ ci2 量子力学的统计学本质 量子力学体系的状态函数--波函数(r,t) 简单体系 : i维势箱

2 第一章作业情况总结： 数理基础（微积分）需要复习 算符运算的理解欠佳 势箱模型： 1）量子态（能级）的理解欠佳；2）未掌握多电子体系电子排布的能量最低原则。

3 1.4 某同步加速器，可把质子加速至具有100×109ev的动能，此时质子的速率是多大？
易出现错误： 直接使用E=mv2/2 计算速率，超光 速，必须考虑相对论效应。

4 1.9用测不准原理说明普通光学光栅（间隙约10-6m）观察不到10000V电压加速的电子衍射。(1 eV = 1.602x10-19 J )
显然，光学光栅的宽度要远大于电子的德布罗意波长，观察不到电子衍射。

5 关键点：1）能级表达式中有三个量子数，如何排序？ 2） 多电子体系基态电子占据的能量最低原则。
1.27 1） 当粒子处在三维立方势箱中(a=b<c),试求能量最低的前3个能级(此题条件不够严格！）； 2）若此势箱中共有四个电子，求其基态到第一激发态的吸收光频率。 关键点：1）能级表达式中有三个量子数，如何排序？ 2） 多电子体系基态电子占据的能量最低原则。 解：1）三维势箱能级表达式： (n为能级顺序，nx,ny,nz为量子数， a/c < 1）

6 第三个能级：有三种可能情况 a） b） c） 例如c = 2a，则有：

7 2）基态和第一激发态的电子排布如下图，则激发能：
In case b： 基态 第一激发态 In case a：…… In case c: ……

8 角动量算符定义为: 证明: (1) (2) 解： 令有波函数 f = f(x,y,z),则有 同理有：

9 （2）

10 已知甲烷CH4的四个价层正则分子轨道（CMO）的归一化波函数分别为1、2、3和4,在独立粒子模型下满足单粒子本征方程： ,其中1的轨道能量为1,后三个轨道简并，能量均为2(2 > 1)；根据态叠加原理，将这四个正则分子轨道线性组合，即得四个定域分子轨道（LMO）分别描述四个等价的C-H键： 试证明这四个定域分子轨道的能量完全相同，并确定其能量。 涉及要点： 1） 本征函数的正交归一性；2）本征方程的使用；3） 态叠加原理；4）求平均值方法。

11 解： 四个CMO的波函数是单粒子本征方程的本征函数，均满足正交归一性：
对任一LMO，可表示为： 均有 其能量可由求平均值方法导出：

12 由于四个LMO表达式中各CMO的组合系数为+1或-1，因此，四个LMO的能量相等，均为：

13 若环丁二烯为正方形，C-C键长为a, 运用势箱模型处理该体系，若采用定域双键模型，其电子总能量多大？若采用离域大键模型，其离域电子总能量多大？ 利用(1)的结果推算该体系的离域能 若采用离域大键模型，求出该分子的基态到第一激发态的光谱波长表达式。

14 若采用定域双键模型，每个键中的2个电子均被限制在长度为a的一维势箱中，则每个电子的能量可表示为：
4个定域电子的总能量： 若采用离域模型，则四个离域于边长为a的二维方势箱中， 电子的能级公式为： 则能量最低的三个能级分别为： E3 E2 E1 则离域电子总能量为： （2）离域能：

15 （3）离域体系中，基态到第一激发态的电子跃迁可发生于第一到第二能级，也可发生于第二至第三能级（此处为巧合！），激发能均为： 故对应的吸收光波长为：

16 思考题： 原子中的核外电子受到核的静电束缚，一般被限在在距离原子核<2埃的范围内围绕原子核运动，电子是否具有波动性？如果有，如何理解其波动性？以氢原子基态为例，已知1s轨道的平均半径为0.528埃,试由此估算1s电子的能量和de Broglie波长。(静电力常量k=-9×109 N·m/C2，电子电荷量e=1.6×10-19 C，普朗克常量h=6.63×10-34 J·s，真空中光速c=3.00×108 m/s)

17 答： 围绕原子核高速运动的电子当然具有波动性，其波动性表现在空间出现的几率分布呈现出波动特征，即几率波，因而其运动状态可由波函数描述。
对氢原子基态而言，其1s轨道上电子所受向心力为静电力，需满足： r为轨道平均半径，Z =1. 又其动能 T = meve2/2, 势能V= -kZe2/r 则有 V = -2T or T = -V/2 (即维里定理！） 则有：E = T + V = V/2 = -kZe2/2r =… = eV

18 又有 p2 = 2meT = -meV = mekZe2/r 可见，氢原子1s轨道上电子的de Broglie波长与其被核束缚的运动范围尺度相当，当然会呈现极强的波动性。 （如果利用第二章的结论可以直接确定1s轨道上电子能量为： 再由上述的关系式可求de Broglie波长， 当然还可以由此来确定1s轨道的平均半径！）