知识点4---向量的线性相关性 1. 线性相关与线性无关 线性相关性的性质 2..

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1 知识点4---向量的线性相关性 1. 线性相关与线性无关 线性相关性的性质 2.

2 一、线性相关与线性无关 定义 给定向量组 A： 如果存在不全为零的数 使 则称向量组 A 是线性相关的，否则,称它线性无关．

3 说明1 线性无关也可以这样表达： 如果有 则只有在 时成立， 那么称向量组 线性无关。 说明2 对于任一向量组，不是线性无关就是线性相关.

4 典型例子 单位向量组一定线性无关的． 即 证：设有 得 所以 线性无关。

5 典型例子 含零向量的向量组一定线性相关． 证:设含零向量的向量组为 显然 即 由于系数 不全为零 故向量组 线性相关．

6 例1已知向量组 线性无关,证明向量组 线性无关． , 则有 证明 设 因为 线性无关, 所以

7 定理1 向量组 线性相关 充要条件A中至少有一个向量可由其余向量线性表示． 证明： 充分性 设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示. 即有： 故 因系数 不全为零 故： 线性相关.

8 必要性： 设 线性相关， 则有不全为零的数　　　　　　 使 不妨设　　　 则有： 即 能由其余向量线性表示.

9 不全为零 有非零解

10 定理2: 向量组 线性相关的充要条件是 它所构成的矩阵 的秩小于 向量的个数n； 向量组 线性无关的充要条件是 它所构成的矩阵 的秩等于 向量的个数n；

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13 例3 判断下列向量组的线性相关性. 解法1： 向量组是由3个3维向量构成，可用行列式来解。 向量组是线性相关的

14 例3 判断下列向量组的线性相关性. 解法2 ：用矩阵 向量组线性相关的

15 二、 向量组线性相关的性质(3个) 若向量组 线性相关, 性质1 则向量组 也线性相关; 部分相关则整体相关 反之, 若向量组 线性无关,
若向量组 线性相关, 性质1 则向量组 也线性相关; 部分相关则整体相关 反之, 若向量组 线性无关, 则向量组 也线性无关. 整体无关则部分无关

16 性质2 若n维向量组 线性无关， 则n+s维向量组 也线性无关. 无关向量组添加分量后仍然无关

17 反之：若n+s维向量组 线性相关， 则n维向量组 也线性相关. 相关向量组减少分量后仍然相关.

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19 性质3 不全为零

20 证明表示式唯一： 若 则有 因为 线性无关, 所以 即表示式唯一．

21 例5 设向量组 线性相关，而向量组 线性无关，证明: (1) 能由 线性表示； 证明：因为 线性无关 所以 线性无关 又因为向量组 线性相关 能由 线性表示；

22 例5 设向量组 线性相关，而向量组 线性无关，证明: (1) 能由 线性表示； (2) 不能由 线性表示. 证明 假设 能由 线性表示. 由（1）可知： 能由 线性表示. 能由 线性表示. 与已知矛盾. 不能由 线性表示.

23 小 结 1.线性相关的充要条件： 向量组 线性相关 齐次方程组 有非零解 （向量的个数） 至少有一个向量可由其余 m-1 个向量线性表示

24 2.线性无关的充要条件： 向量组 线性无关 齐次方程组 只有零解 （向量的个数） 每个向量不能由其余 m-1 个向量线性表示