空間數學本質概念 聰輝、欣燕、慧君.

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1 空間數學本質概念 聰輝、欣燕、慧君

2 教材地位 第一冊 認識上下、左右、前後、內外等方位語詞。 描述兩物的相對位置。 第七冊 認識與左右方位語詞相關的 標誌。 路線圖的意義。
認識方位語詞，並用以描述位置及方向。 第四冊 辨認平面圖形的內外。 左右語詞描述兩物的相對位置。 第十一冊 認識平面座標。 運用平面座標描述物體的位置。 運用方位及距離標定位置。

3 小學幾何教材內容_空間之類目表 用上下、左右、內外等方位語詞描述位置 空間概念 運用東、西、南、北等方位語詞描述方位
用直角坐標系統描述方位與路徑 平面與立體表徵之轉換

4 數學結構 1/4 空間感 對數感比較好的定義就是對數及數字間關係的一種直覺，而空間感也可以被定義為對形狀及形狀之間關係的一種直覺，個體的空間感就是一種對四周環境及其中物體形狀組成的幾何觀點。

5 數學結構 2/4 空間能力 空間能力可分為兩大類：
空間視覺表像能力：對任一以圖象形式呈現的物件，能以心智想像的方式加以操作、旋轉、扭轉或倒置。 空間方向感：能理解物件視覺樣式中，構成元素的安排，且能不因物件呈現方向的改變而混淆。 依據九年一貫課程綱要認為學生在位置空間概念所需發展的能力包括「能描述某物在觀察者的前後、左右、上下及兩個物體的遠近位置」。

6 數學結構 3/4 空間定義 我們經常所說的「空間」量，不外乎是線的長度、曲面的面積、形體的體積等等， 所有這些構成空間概念的「空間」量都是可以用標準尺來度量的。 Martin Heidegger（1954）：「空間裡包含了因物體對人的不同遠近而形成不同位置，但這種遠近距離可在抽離人與物的關係下形成高度、寬度與深度」。 空間在牛頓力學中的意義就是要確定一個空間點的位置，總需要三個空間量。它是可以表示成任何三個互為垂直且個自獨立的長度空間座標系，例如常用的直角座標系以 (x, y, z) 表徵其三個互為獨立的座標分量。牛頓的「絕對空間」就像一個空闊的舞台，各種物体是舞台上的演員。無論演出任何戲碼，舞台是既不參與，也不受影響的。 王凱儀、林嘉琪(民93) ：自然界的具體物件，各自佔有一部分的空間。周圍的物體存在著空間上的相互位置關係，也就是物體的空間方位，或稱為物體的空間位置，以上下、前後、內外、左右…詞彙表示。 而在日常生中最常被使用，並廣為大眾所接受的是牛頓的絕對空間觀念。而我們在確定物體的方位時首先需要有一個參照點，這個參照點即是用來確定客體空間位置的依據。

7 數學結構 4/4 空間概念 學生對方位與空間概念的認知，在數學領域上是讓學生學生了解相對(位置)和絕對(位置)的意義，許民陽、鄧國雄、卓娟秀、李崑山和殷炯盛(民83)在國小學生對方向和位置兩空間概念的認知發展研究中，將辨識方向、位置等空間概念語詞區分如下： 基本概念語詞：有關空間概念的基本語詞，例如：上、下、左、右、東、西、南、北。 衍生概念語詞：基本概念語詞加上動詞、介詞或名詞等而衍生出的空間概念語詞，例如：上升、向前、天上。 複合概念語詞：由二個或二個以上的基本概念或衍生概念所組成的語詞，例如：東北角。

8 認知結構─Piaget的理論 拓樸階段 投影空間 平面空間 約三歲六個月至四歲之間，屬前運思期 。
僅能描述物體的特徵及保留最簡單的空間特性 。 投影空間 約四歲至七、八歲之間，位於運思前期與具體運思期之間 。 逐漸領會物體位置與物體間的關係，但這種認知仍無法擺脫視覺的影響。 平面空間 具體運思期後之形式運思期 將所有的物體和物體間的空間關係統整為整體概念 。

9 認知結構─ Hart &Moore的理論 自我中心參照系統 固定參照系統 協調的參照系統 相當於Piaget的前運思期，大約是學前階段。
他們的空間表徵是自我中心的、以行動為中心的參照標系統 。 固定參照系統 進入Piaget的具體運思期。 思考不再受限於所認識意像的順序，而是經過具體的邏輯思考，操弄空間訊息。 協調的參照系統 進入形式運思期。 會利用「聯想」和「逆轉」，統整各部分為一個整體，成為廣泛的概觀式的表徵。

10 綱要結構 一年級 1-s-05能描述某物在觀察者的前後、左右、上下及兩個物體的遠近位置。 說明
相對位置描述詞在日常生活中很常用，因此應及早引入，並可與序詞的教學相結合，例：「最上面數下來第2個抽屜是我的。」、「小明右邊第3人是小麗。」「小華，請往前走2步。」、「左邊離我們比較遠的那個女生是小英。」

11 綱要結構 二年級 2-s-02能認識生活周遭中水平、鉛直、平行與垂直的現象。 說明
例：觀察傾斜的裝水透明正方體容器（例如：1公升的正方體透明容器）中的水平面、容器底面與鉛垂繩子三者之間的關係。 先認識水平與鉛直的概念。再透過觀察桌腳與地面、牆角、樑柱、各式窗格、欄杆、圓柱的軸向等，認識垂直與平行的現象。希望學童能注意到窗格垂直與切蛋糕四等分的方式相同、平行大致上是寬度相同的意思、從窗格觀察到垂直與平行間的關係。

12 教學策略 1、低年級空間教學以「個人為中心」為主：
以自己（個人為中心）到整體（客體為中心），透過兒童與自己身體相聯繫的方式開始，教導學生方位的認識與説明。 ex：水平面（前後） 【教學順序】： 1「前面是臉，後面是背」→ 2「我的前面是桌子，後面是黑板」→ 3「黑板的前面有螢幕，後面有牆壁」 ex：水平面（內外） 「嘴巴裡面有牙齒，嘴巴外面有嘴唇」 ex：水平面（左右） 【初階】一個人站在兒童前並背對著他。 【進階】一個人站在兒童前並面對著他。

13 教學策略 2、操弄與建構幾何圖形 透過操弄圖形、做圖形、辨認圖形等等，希望兒童在活動中不僅能辨認圖形，也能形成更精細的空間表徵與空間想像能力。 (1) 拚圖：「七巧板」、「魏氏智力測驗中的拚圖」 (2) 摺紙、剪紙：一般摺紙與剪紙遊戲可以增加空間想像能力 (3)做圖形：用牙籤、火柴棒、吸管等等仿作各種圖形

14 教學策略 方位：方位方向不清。 例如：東西南北分不清 楚方向
老師覺得學生方位搞不清楚是學生平常沒有特別注意,若單單只是跟學生說左右的觀念學生一樣記不起來,因此老師會用遊戲的方式來進行這方面的訓練,老師會用一些簡單的符號例如:太陽.月亮來代表左右.等學生懂左右觀念的時候,再慢慢加深。 空間： (1)展開圖的部分。 (2)透視圖的部分。學生不太清楚a點位在形體的那個位置。如下： a 迷思(1)：一定要讓學生實際操作。透過這個活動的目的是要讓學生了解每個形體的展開圖不是只有一種。 迷思(2)：使用可以清楚看到一個形體的透視圖(如：用牙籤和黏土組合成一個立方體，如此即可清楚看到各個點)。之後再拿無法透視的形體來問學生。

15 評量範例 設計目標：培養學生圖形旋轉的能力 美勞課時，老師畫了一個圖，並請大家跟著畫(下圖) 老師畫的 毛毛 小胖 小棋 請問，誰畫錯了？
毛毛 小胖 小棋 請問，誰畫錯了？ 毛毛 小胖 小棋 理由是________________________

16 評量範例 設計目標：對生活物品的形狀認知，結合座標 月曆的位值概念。 今天一大早，小虎在第2排第1列的地方收到了一張長方形的卡片，
原來今天是他的生日。如果你是小虎，最希望收到的哪一樣禮物？ 必須清楚地說出它的形狀，擺在哪個位置，才能拿到你喜歡的禮物。 小虎說：我想要那個放在第_1_排，第_2_列，圓_形的__漢堡 。 你覺得小虎說的對不對？ □對 □ 不對 理由是________________________ 我也會說： 我想要那個放在第 排，第___列， _____形的

17 評量範例 今天是步美的生日了，她畫了一張地圖給元太和光彥， 想請他們參加生日派對，元太和光彥已經在帝丹小學的 前方了…..
元太說：我們要先往左邊走，然後遇到米花公園，往前走後再遇到便利商店，然後往左走後就可以到步美家了。 光彥說：我們先經過米花公園，然後遇到文具店再向右走，最後再向左走就到步美家了。 誰說的對？ 元太　□光彥　□都對 理由是________________________